复旦附中高二第一学期数学巩固练习2(5)套

高二第一学期数学导学（6） 实系数一元二次方程 2017.2
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学习目标
1、理解并掌握在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根及求根公式。

2、理解在复数范围内，实系数一元二次方程根与系数的关系（韦大定理）依然成立。

自主学习
1.阅读理解（教材第90-93：实数一元二次方程）
2.模仿练习（教材例1，2，3，课后练习1
3.6（1）（2）） 精致表述
一、复数范围内，解关于x 的实系数一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=?： 二、复数范围内，关于x 的实系数一元二次方程2
0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=喂根与系
数的关系：
三、复数范围内，探究关于x 的一元二次方程2
0(,,,0)ax bx c a b c C a ++=喂
的求解问
题。

例1.在复数集内解方程：
（1）2
2450x x -+=（2）2
210x ax ++=
例2.已知32i -是关于x 的方程2
20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值。

例3.若α，β是关于x x 的实系数一元二次方程2
0x x m ++=的两根，且||3αβ-=，求实数m 的值。

例4.设关于x 的实系数方程2
2
36(1)10x m x m --++=的两根为α、β，且
||||2αβ+=，求实数m 的值.
课后练习 一、填空题
1.方程2
40x x k -+=有一个根为22i +1+2i ，则k 的值为 .
2.若实系数一元二次方程的根为1+
，1-，则这个一元二次方程为 .
3.若关于x 的方程2
30x kx -+=有虚根，则实数k 的取值范围是 . 4.方程2
230x x -+=的两根为 .
5.若1x ，2x 是一元二次方程2
70x x -+=的根，则()2
12x x -= .
6.在复数范围内分解因式：32
2x x x -+= .
7.k R Î，方程2
(3)40x k i x k ++++=一定有实根的充要条件是 . 8.已知关于x 的实系数方程22
30x kx k k ++-=有一个模为1的虚根，则实数k 的值 为 .
9.方程()
2225220x x x x i -++--=的实数解是 .
10.关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实根，则实数m 的值是 . 11.若共轭复数x ，y 满足2
()346x y xyi i +-=-，则x ，y 共有 组解. 12.在复数范围内因式分解：3
64x -=；2
1x x -+= . 二、选择题
13.已知123x x +=，126x x =，则1x ，2x 应满足方程（ ）
（A ）2
360x x ++=（B ）2
360x x +-=（C ）2
360x x -+=（D ）2
360x x --= 14.设关于x 的实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=在复数集中的两个根为α，β，则下列结论恒成立的是（力）
（A ）α，β互为共轭复数 （B ）,b c a a
αβαβ+=-
=
（C ）2
40b ac ∆=-> （D ）||αβ-=15.在复数范围内将2
243x x -+分解因式，所得的结果是（ ）
（A ）11x x 骣骣鼢珑鼢---+珑鼢珑鼢珑桫桫 （B ）11x x 骣骣鼢珑鼢+-++珑鼢珑鼢珑桫桫
（C ）21122x x i 骣骣鼢珑鼢---+珑鼢珑鼢珑桫
桫 （D ）21122x x i 骣骣鼢珑鼢+-++珑鼢珑鼢珑桫
桫
16.二次方程2
330x ix --=的根的情况是（ ） （A ）有两个不相等的实根 （B ）有两个虚根 （C ）有一对共轭虚根 （D ）有一实根和一虚根 三、简答题
17.求解关于x 的方程2
350()x x m m R -+=?。

18.设虚数12,z z 满足2
12z z =z=z ，，若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求
12,z z 。

19.在复数集中解方程：2
2||10z z +-=。

20.（1）若1i +是实系数方程2
0x px q ++=的一个根，求方程的另一个根以及p 、q 的值；
（2）已知方程2
30x x p ++=的两个根是α和β，若||5αβ-=，求实数p 。

21.设a R Î，方程220x x a ++=的两个根分别是α和β，求||||αβ+的值。

高二第一学期数学巩固练习（7） 空间直线与平面 2017.3.
班级： 姓名：
1.求证：两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线与该平面也相交。

2.空间四边形ABCD 中，6AB CD ==，M ，N 分别是对角线AC ，BD 的中点，且
5MN =.
（1）求证MN 与CD CD 是异面直线； （2）求异面直线AB ，CD 所成的角的大小。

3.在四面体ABCD 中，,,AB a AC b AD c ===，且,,AB AC AD 两两互相垂直。

（1）求证：BCD △是锐角三角形；
（2）求证：顶点A 在底面BCD 上的射影是三角形BCD 的垂心。

4.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，F 为11D C 的中点.
（1）求证：FB ∥平面11AOD ； （2）求点F 和平面11AOD 的距离。

