最新-学考优化设计2021学年高中数学人教A版选修21课件：模块复习课3 精品
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2
3
4
1 2
17 1
3 2
=-3y -y+ 4 =-3 + 2 +5.
3
又因为-√3≤y≤√3,所以当 y=- 时,|PQ|最大值为√5.
2
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题二 圆锥曲线中的定点与定值问题
【例 2】 已知椭圆
2
C: 2
+
2
2
=1(a>b>0)的左顶点 A(-2,0),过
任意一点,求1 ·2 的最小值.
思路分析(1)由已知条件易得 a2,b2 的值,代入可得双曲线方
程;(2)将1 ·2 的值用点 P 的坐标表示,然后借助双曲线上点
的坐标的范围求得其最值.
专题归纳
高考体验
专题一
解(1)依题意有
2
4
2
− 5 =1.
专题二
3
= ,
2
8 5
- =
2 2
通过解不等式(组)得到参数的取值范围或最值;
(3)函数值域法:将所研究的参数作为一个函数,另一个适当的参
数作为自变量,建立函数解析式,利用函数方法通过函数的最值求
得参数的最值或取值范围;
(4)基本不等式法:利用均值不等式求参数的取值范围或最值.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
跟踪训练 1 设 F1,F2 分别是椭圆
4
4
4
因为 x≥2,所以当 x=2 时,1 ·2 的最小值为-4.
2 2
9
−
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟 圆锥曲线中的最值与范围问题,常常利用以下方法进
行求解.
(1)定义法:结合定义,利用图形中几何量之间的大小关系求解;
(2)不等式(组)法:根据题意列出所研究的参数满足的不等式(组),
= ,
消去 y 得(4k2+3)x2-12=0,
2
2
+ = 1,
4
3
所以|x4|=
12
,
42 +3
专题归纳
高考体验
专题一
所以|OP|=√1 +
又A
3
1, 2
1
在椭圆上,2
+
9
42
=1,
解得 b2=3,所以 c2=1.
所以椭圆 C
2
的方程是
4
2
+ =1.
3
专题归纳
高考体验
专题一
2
P(x,y),则 4
专题二
专题三
2
4
(2)设
+ 3 =1,所以 x2=4-3y2,
1 2
4 2 2
1
2
2
所以 PQ =x + =4- y +y -y+
(2)一般问题可由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法
进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单
调性,亦可利用基本不等式等求解.
知识网络
要点梳理
1
2
2.圆锥曲线中的定点、定值问题
解决定点定值问题的常规处理策略:
(1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点
(值)与变量无关.
右焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 3.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 Q,与 y 轴交于点 R,过原
||·||
点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P,求证:
||2
为定值.
思路分析(1)由已知条件求得a,b的值,即得椭圆方程;(2)将直线方
程与椭圆方程联立,利用弦长公式将|AQ|,|AR|,|OP|的值表示出来,
专题三
2 = 4,
解得 2
故双曲线的方程为
= 5,
1,
(2)由已知得 A1(-2,0),F2(3,0),设 P(x,y)(x≥2),于是
1 =(-2-x,-y),2 =(3-x,-y),
所以1 ·2 =x -x-6+y =x
2
100
.
9
2
2
5
9
9
-x-6+ x2-5= x2-x-11=
第3课时
圆锥曲线中的最值、范围、
定点、定值问题
知识网络
要点梳理
离心率的范围与最值
范围与最值 参数的范围与最值
距离问题的范围与最值
圆锥曲线的综合问题
定点与定值
综合问题
定点问题
定值问题
知识网络
要点梳理
1
2
1.圆锥曲线中的最值与范围问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,常规的处理策略是:
(1)若具备定义的最值问题,可用定义转化为几何问题来处理.
(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点
(值).
知断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)“设而不求”法是解决圆锥曲线综合问题的基本方法. (
)
(2)在直线与圆锥曲线的综合问题中,可设直线方程为y=kx+b.
(
)
(3)在最值问题中,必须考虑函数关系式中变量的取值范围. (
)
答案：(1)√ (2)× (3)√
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题一 圆锥曲线中的范围与最值问题
【例 1】
2
已知双曲线2
−
2
3
2 =1(a>0,b>0)的离心率等于2,且
点(-2√2, √5)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上
然后进行化简,即可证明其是定值.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
解(1)由左顶点 A(-2,0)易知 a=2,设过右焦点 F 且垂直于长轴
的弦为 MN,
将
2
M(c,yM)代入椭圆方程2
+
2
2
=1,
2
22
解得 yM=± ,故 =3,可得 b2=3,
2
2
故椭圆方程为 4 + 3 =1.
右焦点,椭圆 C 上的点 A
3
1, 2
2
C:2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、
到 F1,F2 两点的距离之和等于 4.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设点 P 是椭圆 C 上的动点,Q
1
0, 2
,求|PQ|最大值.
解(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1,F2 两点
的距离之和是 4,所以 2a=4,即 a=2.
(2)由题意知,直线 AQ,OP 斜率存在,设为 k,则直线 AQ 的方程
为 y=k(x+2),直线 OP 的方程为 y=kx.可得 R(0,2k),则
|AR|=2√1 + 2 .
= ( + 2),
设 A(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组
2
4
2
+ 3
= 1,
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
消去 y 得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
x1+x2=-
162
2
162 -12
,x1x2=
4 +3
2
4 +3
,
则|AQ|=√1 + 2 |x1-x2|
2
=√1 + 2 (1 + 2 ) -41 2 =
12 1+2
2
4 +3
.
