【高考核动力】高考数学 4-3平面向量的数量积及平面向量应用举例课件 北师大版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. (2)a·b的几何意义 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的 乘
积．
2．若a∥b，则a与b的数量积有何特点？
提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.
在直角三角形 ABC 中∠C＝90° ，AB＝5，AC →· →. ＝4，求AB BC
＝61.
(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 【思路点拨】 由平面向量数量积的运算法则得 a·b的
值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．
【尝试解答】 解得 a· b＝－6.
(1)∵(2a－3b)· (2a＋b)＝61，
－6 a· b 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－ ，又 0≤θ≤π， 2 |a||b| 4×3 2π ∴θ＝ . 3
【尝试解答】 2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)， 2a＋b· a－b 9 2 则 cos〈2a＋b，a－b〉＝ ＝ ＝ ， |2a＋b|· |a－b| 3 2×3 2 π 故夹角为 ，选 C. 4
【答案】 C
已知|a|＝ 2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 45° ，求 使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的 λ 的取值范围．
【答案】 3 2
5．(2012· 浙江高考)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM →· → ＝________. ＝3，BC＝10，则AB AC 【解析】 法一：此题最适合的方法是特例法．
假设△ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝ 34. 34＋34－100 8 cos∠BAC＝ ＝－ . 17 2×34 →· → ＝|AB → |· → |cos∠BAC＝－16. AB AC |AC
【思路点拨】 要使向量 (2a ＋ λb) 与 (λa － 3b) 的夹角为
4．(2012· 全国新课标高考)已知向量 a，b 夹角为 45° ， 且|a|＝1，|2a－b|＝ 10；则|b|＝________.
【解析】 因为|2a－b|＝ 10，所以(2a－b)2＝10， 即 4|a|2－4a· b＋|b|2＝10，所以 4＋|b|2－4|b|cos 45° ＝10，整理得 |b|2－2 2|b|－6＝0，解得|b|＝3 2或|b|＝－ 2(舍去)．
【答案】 C
【归纳提升】
向量的数量积有两种计算方法，一是利
用公式 a·b ＝ |a||b|cos θ 来计算；二是利用 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 来 计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用.
已知 |a| ＝ 4 ， |b| ＝ 3 ， (2a － 3b)·(2a ＋ b)
若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件
(8a－b)·c＝30，则x＝( A．6 C．4 ) B．5 D．3
【思路点拨】 利用数量积的坐标公式进行运算． 【尝试解答】 (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，
即18＋3x＝30，解得x＝4.故选C.
提示： 不是．求两向量的夹角时，两向量的起点应相 同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.
2．平面向量的数量积
(1)a ， b 是 两 个 非 零 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 θ ， 则 数
|a||b|·cos θ 叫 做 a 与 b 的 数 量 积 ， 记 作 a·b ， 即 a·b ＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
1 1 → → → → → → BC ＋ AM 法二：AB· AC＝－2BC＋AM· 2
1→2 → 2 1 ＝－ BC ＋AM ＝－ ×102＋32＝－16. 4 4
【答案】 －16
1．在△ABC 中，设 A→ B ＝a，B→ C ＝b，则 a 与 b 的夹角 为∠ABC 吗？
【解析】 因为 a⊥b，所以有 x－2＝0，解得 x＝2，即 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以 a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝ 10.
【答案】 B
→· → 3． (2012· 湖南高考)在△ABC 中， AB＝2， AC＝3， AB BC ＝1，则 BC＝( A. 3 C．2 2 ) B. 7
【思路点拨】 利用公式a·b＝|a||b|cos θ计算． 【尝试解答】 ＝4， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5， AC
3 故 BC＝3，且 cos∠ABC＝ ， 5 → 与BC → 的夹角 θ＝π－∠ABC， AB
3 → → → → ∴AB· BC＝－|AB||BC|cos∠ABC＝－5×3× 5 ＝－9.
第3节
平面向量的数量积及平面向 量应用举例
1．(2012· 陕西高考)设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于( 2 A. 2 C．0 ) 1 B. 2 D．－1
【解析】 a⊥b⇔－1＋2cos2θ＝0⇔cos 2θ＝0. 【答案】 C
2．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－ 2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( A. 5 C．2 5 ) B. 10 D．10
D. 23 →· → ＝|AB → ||BC → |cos(π－B)＝ 【解析】 AB BC
→ |×(－cos B)＝1. 2×|BC 1 ∴ cos B ＝ － . 又 由 余 弦 定 理 知 cos B ＝ →| 2|BC AB2＋BC2－AC2 ，解得 BC＝ 3. 2AB· BC
【答案】 A
(2)|a＋b|2＝a2＋2a· b＋b2＝13， ∴|a＋b|＝ 13. |a－b|2＝a2－2a· b＋b2＝37. ∴|a－b|＝ 37.
