高中数学必修一第5章-三角函数-教案

=
sin2
+
cos2
=
cos2
(1+
tan2)=源自sin21 +
1 tan2
.
5.3 诱导公式
知识 9 三角函数的诱导公式 1.诱导公式概述 三角函数的“诱导”公式即“推导”公式，是一种约定俗成的称法.实质上，它就是将
角 kπ + （ k Z ）的三角函数转化为锐角 的三角函数的一系列公式的总称. 2
例 7 （2020 全国卷Ⅱ·理）若 为第四象限角，则（ ）
A. cos2 0
B. cos2 0
C. sin2 0
D. sin2 0 解析 由 为第四象限角，可得 3π + 2kπ 2π + 2kπ ， k Z ，所以
2 3π + 4kπ 2 4π + 4kπ ， k Z ．此时 2 的终边可能落在第三、四象限或 y 轴的负半
k 360 + 270 k 360 + 360, k Z
例 1 （多选）已知角 是第一象限角，则角 可能在以下哪个象限（ ） 3
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为角 是第一象限角，所以 k 360 k 360 + 90(k Z) ，所以
k 120 k 120 + 30(k Z) .当 k = 0 时， 0 30 ，此时 在第一象限；
必修第 5 章 三角函数
知识清单
5.1 任意角和弧度制
知识 1 角的基本概念 1.角的定义
我们把平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角.其中 位于初始位置的射线叫做始边，位于终止位置的射线叫做终边.规定逆时针旋转形成的角为 正角，顺时针旋转形成的角为负角，射线不旋转时形成零角. 2.角的表示
点的距离 OP = a2 + b2 (OP 0) ，我们用 r 表示这个距离，则任意角的正弦函数、余弦函数
和正切函数的定义、定义域以及值域如下表所示：
函数名 定义
定义域
正弦
sin = b
R
r
余弦
cos = a
R
r
值域 [−1,1] [−1,1]
正切
tan = b a
2
+
k ,
k
Z
R
例 6 已知 P(−3, 4) 是角 的终边上的点，则 sin = （ ）
1 / 37
（2）象限角的集合表示 第一象限角的集合
k 360 k 360 + 90, k Z
第二象限角的集合
k 360 + 90 k 360 + 180, k Z
第三象限角的集合
k 360 +180 k 360 + 270, k Z
第四象限角的集合
S = = + k 360, k Z .其中 S 为所有与角 终边相同的角 构成的集合.
2.象限角和轴线角 （1）象限角和轴线角的概念 在直角坐标系中，我们一般使角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合.此时，终 边落在第几象限，就称该角为第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一 个象限，称这个角为轴线角.
很多时候我们需要求一些较大的任意角的三角函数值，此时利用诱导公式，可将这些较 大角转化为熟悉的锐角三角函数值，从而简化计算.
2.诱导公式内容
公式一
公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
sin( + k 2 ) = sin ， cos( + k 2 ) = cos ， tan( + k 2 ) = tan （其中 k Z ）.
知识 8 同角三角函数的基本关系
公式
平方关系
sin2 + cos2 = 1
释义 对于同一个角 ，其正弦值、余弦 值的平方和等于 1
6 / 37
标表示正弦函数，横坐标表示余弦函数，更为简洁. 2）初中的锐角三角函数是在直角三角形中定义的，“对比斜”、“邻比斜”、“对比邻” 分别表示锐角的正弦、余弦和正切，高中将这一定义拓展到了任意角，要注意思维拓展. 3）对于每一个确定的角，其三角函数值要么唯一存在，要么不存在，因此可以建立角与三 角函数值之间的函数关系.
5
5
sin + cos =
3 5
+
−
4 5
=− 1 ．
sin − 2cos
3 5
−
2
−
4 5
11
答案 A
例 9 已知 tan = − 4 ，且 是第二象限的角． 3
（1）求 sin 和 cos 的值；
（2）求 cos + sin 的值． cos − sin
解析 （1）因为 tan = sin = − 4 ， cos 3
B
O
A
以上是角的示意图，射线 OA 为始边，射线 OB 为终边，点 O 为角的顶点，图中角 可 记作“角 ”或“∠ ”或“∠AOB”，也可简记作“ ”. 3.相等的角和相反的角 若有两个角 和 ，始边旋转方向相同且旋转量相等，则可说这两个角相等，即 = .若 旋转方向相反而旋转量相等，则这两个角互为相反角，即 = − .
所以 sin = − 4 cos ， 3
又 sin2 + cos2 = 1，
所以 25 cos2 = 1， 9
因为 为第二象限角，
所以 cos = − 3 ， sin = 4 ．
5
5
（2）将 cos + sin 中分子和分母同时除以 cos ，并根据 tan = sin 可得
cos − sin
cos
3
3
3
当 k = 1时，120 150 ，此时 在第二象限；当 k = 2 时，240 270 ，此时
3
3
3
在第三象限；当 k = 3时，360 390 ，此时 在第一象限……分析规律可知，角
3
3
3
可能在第一象限或第二象限或第三象限． 3
答案 ABC
知识 3 弧度制的概念 1.弧度的定义 数学上把圆内长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度制即使用弧度来度
4
A.
3
B.
C. − 3
D. − 4
5
5
5
3
解析 因为 P(−3, 4) 为角 终边上的一点，所以 x = −3 ， y = 4 ，r = (−3)2 + 42 = 5 ，
所以 sin = y = 4 ． r5
答案 A 要点释义
1）特别地，当 P(a,b) 在单位圆上，即 r = a2 + b2 = 1 时，有 sin = b ， cos = a ，即纵坐
2 / 37
4π
A.
3
7π
B.
6
C. − 5π 6
2π
D.
