著名机构七年级数学寒假班讲义1 三角形的边和角

第1讲三角形的边和角
一、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形
二、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
三、三角形的性质
⑴边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边（三角形任意两边之差小于第三边）
⑵角与角的关系：
三角形的内角和等于180o；180
A B C︒
∠+∠+∠=
三角形的外角和等于360o，360
DAE EBF FCA︒
∠+∠+∠=
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和,=
ACD A B
∠∠+∠
（推论：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角）,ACD A
∠>∠,ACD B
∠>∠
⑶边与角的关系：同一个三角形中，大边对大角（小边对小角），大角对大边（小角对小边）
,;
b a
c B A C
>>∠>∠>∠
若则反之亦然
【例题1】（1）（2006年盐城市中考题）已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A．3B．5C．7 D．9（2）如果线段a，b，c能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是（）
A．1: 1: 2B．－2: 5: 2C．2008: 2009: 2010D．4: 8: 4（3）一个三角形三边长分别为8，10，x，则x的取值范围是．
（4）一个三角形三边长分别为6，7，x，则三角形的周长l的范围是．
（5）若三角形的三边长为3，4，x，则偶数x的值有．
（6）（2004年鄂州市中考题）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则x的取值范围是．
【例题2】（1）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为．
（2）已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是．
【例题3】（1）三角形的三边分别为3、1－2a、8，求a的取值范围。

（2）若一个三角形中两条边的长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长l的取值范围。

（3）已知三角形周长为l，求最长边a的取值范围.
【例题4】（1）如下图，△ABC中，∠A=80°，剪去∠A后，得到四边形BCED，则∠1＋∠2 =．
（2）如图，△ABC中，
1
1
3
ABC
∠=∠，
1
2
3
ACB
∠=∠，∠BDC=130°,求∠A的度数.
（3）如图，△ABC的内角∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线相交于E，∠EBD=30°，∠ECD=65°，求∠A的度数.
【例题5】（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1: 4，则这个等腰三角形顶角的度数为____.
（2）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的顶角度数. 【例题6】（1）如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数.
（2）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D=．
（3）如图，∠CGE=120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=．
（1）（2）（3）
【例题7】（1）如图，已133,83
∠=︒∠=︒
αβ，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D=．（2）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G =．
（3）如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=_____________.
（1）（2）（3）
【例题8】(第10 届华杯赛初一决赛)下图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。

请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的四个内角各是多少度？
【例题9】（1）如图所示，△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，求∠EDC.
（2）在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且DE=EF=FD，求证：
1
()
2
DEB ADF CFE
∠=∠+∠
【例题10】（1）已知：如图，P为△ABC内任意一点，求证：()
1
2
PA PB PC AB BC AC
++>++
（2）已知：如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB AC PB PC
+>+
（3）已知：如图，P为△ABC内任意一点，求证：PA PB PC AB BC AC
++<++
得分：______
【练习1】（1）已知三角形三边长分别为2、x－1、3，则x的取值范围是_________________________.
（2）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和2013，则三角形的第三条边的长 度为___________________.
【练习2】 （1）已知三角形三条边分别为2、x ＋1、3，则x 的取值范围是____________________. （2）下列不能构成三角形的三边长的数组是（ ）.
A 、234---、 、
B 、111234、 、
C 、22212131a a a +++、 、
D 、23351213、 、
（3）已知△ABC 有两边长为a 、b ，其中a<b ，则其周长l 一定满足（ ）
A 、22()b l a b <<+
B 、22a l b
<<
C 、a l a b <<+
D 、2a l a b <<+ （4）已知△ABC 的三个内角为，另B C α∠=∠+∠，C A β∠=∠+∠，A B γ∠=∠+∠，则 ,,αβγ∠∠∠中锐角的个数至多为（ ）。

A.1个
B.2个
C.3个 D 。

0个
【练习3】 （1）等腰三角形中有两边为x 和5，求x 的取值范围。

（2）将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的 截法有多少种？
【练习4】等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD把三角形的周长分为了12cm和15cm两部分，求腰长和底边长。

【练习5】（1）如图，50,20,100
B C BOC
∠=∠=∠=
o o o，求∠A的度数。

(2)如图，∠B=∠C，ED⊥BC，FD⊥AB，∠AED=155°， ,求∠EDF的度数.
【练习6】 （1）若△ABC 的三个内角之比是2：3：4，求三角形的三个外角之比。

（2）△ABC 中，1123
A B C ∠=∠=∠，试判断该三角形形状。

（3）△ABC 中，+2A B C ∠∠=∠，2B A ∠=∠，则=______A ∠度，=______C ∠度，按角分类， 判断△ABC 的形状。

【练习7】 （1）如下图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E = ．
（2）如图，五角星中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E = ．
（3）如图，△ABC 是等边三角形，::1:2:2CBF ACD BAE ∠∠∠=，38DEF DFE ∠-∠=o ，求
出△DEF 的每个内角度数。

【练习8】 （1）如图，已知四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O 。

求证： 1()2
AC BD AB BC CD DA +>+++.
（2）如图，AD是△ABC的中线，求证：
1
()
2
AD BD AB AC +>+
（3）如图，已知D、E为内△ABC两点。

求证：AB AC BD BE EC
+>++。