7.5柱锥台球剖析

学案7.5 柱锥台球
学习目标： 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能简单运用这些特征描；
2. 了解柱、锥、台、球的表面积、体积的计算公式，会利用公式进行简单计算。

自主梳理1. 空间几何体： （1）多面体的结构特征：
①棱柱的上下底面________，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是________的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形．
③棱台可由________于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________． （2）旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其________________旋转得到．
③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
④球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是求球心角。

对于几何体（如球与其他几何体）的切、接问题，要注意仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，如过球心及多面体中的特殊点或特殊线作截面)，达到空间问题平面化的目的：
如球的内接长方体、正方体、正四棱柱等的关键是球的直径即棱柱的体对角线长（2
2
2
2
4R a b c =++）． （3）柱、锥、台和球的侧面积和体积：
侧面积 体积
圆柱 S 侧＝ V ＝ ＝ 圆锥 S 侧＝ V ＝______＝______＝13πr 2l 2－r 2
圆台 S 侧＝________ V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13
π(r 21＋r 2
2＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝ V ＝ 正棱锥 S 侧＝ V ＝
正棱台 S 侧＝ V ＝1
3(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球
S 球面＝
V ＝
2.要注意领会和掌握两种数学思想方法即割补法与等积法：
①割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点．
②等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
探究点一 概念辨析题：【例1】给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这
两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长
一定相等．其中正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
变式练习1. 给出下列五个命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；⑤若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱．其中正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
探究点二 柱、锥、台、球的表面积及体积： 例2三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱
长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．
变式练习2.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC ＝30°)及其体积．
探究点三 简单组合体问题： 例3 正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
变式练习3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________．
探究点四 几何体表面上的最短距离问题：【例4】（1）如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，CC 1＝c ，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短线路的长．
（2）设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于
2
4
πR .求A 、B 两地间的球面距离．
变式练习4 (2006江西)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，
∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝ 2.P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．
当堂检测
1.给出下列四个命题：①有四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥．其中不正确的命题
的个数是（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 2．(2011·唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，则它的表面积与正方体表面积的比为( )
A .3∶3
B .2∶2
C .3∶6
D .6∶6
3．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1：3，则
锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ） A ．1：3 B ．1：9 C ．1：33 D ．1：（33-1）
4．如图所示，三棱台
C B A ABC '''-中，2:1:=''B A AB ，则三棱锥
C B A B C B A C ''-'''-,，ABC A -'的体积之比为（ ）
A.1:1:1
B.1:1:2
C.1:2:4
D.1:4:4
5. (2011·烟台月考)已知三棱柱ABC —A
1B 1C 1的侧棱与底面边长都等于2，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为________．
6. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
A 案
1. 已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D —ABC 的外接球的表面积等于
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．24π
2. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π
3
，则这个三棱柱的体积
是( )
A ．96 3
B ．16 3
C ．24 3
D ．48 3
3. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，长为定值的线段EF 在棱AB 上移动(EF<a)，若P 是A 1D 1上的定点，Q 是C 1D 1上的动点，则四面体P —QEF 的体积是( )
A ．有最小值的一个变量
B ．有最大值的一个变量
C ．没有最值的一个变量
D ．一个不变量 4．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为( )
A .16V
B .14V
C .13V
D .12
V 5．给出下列命题：①对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个；④圆锥的侧面展开图可以是一个圆
面；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥底面是等边三角形，三个侧面都是等腰
三角形的三棱锥是正三棱锥．其中正确命题的个数是( )个． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．(2011·马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________．
7.一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪
下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.
8．已知球O 的面上有四点A,B,C,D,DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥,DA=AB=BC=2，则球O 的体积为________．
9.设圆锥母线长2，底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，底面圆心到AB 的距离为1，则该圆锥的体积为________． 10. (2011·四川)如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
11．如图组合体中，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥A
1—BCC 1B 1与圆柱的体积比．
12．如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD 的大小；若不存在，说明理由．
13．(2011·锦州期末)如图，多面体ABFEDC 的直观图及三视图如图所示，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A —CDEF 的体积．
学案7.5 柱锥台球
学习目标： 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能简单运用这些特征描；
2. 了解柱、锥、台、球的表面积、体积的计算公式，会利用公式进行简单计算。

自主梳理1. 空间几何体： （1）多面体的结构特征：
①棱柱的上下底面________，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是________的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形．
③棱台可由________于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________． （2）旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其________________旋转得到．
③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
④球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是求球心角。