3
解析 要把角度化成弧度，只需乘以 即可，所以 210 = 210 rad = 7 rad ．
180
180
6
答案 B
3.象限角的弧度表示 由于弧度制用起来比角度制更为方便，所以象限角一般用弧度制来表示：
第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合
商数关系
sin = tan (cos 0) cos
对于同一个角 ，其正弦值、余弦 值的商等于角 的正切值
例 8 已知 sin = 3 ，且 为第二象限角，则 sin + cos 的值为（ ）
5
sin − 2cos
A. − 1 11
1
B.
11
C. − 7
7
D.
5
5
解析 因为 sin = 3 ，且 为第二象限角，可得 cos = − 1− sin2 = − 4 ，则
2k
2k
+
,k 2
Z
2k +
2
2k
+
, k
Z
2k
+
2k
+
, k 2
Z
2k
+
2
2k +
2, k
Z
例 3 已知角 = 1200 ， （1）将 改写成 + 2kπ(k Z, 0 2π) 的形式，并指出 是第几象限的角；
（2）在区间[−4π, π] 上找出与 终边相同的角．
解析
（1）因为
= 1200
= 1200 π rad = 20π
180
3
=
3
2π
+
2π 3
rad
，
而 π 2π π ，所以角 与 2π 的终边相同，角 是第二象限的角．
23
3
（2）因为与角 终边相同的角（含角 在内）为 2kπ + 2π ， k Z ． 3
所以由 −4π 2kπ + 2π π ， k Z 得 k = −2 ， k = −1 时，不等式成立． 3
所以在区间[−4π, π] 上与角 终边相同的角是 − 10π ， − 4π ， 2π ．
3
33
知识 4 弧长、扇形面积公式
3 / 37
r
l
O
如图，在半径为 r 的圆内，有圆心角为 的扇形，其弧长为 l，面积为 S，则有：
弧长公式
l =| | r
扇形面积公式
S = 1 lr = 1 | | r2 22
轴上，所以 sin2 0 ．
答案 D
2.特殊角的三角函数值表
角度
0
30
45
弧度
0
π
π
6
4
正弦
0
1
2
2
2
余弦
1
3
2
2
2
正切
0
3
1
3
60
90 120 135 150 180
π
π
2π
3π
5π
π
3
2
3
4
6
3
1
3
2
1
0
2
2
2
2
1
0
−1
−2 −3
−1
2
2
2
2
3 不存在 − 3
−1
−3
0
3
知识 7 诱导公式一 根据三角函数的定义，易知终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此可以得到一组 公式（诱导公式一）：
知识 6 三角函数的值 1.象限角的三角函数值的符号情况
5 / 37
根据三角函数的定义，可知： ① sin 的符号由点 P(a,b) 的纵坐标 b 决定，即一、二象限为正，三、四象限为负； ② cos 的符号由点 P(a,b) 的横坐标 a 决定，即一、四象限为正，二、三象限为负； ③ tan 的符号由点 P(a,b) 的横、纵坐标共同决定，根据“同号得正，异号得负”可知 一、三象限为正，二、四象限为负. 以上规律可以简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2r + r = 6,
解析
设扇形的半径为 rcm ，圆心角为 (0
2π) ，则弧长 l
=r
，所以有
1 2
r
2
=
2,
解得
r
= 1, = 4,
或
r
= 2, = 1.
答案 AD
要点释义
1）弧长公式 l =| | r 和面积公式 S = 1 | | r2 中 的单位必须是“弧度”，不能是“度”. 2
0.017
45
rad
，1rad
=
180
57.30
=
5718
.
常见的特殊角的度数与弧度对应如下表：
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度(rad) 0 π π π π 2π 3π 5π π 3π 2π
64 3 2 3 4 6
2
例 2 将 210 化为弧度制的结果是（ ）
量角的单位制.弧度一般用符号 rad 表示，读作弧度.在实际使用时，“弧度”二字或者“rad”
通常被省略，只写该角对应的弧度数值.例如 = 即表示 是 rad 的角.
2
2
2.弧度制和角度制的互化
根据 360 = 2 rad ，180 = rad ，可以得到角度与弧度的互化关系式：
1
=
180
rad
例 4 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书
中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?”（一步 = 1.5 米）意
思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为（ ）
A.135 平方米 B. 270 平方米 C. 540 平方米 D.1080 平方米
2）弧长公式和扇形面积公式在初中时已经学过，但都是以“度”为单位进行计算的.
5.2 三角函数的概念
知识 5 三角函数的定义
4 / 37
y P(a, b)
r
O
x
如图，在直角坐标系中，我们使任意角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半 轴重合，在角 的终边上任取除顶点之外的一点 P(a,b) ，此时根据两点距离公式，它与原
原式 = 1+ tan 1− tan
1− 4 =3
1+ 4
=−1 7
．
3
要点释义
1）利用公式 sin = tan (cos 0) 可实现正弦、余弦函数与正切函数间的互相转化. cos
2）利用 (sin cos )2 = 1 2sin cos 可进行和与积的变形、转化.
7 / 37
3）要巧用“1”的变换，即1
解析 由于题中涉及的扇形弧长 l = 45 米，半径 r = 24 = 12 米，根据扇形面积的计算公式 2
S = 1 lr 求得 S = 1 4512 = 270 平方米.
2
2
答案 B
例 5 （多选）扇形周长为 6cm ，面积为 2cm2 ，则其圆心角的弧度数是（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
4.角的加减法 若有两个任意角 和 ，规定把角 的终边旋转角 ，此时终边对应的角是 + .
B C
+
O
A
与实数减法类似，减去一个角，等于加上它的相反角，即 − = + (− ) ，这样一来，角 的减法可转化为角的加法来计算.
知识 2 任意角 1.终边相同的角 任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角之和，即