5.与空间不共面的的四点距离相等的平面有几个？说明理由。

6.（1）若点A ，B 到平面α的距离分别为4，10，求线段AB 中点M 到平面α的距离： （2）若点A ，B ，C 到平面α的距离分别为4，8，12，求三角形ABC 的重心G 中点M 到平面α的距离。

7.在四面体ABCD 中，底面BCD 是边长为2的正三角形，60ADC ADB
°??且
3AD =.
（1）求点A 到直线BC 的距离； （2）求证：AD ^平面ABC ； （3）求A 到平面BCD 的距离。

8.若SA ^平面ABCD ，2
DAB
ABC
??，SA AB BC a ===，2AD a =。

（1）求点A 到平面SCD 的距离：
（2）若E 是SD 中点，求证//CE 平面SAB 。

高二第二学期数学巩固练习（8） 空间直线与平面 2017.3
班级： 姓名：
1.设正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M 是面11B BCC 的中心。

（1）求点M 到平面11BB D 的距离；
（2）求点M 到正方体各棱所在直线的距离之和。

2.已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ^平面ABCD ，8PD =。

（1）连接PB 、AC ，证明：PB AC ^；
（2）连接PA ，求PA 与平面PBD 所成的角的大小；
3.四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，且60BAC CAD DAB ???。

试
求：
（1）异面直线AC 与BD 所成角的大小； （2）AB 与平面BCD 所成的角。

4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P ，Q 分别是线段1AD 和BD 上的点，且
1::5:12D P PA DQ QB ==.
（1）求证//PQ 平面11CDD C ： （2）求证PQ AD ^： （3）求线段PQ 的长.
5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AB 的中点,设2AB =。

求：
（1）1A B 和平面11A B CD 所成的角：
（2）1C M 与平面11BCD A 所成的角。

6.如图，PA ^矩形ABCD 所在平面，直线PD 与平面ABCD 所成的角为4 ，且2,AB a AD a ==，M ，N 分别是AB ，PC 的中点。

（1）证明：MN ∥平面PAD ：
（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角：
（3）求直线CP 与平面PAD 所成的角。

7.如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 的边DA ，AB 中点，EF AC
M ?，PC ^
平面ABCD ，4AB =,2PC =。

（1）FP 与平面PMC 所成的角；
（2）FP 与平面PCB 所成的角。

8.已知矩形ABCD 的边长6AB cm =,4BC cm =，在CD 上截取4CE cm =，以BE 为棱将矩形折起，使1BC E △的高1C F ^平面ABCD ，求：
（1）点
1C 到平面ABCD 的距离：
（2）点1C 到边AB 的距离；
（3）点1C 到边AD 的距离。

（4）直线1AC 与ABCD 所成的角。

高二第二学期数学巩固练习（9） 空间平面与平面的位置关系 2017.3.
班级： 姓名：
例1.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(0CM BN a a ==<<。

（1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小；
（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成
的二面角α的大小。

例2.如图，已知平面α,β，且AB αβ?,PC α^,PD β^，C ，D 是垂足.
（1）求证：AB ^平面P C D ；（2）若
1P C P D ==,CD =
αβ^。

课后练习
1.已知SA ^平面ABC ，且平面SAC ^平面SBC 。

（1）求证：ABC △为直角三角形。

（2）若A C B C S A a ===
，求二面角A SB C --的
大小。

2.已知：设P 是平面ABCD 外一点，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ^平面ABCD ，且2PA =,60ABC ?，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.
（1）求异面直线EF 与PD 所成的角：
（2）求二面角F AE C --的大小.
3.已知二面角AB αβ--,,C D
αβ挝，且A C A B ^,BD AB ^，若
3AB =,9AC =,10BD CD ==，试求：
（1）二面角AB αβ--的大小；
（2）AB 与CD 所成角的大小。

（3）CD 与平面α所成的角。

4.在三角形ABC 中，90ABC
°?，PA ^平面ABC ，PC 与平面ABC 所成的角为30，
且PA AB =。

（1）求PC 与平面PAB 所成的角；
（2）求二面角B PC A --的大小。

5.如图，ABCD 是边长为2a 的止方形，PA PB PC PD ===，点P 到平面ABCD 的距离PO a =。

（1）求二面角B PC D --的大小：
（2）求证：平面PAB ^平面PCD
（3）求直线AB 到平面PCD 的距离。

（4）求平面PAD 与平面PAC 所成锐角的大小。

6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.
（1）试确定点F 的位置，使得1E D ^平面1AB F ；
（2）当1E D ^平面1A B F 时，求二面角
1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）.
7.在侧棱长为1的直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是直角三角形，直角边 1CA CB ==，M 是1C C 上一点。