对于几何体（如球与其他几何体）的切、接问题，要注意仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，如过球心及多面体中的特殊点或特殊线作截面)，达到空间问题平面化的目的：
如球的内接长方体、正方体、正四棱柱等的关键是球的直径即棱柱的体对角线长（2
2
2
2
4R a b c =++）． （3）柱、锥、台和球的侧面积和体积：
侧面积 体积
圆柱 S 侧＝ V ＝ ＝ 圆锥 S 侧＝ V ＝______＝______＝13πr 2l 2－r 2
圆台 S 侧＝________ V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13
π(r 21＋r 2
2＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝ V ＝ 正棱锥 S 侧＝ V ＝
正棱台 S 侧＝ V ＝1
3(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球
S 球面＝
V ＝
2.要注意领会和掌握两种数学思想方法即割补法与等积法：
①割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点．
②等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
探究点一 概念辨析题：
【例1】给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋
转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[审题视点] 根据圆柱、棱锥、圆锥、棱台的结构特征判断．
解析 ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案 B
变式练习1. 给出下列五个命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；⑤若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱．其中正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B ．提示：只有④正确。

探究点二 柱、锥、台、球的表面积及体积：
例2三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱
的侧面积与体积．
解：如图，过点A 1作A 1O ⊥面ABC 于点O ，连接AO.
过点A 1作A 1E ⊥AB 于点E ，过点A 1作A 1F ⊥AC 于点F ，连接EO ，FO ，易得OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∵AA 1和AB 与AC 都成60°角，∴△A 1AE ≌△A 1AF ，∴A 1E ＝A 1F.
∵A 1O ⊥面ABC ，∴EO ＝FO.
∴点O 在∠BAC 的角平分线上，延长AO 交BC 于点D ， ∵△ABC 是正三角形，∴BC ⊥AD.∴BC ⊥AA 1. ∵AA 1∥BB 1，∴侧面BB 1C 1C 是矩形，
∴三棱柱的侧面积为S ＝2×3×4×sin 60°＋3×4＝12＋12 3.
∵AA 1＝3，AA 1与AB 和AC 都成60°角，
∴AE ＝3
2
.∵∠BAO ＝30°，∴AO ＝3，A 1O ＝ 6.
∴三棱柱的体积为V ＝3
4
×16×6＝12 2.
变式练习2.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC ＝30°)及其体积．
解 如图所示，过C 作CO
1⊥AB 于O 1，
在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，
∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝3
2
R ，∴S 球＝4πR 2，
S 圆锥AO1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，S 圆锥BO1侧＝π×32R ×R ＝3
2πR 2，
∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO1侧＋S 圆锥BO1侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32
πR 2
，
∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32
πR 2
.
又V 球＝43πR 3，V 圆锥AO 1＝13·AO 1·πCO 21＝14πR 2·AO 1，V 圆锥BO1＝13BO 1·πCO 2
1
＝14
πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(V 圆锥AO1＋V 圆锥BO1)＝43πR 3－12πR 3＝5
6πR 3.
探究点三 简单组合体问题：
例3 正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如
图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积． 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×3
2
×26＝2，
则正棱锥侧面的斜高为
12＋(2)2＝ 3.∴S 侧＝3×1
2
×26×3＝9 2.
∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×3
2
×(26)2＝92＋6 3.
(2)设正三棱锥P —ABC 的内切球球心为O ，连结OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .
∴V P —ABC ＝V O —P AB ＋V O —PBC ＋V O —P AC ＋V O —ABC ＝1
3S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13
S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P —ABC ＝13×12×3
2×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，
得r ＝23
32＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.∴S
内切球＝4π(
6－2)2＝(40－
166)π.
V 内切球＝43π(6－2)3＝8
3
(96－22)π.
变式练习3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1
＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________． 20π。