设 y=kx 与椭圆交另一点为 T(x3,y3),P(x4,y4),联立方程组
3
4
1 2
17 1
3 2
=-3y -y+ 4 =-3 + 2 +5.
3
又因为-√3≤y≤√3,所以当 y=- 时,|PQ|最大值为√5.
2
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题二 圆锥曲线中的定点与定值问题
【例 2】 已知椭圆
2
C: 2
+
2
2
=1(a>b>0)的左顶点 A(-2,0),过
任意一点,求1 ·2 的最小值.
思路分析(1)由已知条件易得 a2,b2 的值,代入可得双曲线方
程;(2)将1 ·2 的值用点 P 的坐标表示,然后借助双曲线上点
的坐标的范围求得其最值.
专题归纳
高考体验
专题一
解(1)依题意有
2
4
2
− 5 =1.
专题二
3
= ,
2
8 5
- =
2 2
通过解不等式(组)得到参数的取值范围或最值;
(3)函数值域法:将所研究的参数作为一个函数,另一个适当的参
数作为自变量,建立函数解析式,利用函数方法通过函数的最值求
得参数的最值或取值范围;
(4)基本不等式法:利用均值不等式求参数的取值范围或最值.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
跟踪训练 1 设 F1,F2 分别是椭圆
4
4
4
因为 x≥2,所以当 x=2 时,1 ·2 的最小值为-4.
2 2
9
−
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟 圆锥曲线中的最值与范围问题,常常利用以下方法进
行求解.
(1)定义法:结合定义,利用图形中几何量之间的大小关系求解;
(2)不等式(组)法:根据题意列出所研究的参数满足的不等式(组),
= ,
消去 y 得(4k2+3)x2-12=0,
2
2
+ = 1,
4
3
所以|x4|=
12
,
42 +3
专题归纳
高考体验
专题一
所以|OP|=√1 +
又A
3
1, 2
1
在椭圆上,2
+
9
42
=1,
解得 b2=3,所以 c2=1.
所以椭圆 C
2
的方程是
4
2
+ =1.
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专题归纳
高考体验
专题一
2
P(x,y),则 4
专题二
专题三
2
4
(2)设
+ 3 =1,所以 x2=4-3y2,
1 2
4 2 2
1
2
2
所以 PQ =x + =4- y +y -y+
(2)一般问题可由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法
进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单
调性,亦可利用基本不等式等求解.
知识网络
要点梳理
1
2
2.圆锥曲线中的定点、定值问题
解决定点定值问题的常规处理策略:
(1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点
(值)与变量无关.
右焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 3.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 Q,与 y 轴交于点 R,过原
||·||
点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P,求证:
||2
为定值.
思路分析(1)由已知条件求得a,b的值,即得椭圆方程;(2)将直线方
程与椭圆方程联立,利用弦长公式将|AQ|,|AR|,|OP|的值表示出来,
专题三
2 = 4,
解得 2
故双曲线的方程为
= 5,
1,
(2)由已知得 A1(-2,0),F2(3,0),设 P(x,y)(x≥2),于是
1 =(-2-x,-y),2 =(3-x,-y),
所以1 ·2 =x -x-6+y =x
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100
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-x-6+ x2-5= x2-x-11=
第3课时
圆锥曲线中的最值、范围、
定点、定值问题
知识网络
要点梳理
离心率的范围与最值
范围与最值 参数的范围与最值
距离问题的范围与最值
圆锥曲线的综合问题
定点与定值
综合问题
定点问题
定值问题
知识网络
要点梳理
1
2
1.圆锥曲线中的最值与范围问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,常规的处理策略是:
(1)若具备定义的最值问题,可用定义转化为几何问题来处理.
(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点
(值).
知断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)“设而不求”法是解决圆锥曲线综合问题的基本方法. (
)
(2)在直线与圆锥曲线的综合问题中,可设直线方程为y=kx+b.
(
)
(3)在最值问题中,必须考虑函数关系式中变量的取值范围. (
)
答案：(1)√ (2)× (3)√
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题一 圆锥曲线中的范围与最值问题
【例 1】
2
已知双曲线2
−
2
3
2 =1(a>0,b>0)的离心率等于2,且
点(-2√2, √5)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上
然后进行化简,即可证明其是定值.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
解(1)由左顶点 A(-2,0)易知 a=2,设过右焦点 F 且垂直于长轴
的弦为 MN,
将
2
M(c,yM)代入椭圆方程2
+
2
2
=1,
2
22
解得 yM=± ,故 =3,可得 b2=3,
2
2
故椭圆方程为 4 + 3 =1.
右焦点,椭圆 C 上的点 A
3
1, 2
2
C:2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、
到 F1,F2 两点的距离之和等于 4.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设点 P 是椭圆 C 上的动点,Q
1
0, 2
,求|PQ|最大值.
解(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1,F2 两点
的距离之和是 4,所以 2a=4,即 a=2.
(2)由题意知,直线 AQ,OP 斜率存在,设为 k,则直线 AQ 的方程
为 y=k(x+2),直线 OP 的方程为 y=kx.可得 R(0,2k),则
|AR|=2√1 + 2 .
= ( + 2),
设 A(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组
2
4
2
+ 3
= 1,
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
消去 y 得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
x1+x2=-
162
2
162 -12
,x1x2=
4 +3
2
4 +3
,
则|AQ|=√1 + 2 |x1-x2|
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=√1 + 2 (1 + 2 ) -41 2 =
12 1+2
2
4 +3
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设 y=kx 与椭圆交另一点为 T(x3,y3),P(x4,y4),联立方程组