贵州省兴义五中2011-2012学年高一下学期3月月考数学试题

贵州省兴义五中2011-2012学年高一下学期3月月考数学试题
I 卷
一、选择题
1．一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是( ）
A．2B．4
3C．3
1
2
+D．3
1
6
+
【答案】B
2．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点,AB＝错误!，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为( ）
A．3错误!B．2错误!
C．错误!D．1
【答案】C
3．已知六棱锥P ABCDEF
-的底面是正六边形，
PA⊥平面ABC.则下列结论不正确
．．．
的是（)
A ．//CD 平面PAF
B ．DF ⊥平面PAF
C ．//CF 平面PAB
D ．CF ⊥平面PAD
【答案】D
4．已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11
ACC A 所成角的正弦值等于（ ）
A ．22
B ．64
C ．104
D ．32
【答案】B
5．如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积
是（ ）
A ．3π
B ．43π
C ．133π
D ．683
π 【答案】C
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A ．21
B ．31
C ．41
D ．6
1 【答案】A
7． 如图所示,甲、乙、丙是三个几何体的三视图,甲、乙、丙对应的
标号正确的是 ( ）
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A ．④③②
B ．①③②
C ．①②③
D ．④②③
【答案】A
8． 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．2
B ．1
C ．32
D ．3
1 【答案】B 9． 互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
【答案】D
10． 四棱台的上下底面均为正方形，它们的边长分别为2 cm 和6 cm ，
两底面之间的距离为
2 cm,则该四棱台的侧棱长为 （ ）
A ．3cm
B ．22cm
C ．23cm
D ．5cm 【答案】C 11． 某品牌香水瓶的三视图如下（单位:cm)，则该几何体的表面积
为（ ）cm 2
A ．952π-
B ．942π
- C ．942π
+ D ．952π
+
【答案】C
12．半径为R 的半圆面卷成一个无底圆锥，则该圆锥的体积为（
) A ．错误!πR 3 B ．错误!πR 3 C ．错误!πR 3 D ．错误!πR 3
【答案】A
II卷
二、填空题
13．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2错误!,它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
【答案】23
14．如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60°,一个半径为1的球放在该支架上，则球心到P的距离为________．
【答案】错误!
15．已知一个三棱锥的三视图如图12－9所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．
－9
【答案】4错误!π
16．如图12－16是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积是________．
图12－16
图12－17
【答案】2
三、解答题
17．函数log (3)1(0,1)a
y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++= 上，其中0mn >，求n m 11+的最小值。

【答案】∵log a y x =恒过定点（1，0）,∴log (3)1a y x =+-过定点（－2，－
1），∴210m n --+=，即21m n +=,∴n m 11+＝（n m 11+）（2m ＋n ）＝2＋1＋n
m
m n 2+≥223+，∴最小值为223+.
18．如图，AC 是圆O 的直径,点B 在圆O 上，∠BAC=30°，BM AC
⊥于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA,AC=4，EA=3，FC=1。

（I ）求证：EM ⊥BF;
(II ）求平面BMF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值。

【答案】解法一
（I ）∵⊥EA 平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴⊥EA BM.
又⊥BM AC,EA ,A AC =⋂∴⊥BM 平面ACFE,
而EM ⊂平面ACFE ，∴⊥BM EM 。

∵AC 是圆O 的直径，∴.90o =∠ABC 又,4,30==∠AC BAC o
∴.1,3,2,32====CM AM BC AB
∵⊥EA 平面ABC,EC//EA,∴FC ⊥平面ABC.
∴易知EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形.
∴.45o =∠=∠FMC EMA ∴,90o
=∠EMF 即MF EM ⊥ ∵,M BM MF =⋂∴⊥EM 平面MBF,而BF ⊂平面MBF ，
∴.BF EM ⊥
（II ）由（I)知，⊥BM 平面ACFE ，∴,MF BM ⊥
又∵,AC BM ⊥
∴CMF ∠为二面角C —BM —F 的平面角
在CMF ∆中，由(I ）知o
45=∠CMF ∴平面BMF 与水平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为.2
2 19．如图,四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在
线段AD 上，且CE ∥AB .
(1）求证:CE ⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝错误!，∠CDA ＝45°，求四棱锥P
－ABCD 的体积．
【答案】(1）∵PA ⊥底面ABCD ,EC ⊂平面ABCD
∴CE ⊥PA ，
又∵AB ⊥AD ，CE ∥AB .∴CE ⊥AD .
又∵PA ∩AD ＝A ，∴CE ⊥平面PAD .
（2）由(1)知CE ⊥AD 。