解析 在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径r ＝2，设此圆圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.
探究点四 几何体表面上的最短距离问题：
【例4】（1）如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，CC 1＝c ，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A 到C
1的最短线路的长．
解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．
三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为： (a ＋b )2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ，a 2＋(b ＋c )2＝
a 2＋
b 2＋
c 2＋2bc ，
(a ＋c )2＋b 2＝
a 2＋
b 2＋
c 2＋2ac ，∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0.
故最短线路的长为
a 2＋
b 2＋
c 2＋2bc.
（2）设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于
2
4
πR .求A 、B 两地间的球面距离．
解：如图所示，A 、B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为它的半径，∴OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′.
∵∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°，∴AO ′＝BO ′＝OA ·cos45°＝2
2
R .
设∠AO ′B 的度数为α，则απ180·AO ′＝απ180·22R ＝2
4πR ，∴α＝90°.
∴AB ＝
AO ′2＋BO ′2＝
(
22R )2＋(2
2
R )2＝R . 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.
∴A 、B 两点间的球面距离为60πR 180＝π
3
R .
变式练习4 (2006江西)如图所示，在直三棱柱ABC －A
1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝ 2.P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________． 52。

解析 将△BCC 1沿BC 1线折到面A 1C 1B 上，如图所示．连接A 1C 即为CP ＋PA 1的最小值，过点C 作CD 垂直A
1C 1延长线交于D ，△BCC 1为等腰直A 1D 2＋CD 2
角三角形，∴CD ＝1，C 1D ＝1，A 1D ＝A 1C 1＋C 1D ＝7.∴A 1C ＝＝
49＋1＝5 2.
当堂检测
1.给出下列四个命题：①有四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥．其中不正确的命题的个数是（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
B.解析 ①对；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故不正确；③直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱,故不正确；④若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故④中不能组成正六棱锥,错误．
2．(2011·唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，则它的表面积与正方体表面积的比为( )
A .3∶3
B .2∶2
C .3∶6
D .6∶6
A [设正方体棱长为a ，则正四面体棱长A
B ＝2a ，∴S 正四面体表＝4×3
4×(2a)2＝
23a 2.∵S 正方体表＝6a 2，∴四面体的表面积与正方体表面积的比为3∶3.]
3．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1：3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ） A ．1：3 B ．1：9
C ．1：33
D ．1：（33-1）
D
4．如图所示，三棱台
C B A ABC '''-中，2:1:=''B A AB ，则三棱锥
C B A B C B A C ''-'''-,，ABC A -'的体积之比为 （ ）
A.1:1:1
B.1:1:2
C.1:2:4
D.1:4:4
C
5. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容
器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为V ＝V
圆锥－V 球＝
π3(3r )2·3r －4π3r 3＝5π3
r 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为
33h ，从而容器内水的体积为V ′＝π3⎝⎛⎭⎫33h 2h ＝π
9
h 3， 由V ＝V ′，得h ＝3
15r .
6. (2011·烟台月考)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都等于2，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为________． 变式1 27＋4
解：如图所示，设D 为BC 的中点，连接A
1D ，AD.∵△ABC 为等边三角形，∴AD ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1AD ，∴BC ⊥A 1A ，又∵A 1A ∥B 1B ，∴BC ⊥B 1B ，又∵侧面与底面边长都等于2，
∴四边形BB 1C 1C 是正方形，其面积为4.作DE ⊥AB 于E ，连接A 1E ，则AB ⊥A 1E ， 又∵AD ＝
22－12＝3，DE ＝
AD·BD AB ＝3
2，∴AE ＝AD 2－DE 2＝3
2
，∴A 1E ＝
AA 2
1－AE 2＝
7
2
，∴S 四边形ABB1A1＝7，∴S 三棱柱侧＝27＋4. A 案
1. 已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D —ABC 的
外接球的表面积等于
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．24π C
2. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π
3
，则这个三棱柱的体积
是( )
A ．96 3
B ．16 3
C ．24 3
D ．48 3
2．D [由43πR 3＝32π3，∴R ＝2.∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·3
2a ＝2，∴a ＝4 3.
∴V ＝3
4
×(43)2×4＝48 3.]
3. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，长为定值的线段EF 在棱AB 上移动(EF<a)，若P 是A 1D 1上的定点，Q 是C 1D 1上的动点，则四面体P —QEF 的体积是( )
A ．有最小值的一个变量
B ．有最大值的一个变量
C ．没有最值的一个变量
D ．一个不变量 D 4．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为( )
