新初中数学锐角三角函数的专项训练解析附答案

新初中数学锐角三角函数的专项训练解析附答案
一、选择题
1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()
A．4 B．83C．6 D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，
∴光盘的直径为83．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）
A．1000sinα米B．1000tanα米C．1000
tanα
米D．
1000
sinα
米
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米，
∴tan AC AB α=
， ∴1000tan tan AC AB αα
==米． 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75
B ．15或30
C ．75或15
D ．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．
sin ∠AOD=
32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22
，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
4．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．3
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33
，即可求出答案 【详解】
过点C 作CF ⊥BD 与点F ．
∵∠BAE ＝30°，
∴∠DBC ＝30°，
∵BC ＝2，
∴CF ＝1，BF ＝3 ，
易证△AEB ≌△CFD （AAS ）
∴AE ＝CF ＝1，
∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，
∴BE ＝3 AE ＝3， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣
33＝233 ， 在Rt △CFE 中，
tan ∠DEC ＝323CF
EF ==， 故选C ．
此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
5．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点
E ，连接AC 交DE 于点
F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
ABD ADE ∴∠=∠，
ADE DAC ∴∠=∠，
5FD FA ∴==，
在Rt AEF ∆中，3sin 5
EF CAB AF ∠==Q ，
22534AE ∴=-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，
ADE DBE ∴∆∆∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，
16BE ∴=，
41620AB ∴=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝23，BC ＝10，E 、F 分别在边BC ，AD 上，BE ＝DF ．将△ABE ，△CDF 分别沿着AE ，CF 翻折后得到△AGE ，△CHF ．若AG 、CH 分别平分∠EAD 、∠FCB ，则GH 长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】 如图作GM ⊥AD 于M 交BC 于N ，作HT ⊥BC 于T ．通过解直角三角形求出AM 、GM 的长，同理可得HT 、CT 的长，再通过证四边形ABNM 为矩形得MN ＝AB ＝3BN ＝AM ＝3，最后证四边形GHTN 为平行四边形可得GH ＝TN 即可解决问题．
【详解】
解：如图作GM ⊥AD 于M 交BC 于N ，作HT ⊥BC 于T ．
∵△ABE 沿着AE 翻折后得到△AGE ，
∴∠GAM ＝∠BAE ，AB ＝AG ＝3
∵AG 分别平分∠EAD ，
∴∠BAE ＝∠EAG ，
∵∠BAD ＝90°，
∴∠GAM ＝∠BAE ＝∠EAG ＝30°，
∵GM ⊥AD ，
∴∠AMG ＝90°，
∴在Rt △AGM 中，sin ∠GAM ＝GM AG ，cos ∠GAM ＝AM AG
， ∴GM ＝AG•sin30°＝3，AM ＝AG•cos30°＝3，
同理可得HT ＝3，CT ＝3，
∵∠AMG ＝∠B ＝∠BAD ＝90°，
∴四边形ABNM 为矩形，
∴MN ＝AB ＝23，BN ＝AM ＝3，
∴GN ＝MN ﹣GM ＝3，
∴GN ＝HT ，
又∵GN ∥HT ，
∴四边形GHTN 是平行四边形，
∴GH ＝TN ＝BC ﹣BN ﹣CT ＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．63
D ．43【答案】D
【解析】
【分析】 连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，
∵多边形ABCDEF 是正六边形，
∴60COB ∠=o ，
∵OC OB =，
∴COB ∆是等边三角形，
∴60OCM ∠=o ，
∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223
ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯
⨯⨯=， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．
8．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）
A ．﹣5
B ．﹣4
C ．﹣3
D ．﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=，
∴BO=，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为（−，），
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得，k=-3，
故选C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC
∠=（）
A 3
B．
3
6
C
3
D
3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC
tan ABC
BE
∠=得出答案．
【详解】
解:连接DC ，交AB 于点E ．
由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,
设EC=x,则EF=x =3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33=
===+∠, 故选:A
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．
10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD ，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB ＝AE ＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．
A ．15－3
B ．20－3
C ．10－3
D ．35
【答案】A
【解析】
【分析】 过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M ，过点B 作BN ⊥CE 于点N ，通过解直角三角形可求出BM ，AM ，CN ，DE 的长，再结合CD ＝CN ＋EN−DE 即可求出结论．
【详解】
解：过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M ，过点B 作BN ⊥CE 于点N ，如图所示．
在Rt △ABE 中，AB ＝10米，∠BAM ＝30°，
∴AM ＝AB•cos30°＝53（米），BM ＝AB•sin30°＝5（米）．
在Rt △ACD 中，AE ＝10（米），∠DAE ＝60°，
∴DE ＝AE•tan60°＝103（米）．
在Rt △BCN 中，BN ＝AE ＋AM ＝10＋53（米），∠CBN ＝45°，
∴CN ＝BN•tan45°＝10＋53（米），
∴CD ＝CN ＋EN−DE ＝10＋53＋5−103＝15−53（米）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM ，AM ，CN ，DE 的长是解题的关键．
11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈︒≈,，
370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（ ）
A ．23.0米
B ．23.6米
C ．26.7米
D ．28.9米
【答案】C
【解析】
【分析】 如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，根据坡度及AB 的长可求出BN 的长，进而可求出CN 的长，即可得出ME 的长，利用∠MBE 的正切可求出CM 的长，利用∠DCM 的正切可求出DM 的长，根据DE=DM+ME 即可得答案．
【详解】
如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
∵沿着坡度为1:2.4
