2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题66坐标系(押题专练)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料
1．已知圆C 的极坐标方程为ρ2
＋22ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径。

解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy 。

圆C 的极坐标方程为ρ2
＋22ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，可得ρ2
－2ρcos θ＋2ρsin θ－4＝0，
则圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＋2y －4＝0， 化为标准方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝6， 所以圆C 的半径r ＝6。

2．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2
＝21＋sin 2
θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ。

(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；
(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

3．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合。

若直线的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32。

(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；
(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 2
9
＝1上一点，求P 到直线的距离的最大值。

解析：(1)把直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32展开得ρ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22sin θ－22cos θ＝32，化为ρsin θ－ρcos θ＝6，得到直角坐标方程x －y ＋6＝0。

(2)∵P 为椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1上一点，
∴可设P (4cos α，3sin α)， 利用点到直线的距离公式得
d ＝
|4cos α－3sin α＋6|
2
＝
α－φ－6|2≤|－5－6|2
＝112
2。

当且仅当sin(α－φ)＝－1时取等号， ∴P 到直线的距离的最大值是112
2。

4．在极坐标系xOy 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2。

(1)求曲线C 2的极坐标方程；
(2)求曲线C 2上的点到直线ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2距离的最大值。

5．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0。

(2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝2。

故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2。

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2。

6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：ρ2
－4ρcos θ＋2＝0。

(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值。

7．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点。

(1)求a ；
(2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π
3
，求|OA |＋|OB |的最大值。

解析：(1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a ＞0)，变形ρ2
＝2ρa cos θ，化为x 2
＋y 2
＝2ax ，即(x －a )2
＋y 2
＝a 2。

∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆。

由l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32， ∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0。

由直线l 与圆C 相切可得|a －3|
2＝a ，解得a ＝1。

(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π
3
，
则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 当θ＝－π
6
时，|OA |＋|OB |取得最大值23。

8．在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π
4(ρ∈R )交于A ，B 两点。

(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；
(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值。

9．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．
解：点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，
直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，
得
32y －1
2
x ＝1， 即直线的方程为x －3y ＋2＝0，
故点(3，1)到直线x － 3 y ＋2＝0的距离d ＝|3×1－3×1＋2|12＋（－3）
2
＝1.
10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2
＋y 2
＝x ＋y ， 即x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2.
11．在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π
3
(ρ∈R)距离的最大值．
12．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2
＝31＋2sin 2
θ，点R(2 2，π4
)． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2
3＋y 2
＝1，
点R 的直角坐标为R(2，2)．
(2)设P(3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cos θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为(32，1
2
)．
13．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP＝12. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP|的最小值．
解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2
＋y 2
＝3x ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
. 知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．
直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP|的最小值为1.
14.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.
15.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝2
1－sin θ
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2
＋y 2
，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝
2
1－sin θ
化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x 2
＝4y ＋4.
(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·2
1－sin （θ0＋π），
解得θ0＝π6或θ0＝5π
6
，
直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π
6
(ρ∈R ).
16.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π
4
对称的曲线的极坐标方程.
17.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →
，求动点P 的轨迹方程. 解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点. 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2
－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，
化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.
(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →
，
∴ρ1＝2
3ρ，θ1＝θ，
代入圆C 的方程，得
23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 18.已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨
⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；
(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.
(2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π
6
，
把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2
＝61＋2sin 2
θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.。