A .16V
B .14V
C .13V
D .12V C
5．给出下列命题：①对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个；④圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是
正三棱锥．其中正确命题的个数是( )个．③④⑤⑥ A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
D.解:①错误，底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；②错误，必须用平行于底面
的平面去截棱锥，才能得到棱台；③错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆;④错．由圆锥的母线一定比底面半径大，可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过2π的扇形；⑤正确，正方体AC 1中的四棱锥C 1—ABC ，四个面都是直角三角形；⑥错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形．因此，正确命题的序号是⑤. 6．(2011·马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________．
67
解析 取底面中心为O ，AF 中点为M ，连接PO 、OM 、PM 、AO ，则PO ⊥OM ，
OM ⊥AF ，PM ⊥AF ， ∵OA ＝OP ＝2，∴OM ＝3，
PM ＝
4＋3＝7. ∴S 侧＝6×1
2
×2×7＝67.
7. (2011·淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.
7.153π解析 围成圆锥筒的母线长为4 cm ，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝14
·2π×4， ∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝42－12＝15.∴V 圆锥＝13·πr 2·h ＝15
3
π(cm 3)．
8．(2011·四川)如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
2πR 2解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S 圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR 2sin 2α.当sin 2α＝1时，S 圆柱侧最大为2πR 2，此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.
方法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2.∴S 圆柱侧＝2πr·2
R 2－r 2，
S ′圆柱侧＝4πR 2
－r 2
－
4πr 2
R 2－r 2
.令S ′圆柱侧＝0，得r ＝
2
2
R. 当0<r<
22R 时，S ′>0；当2
2R<r<R 时，S ′<0. ∴当r ＝2
2R 时，S 圆柱侧取得最大值2πR 2.此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.
方法三 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2，
∴S
圆柱侧＝2πr·
2R 2
－r 2
＝4π
r 2
(R 2
－r 2
)≤4πr 2＋(R 2－r 2)2＝2πR 2(当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝2
2
R 时取
“＝”)．
∴当r ＝
2
2
R 时，S 圆柱侧最大为
2π
R
2.此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2. 9.设圆锥母线长2，底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，底面圆心到AB 的距离为1，则该圆锥的体积为________．
22
3
π
10.已知球O 的面上有四点A,B,C,D,DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥,DA=AB=BC=2，则球O 的体积为________．
6π
11．如图组合体中，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥A 1—BCC 1B 1与圆柱的体积比．
11．解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，
当点C 是弧AB 的中点时，三角形ABC 的面积为r 2，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积
为r 2h ，三棱锥A 1—ABC 的体积为13r 2h ，四棱锥A 1—BCC 1B 1的体积为r 2h －13r 2h ＝23
r 2h ，圆柱的体积为πr 2h ，(10分)
故四棱锥A 1—BCC 1B 1与圆柱的体积比为2∶3π. (12分)
12．如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：
BC ⊥AD ；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱
长AD 的大小；若不存在，说明理由．
12．(1)证明 取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，EF ，
∵△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形，
∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC.又AE ∩DE ＝E ，∴BC ⊥平面AED.又AD ⊂面AED ，∴BC ⊥AD.(6分)
(2)解 由已知得，△AED 为等腰三角形，且AE ＝ED ＝23，设AD ＝x ，F 为棱AD 的中点，
则EF ＝12－⎝⎛⎭⎫12x 2，S △AED ＝12x 12－x 24＝14
48x 2－x 4，(8分) V ＝13S △AED ·(BE ＋CE)＝13
48x 2－x 4 (0<x<43)，当x 2＝24，即x ＝26时，V max ＝8， ∴该四面体存在最大值，最大值为8，(11分)此时棱长AD ＝2 6.(12分)
13．(2011·锦州期末)如图，多面体ABFEDC 的直观图及三视图如图所示，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A —CDEF 的体积．
13．(1)证明 由多面体ABFEDC 的三视图知，三棱柱AED —BFC 中，底面DAE
是等腰直角三角形，DA ＝AE ＝2，DA ⊥平面ABFE ，面ABFE ，ABCD 都是边长为
2的正方形．(3分)
连接EB ，则M 是EB 的中点，在△EBC 中，MN ∥EC ，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF.(6分)
(2)解 ∵DA ⊥平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，
∴EF ⊥AD.又EF ⊥AE ，AE ∩AD ＝A ，∴EF ⊥平面ADE. 又DE ⊂平面ADE ，∴EF ⊥DE ，(8分)
∴四边形CDEF 是矩形，且平面CDEF ⊥平面DAE.
取DE 的中点H ，连接AH ，∵DA ⊥AE ，DA ＝AE ＝2， ∴AH ＝2，且AH ⊥平面CDEF.(12分)
∴多面体A —CDEF 的体积V ＝13S CDEF ·AH ＝13DE·EF·AH ＝83
.(14分)。