2025数学大一轮复习讲义人教A版 第八章 §8.8 抛物线

抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42；
①
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P， M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，
这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.( √ )
自主诊断
2.(选择性必修第一册 P133T2 改编)抛物线 x2＝14y 的准线方程为
√A.y＝－116
B.x＝－116
C.y＝116
D.x＝116
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 y 轴正半轴上，焦点坐标 为0，116，准线方程为 y＝－116.
因为|BD|＝2|BF|， 所以|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故 D 错误.
思维升华
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直 观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数 形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2 ＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点， 且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__x_＝__－__32__.
可得 2＋41m＝141，解得 m＝13.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1， 到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
5 A.2
√B.5 2 2
C.2
D. 2
直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P
到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦
知识梳理
2.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 焦点
x≥0，y∈R p2，0
x≤0，y∈R －p2，0
y≥0，x∈R 0，p2
y≤0，x∈R 0，－p2
知识梳理
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
∴点 B 的横坐标为p4， ∴|FB|＝p2＋p4＝3，∴p＝4， ∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.
思维升华
求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点
为(0，－9)，则抛物线C的方程为
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
对称轴 顶点
离心率
_x_轴___
_(_0_,0_)_ e＝_1__
__y轴___
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2， 也称为抛物线的焦半径. 3.设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，准线 x＝－p2与 x 轴相交于点 P，过焦点 Fp2，0的直线 l 与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O 为原点，α 为 AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝ 1＋k2|x1－ x2|，|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝si2np2α.
经过点 F，与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线 C 的
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的 垂线，垂足分别为点E，M，连接EF. 设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p. 因为直线 l 的斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形，
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
(×) (2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).( × ) (3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( √ )
第八章
§8.8 抛物线
课标要求
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等 的点的轨 迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 . 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点 F垂直于直线l的一条直线.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F. 若 对 于 抛 物 线 上 的 一 点 P ， |PM| ＋ |PF| 的 最 小 值 为 41 ， 则 p 的 值 等 于 _4_2_或__2_2__.
当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作
自主诊断
3.(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到
焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为
A.y2＝8x
√B.y2＝4x
C.y2＝2， 则 3＋p2＝4，即 p＝2，故抛物线方程为 y2＝4x.
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4.若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为
所以x0＝±2，
即点 P 的坐标为±2，5－2 p， 代入抛物线方程 x2＝2py(p>0)，得 4＝2p·5－2 p，解得 p＝1 或 p＝4，
即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交 于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形， 则p等于
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE， 所以 F 为 AD 的中点，则D→F＝F→A，故 B 正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°， 所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
跟踪训练 1 (1)已知抛物线 y＝mx2(m>0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点
F 的距离为141，则 m 等于
A.4
B.3
1 C.4
√D.13
由题意知，抛物线 y＝mx2(m>0)的准线方程为 y＝－41m， 根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点 F 的距离等于到准线 y＝－41m的 距离，
A.0
B.1
√C.2
D.3
由抛物线的定义可知， 抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 则最短距离为p2＝1，所以 p＝2.
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第二部分
探究核心题型
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的
上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动
A.
5 2
B.
2 5
C.5 2 2
√D.2 5 5
因为四边形ABCD是矩形， 所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径， 因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p， 所以有p22＋p2＝1，解得 p＝255.
(2)(多选)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，直线 l 的斜率为 3且
由最小值为 41，得 解得p＝22或p＝58.
402＋20－p22＝41，
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去. ②
综上，p＝42或p＝22.
思维升华
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可 根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合” 是灵活解题的一条捷径.
方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
p 所以||OPFF||＝||FPQF||，即2p＝p6，
解得p＝3(p＝0舍去)， 所以 C 的准线方程为 x＝－32.
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝p2， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3， 32＝－2p1·(－4)， 则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
(2)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，点 A，B 在抛物线上，且直线 AB 过点
D－p2，0，F 为 C 的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线 C 的标准方程 为__y_2_＝__8_x__.
如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1， 由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|， 则易知B为AD的中点.连接OB， 则OB为△DFA的中位线， ∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|， ∴点B在线段OF的垂直平分线上，
2 则该抛物线C的方程为__x_2_＝__2_y或__x_2_＝__8_y__.
由题意设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，F0，p2，圆的半径为45， 由焦半径公式可知 y0＋p2＝52，得 y0＝5－2 p， 并且线段 PF 中点的纵坐标是y0＋2 p2＝54，
所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，
A.x2＝6y C.x2＝18y
√B.x2＝12y
D.x2＝36y
由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，
设抛物线的焦点为0，p2，则准线为 y＝－p2， 所以p2＋2－9＝－p2，解得 p＝6，
所以抛物线C的方程为x2＝12y.
(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线 C上，|PF|＝ 5 ，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，
即 p2＝p2×6，解得 p＝3 或 p＝0(舍去)， 所以 C 的准线方程为 x＝－32.
(2)已知 F 是抛物线 y2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线 交 y 轴于点 N，若 3F→M＝2M→N，则|NF|＝__1_6___.
易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4， 如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l 于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC， 则||MNFN||＝|BM|O|－F||CN|， 由 3F→M＝2M→N，得||MNFN||＝35，
点P的轨迹方程为
√A.x2＝8y
C.y2＝8x
B.x2＝16y D.y2＝16x
因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)， 所以A(0,2)，B(0，－2)， 又因为过点B作圆O的切线l， 所以切线l的方程为y＝－2， 因为动点P到A的距离等于P到l的距离， 所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2， 所以P的轨迹方程为x2＝8y.
点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交
点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－
4＝0的距离.
∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝|－1＋20－4|＝5
2
2 .
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为__y_2_＝__13_6_x_或___x2_＝___ _－__94_y__.