在Rt △ECD 中，DE ＝CD cos45°＝1,CE ＝CD sin45°＝1. 又∵AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．
∴S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △CDE ＝AB ·AE ＋12
CE ·DE ＝1×2＋错误!×1×1＝错误!．
又PA ⊥底面ABCD ,PA ＝1
所以V 四棱锥p －ABCD ＝错误!×S 四边形ABCD ×PA ＝错误!×错误!×1＝错误!．
20．如图，四边形A BCD 与A'ABB'都是边长为a 的正方形，点E 是A'A 的
中点，
AA 'ABCD ⊥平面
(1）求证：A'C //BDE 平面；
（2)求证：平面A 'AC BDE ⊥平面
(3）求体积A 'ABCD V -与E ABD V -的比值。

【答案】（1）设BD 交AC 于M ，连结ME.
∵ABCD 为正方形,所以M 为AC 中点， 又∵E 为A'A 的中点 ∴ME 为A'AC ∆的中位线 ∴ME //A 'C 又∵ME BDE,A 'C BDE ⊂⊄平面平面
∴A'C //BDE 平面。

（2)∵ABCD 为正方形 ∴BD AC ⊥
∵A'A ABCE,BD ABCD A'A BD ⊥⊥∴⊥平面平面.
又AC A'A A AC A'AC
AA'A'AC BD A'AC ⋂=⊂⊂∴⊥面面平面
∵BD BDE ⊂平面
∴A 'AC BDE ⊥平面平面.
(3)A ABCD E ABD V :V 4:1--=(要有计算过程）
21．直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，
222===DC AD AB ，E 为1
BD 的中点,F 为AB 中点．
(1) 求证：11//A ADD EF 平面; （2） 若221=
BB ，求F A 1与平面DEF 所成角的大小． 【答案】 (1)连结AD 1，在△ABD 1中 ∵E 是BD 1的中点，F 是BA 中点，
∴EF //错误!AD 1
又EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1 ∴EF ∥平面ADD 1A 1。

（2）解法1：延长D 1A 1至H ,使A 1H ＝D 1A 1，延长DA 至G ，使AG ＝DA ，并连结HG 和A 1G ，则A 1G ∥D 1A ∥EF ∴A 1G ∥平面DEF ，
∴A 1到平面DEF 的距离等于G 到平面DEF 的距离，设为x 由题意可得,DF ＝BC ＝AD ＝1,连DB ，在Rt △D 1DB 中,DE ＝错误!D 1B 又DB ＝错误!，且DD 1＝错误!，
∴DE ＝错误!×错误!＝错误!,
又EF ＝错误!AD 1＝错误!错误!＝错误!,
在△DEF 中，由余弦定理得：
cos ∠EDF ＝错误!＝错误!
∴sin ∠EDF ＝错误!＝错误!
∴S △DEF ＝12
×错误!×1×错误!＝错误!, 又点E 到平面DGF 的距离d ＝错误!DD 1＝错误!
不难证明∠DFG 是Rt △(∵FA ＝错误!DG )
∴S △DFG ＝错误!×DF ×FG ＝错误!×1×错误!＝错误!
由V E －DGF ＝V G －DEF 得,x ·S △DEF ＝d ·S △DFG ，
∴x ·错误!＝错误!×错误!，
∴x ＝错误!,即A 1到平面DEF 的距离为错误!，
设A 1F 与平面DEF 成α角,则
sin α＝错误!＝错误!×错误!＝错误!,∴α＝arcsin 错误!，
即A 1F 与平面DEF 所成角的大小为arcsin 错误!．
22．如图，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，2,90,60==∠=∠CD C A ，
把△ABD 沿BD 折起（如图2)，使二面角A ―BD ―C 的余弦值等于3
3。

对于图2，完成以下各小题:
(1）求A,C 两点间的距离；
(2）证明:AC ⊥平面BCD ；
(3)求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。

【答案】（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，
由AB=AD ，CB=CD 得，BD ，BD ，D，
AE ⊥⊥ AEC ∠∴就是二面角A ―BD ―C 的平面角，
在△ACE中，，
，CE
6=
=
AE2
（2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，
（3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C－xyz,
则。