(2011· 湖北高考)若向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)， 则 2a＋b 与 a－b 的夹角等于( π A．－ 4 π C. 4 π B. 6 3π D. 4 )
积．
2．若a∥b，则a与b的数量积有何特点？
提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.
在直角三角形 ABC 中∠C＝90° ，AB＝5，AC →· →. ＝4，求AB BC
＝61.
(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 【思路点拨】 由平面向量数量积的运算法则得 a·b的
值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．
【尝试解答】 解得 a· b＝－6.
(1)∵(2a－3b)· (2a＋b)＝61，
－6 a· b 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－ ，又 0≤θ≤π， 2 |a||b| 4×3 2π ∴θ＝ . 3
【尝试解答】 2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)， 2a＋b· a－b 9 2 则 cos〈2a＋b，a－b〉＝ ＝ ＝ ， |2a＋b|· |a－b| 3 2×3 2 π 故夹角为 ，选 C. 4
【答案】 C
已知|a|＝ 2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 45° ，求 使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的 λ 的取值范围．
【答案】 3 2
5．(2012· 浙江高考)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM →· → ＝________. ＝3，BC＝10，则AB AC 【解析】 法一：此题最适合的方法是特例法．
假设△ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝ 34. 34＋34－100 8 cos∠BAC＝ ＝－ . 17 2×34 →· → ＝|AB → |· → |cos∠BAC＝－16. AB AC |AC
【思路点拨】 要使向量 (2a ＋ λb) 与 (λa － 3b) 的夹角为
4．(2012· 全国新课标高考)已知向量 a，b 夹角为 45° ， 且|a|＝1，|2a－b|＝ 10；则|b|＝________.
【解析】 因为|2a－b|＝ 10，所以(2a－b)2＝10， 即 4|a|2－4a· b＋|b|2＝10，所以 4＋|b|2－4|b|cos 45° ＝10，整理得 |b|2－2 2|b|－6＝0，解得|b|＝3 2或|b|＝－ 2(舍去)．
【答案】 C
【归纳提升】
向量的数量积有两种计算方法，一是利
用公式 a·b ＝ |a||b|cos θ 来计算；二是利用 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 来 计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用.
已知 |a| ＝ 4 ， |b| ＝ 3 ， (2a － 3b)·(2a ＋ b)
若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件
(8a－b)·c＝30，则x＝( A．6 C．4 ) B．5 D．3
【思路点拨】 利用数量积的坐标公式进行运算． 【尝试解答】 (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，
即18＋3x＝30，解得x＝4.故选C.
提示： 不是．求两向量的夹角时，两向量的起点应相 同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.
2．平面向量的数量积
(1)a ， b 是 两 个 非 零 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 θ ， 则 数
|a||b|·cos θ 叫 做 a 与 b 的 数 量 积 ， 记 作 a·b ， 即 a·b ＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
1 1 → → → → → → BC ＋ AM 法二：AB· AC＝－2BC＋AM· 2
1→2 → 2 1 ＝－ BC ＋AM ＝－ ×102＋32＝－16. 4 4
【答案】 －16
1．在△ABC 中，设 A→ B ＝a，B→ C ＝b，则 a 与 b 的夹角 为∠ABC 吗？
【解析】 因为 a⊥b，所以有 x－2＝0，解得 x＝2，即 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以 a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝ 10.
【答案】 B
→· → 3． (2012· 湖南高考)在△ABC 中， AB＝2， AC＝3， AB BC ＝1，则 BC＝( A. 3 C．2 2 ) B. 7
【思路点拨】 利用公式a·b＝|a||b|cos θ计算． 【尝试解答】 ＝4， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5， AC
3 故 BC＝3，且 cos∠ABC＝ ， 5 → 与BC → 的夹角 θ＝π－∠ABC， AB
3 → → → → ∴AB· BC＝－|AB||BC|cos∠ABC＝－5×3× 5 ＝－9.
第3节
平面向量的数量积及平面向 量应用举例
1．(2012· 陕西高考)设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于( 2 A. 2 C．0 ) 1 B. 2 D．－1
【解析】 a⊥b⇔－1＋2cos2θ＝0⇔cos 2θ＝0. 【答案】 C
2．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－ 2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( A. 5 C．2 5 ) B. 10 D．10
D. 23 →· → ＝|AB → ||BC → |cos(π－B)＝ 【解析】 AB BC
→ |×(－cos B)＝1. 2×|BC 1 ∴ cos B ＝ － . 又 由 余 弦 定 理 知 cos B ＝ →| 2|BC AB2＋BC2－AC2 ，解得 BC＝ 3. 2AB· BC
【答案】 A
(2)|a＋b|2＝a2＋2a· b＋b2＝13， ∴|a＋b|＝ 13. |a－b|2＝a2－2a· b＋b2＝37. ∴|a－b|＝ 37.
(2011· 湖北高考)若向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)， 则 2a＋b 与 a－b 的夹角等于( π A．－ 4 π C. 4 π B. 6 3π D. 4 )