i=的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴BN1 AN 2.4
=，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM=
ME
tan30︒
=11.63，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.73，
∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE ＝1，则BD＝（）
A 3
B
23
C．3D．3
【答案】B 【解析】【分析】
证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．
∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．
∵∠DEB=90°，∴BD=
23 sin603 DE
=
︒
．
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图，点O为△ABC边 AC的中点，连接BO并延长到点D,连接AD、CD，若BD=12，AC=8，∠AOD＝120°，则四边形ABCD的面积为（）
A．23B．22C．10D．243
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，通过题意可求出AM、CN的长度，可计算三角形ABD和三角形CBD的面积，相加即为四边形ABCD的面积.
【详解】
解：分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，
∵点O为△ABC边 AC的中点，AC=8，
∴AO=CO=4，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
∴
3
4
AM AM
sin AOB
AO
===∠
3
42
CN CN sin COD CO =
==
∠， ∴AM=23，CN=23， ∴1223
1232ABD BD AM S ⨯=
==g △, 12231232BD CN S ⨯=
==g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +=+=△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
14．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()1
0y x x
=>与()5
0y x x
=-
<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）
A 5
B 5
C 25
D 10
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到S △BDO =
52
，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=
5OB
OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】
解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()1
0y x x =>与(
)50y x x
=-<的图象上， ∴S △BDO =
5
2
，S △AOC =1
2，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠DBO=∠AOC ， ∴△BDO ∽△OCA ，
∴2
51
522
BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴
5OB
OA
=， ∴tan ∠BAO=5OB
OA
=. 故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
15．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）
A 3cm
B ．2cm
C ．23cm
D ．4cm
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ，
∴∠BOG=∠COG=1
2
∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ，
∴BG=12BC=1
2
×2=1cm ， ∴OB=
sin 30BG
o
=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=， ∴圆形纸片的半径为3cm ， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
16．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）
A ．（30）
B ．（3，0）
C ．（
4035233
D ．（30）
【解析】 【分析】
根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么
2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.
【详解】
由题意知，111C A =，11160C A B ︒
∠=，
则11130C B A ︒
∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===，
结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，
Q 20193673÷=，
∴2019673(123)20196733OC =++=+， ∴2019C (20196733,0)+，
故选B . 【点睛】
考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.
17．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．
5342
π
- B ．
5342
π
+ C ．23π
D ．432
π
【答案】A 【解析】 【分析】
连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD=2AH ，∠AHO=90°，在Rt △ABC 中，利用∠A 的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD 进行计算即可. 【详解】
连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ， 则有AD=2AH ，∠AHO=90°，
在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3BC=2，tan ∠A=
3
3
23BC AB ==
，
∴OH=1
2
OA=
3
，
AH=A O•cos∠A=
33
3
2
⨯=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
222360
π⨯
⨯⨯-⨯⨯-=
53
2
π
-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
18．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()
A．
cot cot
m
αβ
-
千米B．
cot cot
m
βα
-
千米C．
tan tan
m
αβ
-
千米D．
tan tan
m
βα
-
千米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【详解】
在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotα，
BO=PO cotβ，又AB=m=AO-BO= PO cotα- PO cotβ= cot cot
m
αβ
-
. 所以答案选A.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
19．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点
C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．23D．43
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
，故点P、Q的速度比为3：3，
故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33
3，
PQ＝22
+＝23，
+＝39
PH HQ
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
20．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：
tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解:如图,延长DC、AB交于点E，
，
由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得
BE：CE＝1：2．
设BE＝xm，CE＝2xm．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12）2，
解得x＝12，
BE＝12m，CE＝24m，
DE＝DC+CE＝8+24＝32m，
由tan36°≈0.73，得
＝0.73，
解得AB＝0.73×32＝23.36m．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．。