（1）如果2
CM =，求二面角1M AB A --的大小。

（2）如果(01)C M x x =<<，二面角
1M AB A --与11M A B A --分别为α和
β，求tg()αβ+的最小值。

高二第二学期数学巩固练习（10） 空间直线与平面 2017.3
班级： 姓名：
例 1.如图所示的多面体是长方体1111ABCD A B C D -被截面1AEC F 所截而得到的，其中4AB =，2BC =,13CC =,1BE =.
（1）求BF 的长；
（2）若二面角AB αβ--大小为02πθθ骣÷ç<<÷ç÷ç
桫，点P βÎ且PQ α^于Q ，求证：cos ABQ
APB
S S θ=△△; （3）求截面1AEC F 与底面ABCD 所成的锐二面角大小。

例2.三面角的余弦定理：若三面角的三个面角分别为α，β，γ，它们所对的二面角大小分别为A ，B ，C ，求证：
cos cos cos sin sin cos A αβγβγ=+
cos cos cos sin sin cos B βαγαγ=+
cos cos cos sin sin cos C γαβαβ=+
课后练习
一、填空题
1.已知P 为三角形ABC 所在平面外一点，且在平面ABC 上的射影是O 。

（1）若PA PB PC ==，则O 是ABC △的 心；
（2）若,,PA PB PC 与平面ABC 所成的角相等，则O 是ABC △的 心；
（3）若O 在ABC △内，且P 到ABC △的三边距离相等，则O 为ABC △的 心；
（4）若侧面,,PAB PAC PBC 与底面ABC 成等角，则O 为ABC △的 心；
（5）若,,PA PB PC 两两垂直，则O 是ABC △的 心；
（6）若PA BC ^，PB AC ^，则O 是ABC △的 心。

2.把边长为2的正三角形ABC 高AD 折成二面角B AD C --后，1BC =，则二面角B AD C --的大小为 。

3.正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段11A C 上运动，异面直线BP 与AD 所成角为θ，则θ的最大值为 .
4.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,11AA =。

则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 .
5.在60的二面角l αβ--内有一点A ，它到α、β的距离都等于a ，则点A 到l 的距离为 。

6.在直二面角AB αβ--的棱AB 上有一点P ，,PC PD αβ烫，若
45CPB DPB ??，则平面CPD 与平面β所成的二面角的大小为 .
7.在正三棱锥P ABC -中，D 为PA 的中点，O 为ABC △的中心。

给出下列四个结论： ①OD //平面PBC ；② OD PA ^；③OD BC ^;④2PA OD =。

其中正确结论的序号是 .
8.在ABC △中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ^平面ABC ，当
18BC =,PM =PN 和平面ABC 所成的角是 .
9.已知m ，n 是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若,,m n m αβαβ^?^，则n α^或n β^；
②若/,,m n αβαγβγ??/，则/m n /；
③若m 不垂真于α，则m 不可能垂直于α内无数条
直线；
④若,//m m n αβ?且n 既不在α内，也不在β
内，则//n α且//n β.
其中正确的命题序号为 .
10.点S 是正方形ABCD 所在平面外一点，SA ^平面
A B C D
， 35AB SC ==，则二面角B SC D --的大小
为 。

11.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，
E 是侧棱1BB ，的中点，求二面角11E AD A --的平面角的大小为 .
12.空间三条射线,,PA PB PC 满足60APC APB ??,90BPC ?.则二面角B PA C --的大小为 .
二、选择题
13.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下
面、左面、右面”表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图
中“我”在正方体的“上面”，这个正方体的“下面”是（ ）
（A ）立 （B ）体 （C ）几 （D ）何
14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底
面ABCD 的中心，E 、F 分别是1,CC AD 的中点。

那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）
（A ）
5（B ）5（C ）45（D ）25
15.？？？？？？
16.在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m //平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线n ^直线m ，则直线n ^平面α：④着点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。

其中正确命题的个数为（ ）
A.1个
B.2个
C.3个 B.4个
三、解答题
17.如图，正方形ABCD 和正方形BDEF 所在的平面互相垂
直，连接AF 、CF .
（1）求异面直线AB 与CF 所成角的大小；
（2）求直线AF 与平面BDEF 所成角的大小.
18.？？？？？
19.如图所示，在因棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
AD AB ⊥,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =，点E 为棱PC 的中点.
（1）证明：BE DC ⊥；
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值：
（3）右F 为校PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.。