基于线性单轨模型的扩展模型分析轮胎导入特性对操稳性能的影响

2023年第05期总第312
期
基于线性单轨模型的扩展模型分析轮胎导入特性对操稳性能的影响
吕近添
中车时代电动汽车股份有限公司，湖南株洲，412007
摘要：在常用的两轴汽车线性单轨车辆动力学模型基础上做了进一步扩展工作，引入轮胎导入特性，建立了基于线性单轨模型的扩展模型，并从理论上对轮胎导入特性与操纵稳定性的关系进行了分析。

关键词：车辆动力学；操纵稳定性；轮胎中图分类号：U467
收稿日期：2023-03-25
DOI：10.19999/ki.1004-0226.2023.05.016
1前言
两轴汽车线性单轨模型是最简单的车辆动力学模型，将两轴汽车的实际模型简化为忽略质心距离地面高度的线性系统，可以充分解释汽车前后轴侧偏刚度、轴荷分配这些固有属性，与动态表现出的不足转向、（阶跃）横摆峰值响应时间、横摆固有频率等操纵稳定性指标的关联［1］。

然而也由于模型进行了简化，车辆的许多其他固有特性，如质心高度、悬架侧倾转向特性等与操稳性能指标的关联，无法基于该模型进行分析［2］。

当轮胎侧偏角随时间变化时，其侧向力变化并不会立即跟随侧偏角变化，而是存在一定程度的滞后，这一轮胎本身的瞬态响应特性称为轮胎的导入特性，该特性与轮胎的侧偏刚度和侧向刚度强相关［3］。

由于轮胎的导入过程相比车辆的瞬态响应过程短得多，因此线性单轨模型往往忽略该过程，即假设轮胎侧向力对侧偏角的响应是即时的，不存在滞后。

在这一假设下，对于轮胎而言，模型只引入其侧偏刚度特性，而不考虑侧向刚度特性。

不同厂家、规格和配方的轮胎，侧偏刚度和侧向刚度都可能有较大差异。

考虑到分析轮胎侧向刚度差异对操稳性能的影响，本文基于一般线性单轨模型做了扩展，引入轮胎导入特性，从理论上分析轮胎导入特性与操纵稳定性的关系。

2模型建立
本文采用的车辆动力学名词定义和坐标系采用SAE 标准。

2.1轮胎导入特性
依据文献［1］和文献［2］的建模方式，恒定车速条件下，将轮胎-路面系统抽象简化为无质量的串联线性阻尼和线性弹簧，则轮胎导入特性可由以下方程表达：
f y +
C kv f y
.
=Cα（1）
式中，k 为轮胎侧向刚度；C 为轮胎侧偏刚度；v 为前进车速；f y 为轮胎侧向力；α为轮胎侧偏角。

可以看到，根据该简化模型，可认为轮胎侧偏刚度C 和侧向刚度c d 两个参数决定了轮胎的导入特性。

2.2整车动力学特性
根据线性单轨模型，两轴车辆有如下平衡方程：
{
f yF +f yR =mv (r +β)af yF +bf yR =I z r （2）
式中，f yF 为前轴侧向力；f yR 为后轴侧向力；m 为车辆总质量；I Z 为绕Z 轴的转动惯量；a 为质心到前轴距离；b 为质心到后轴距离；v 为前进车速；r 为横摆角速度；β为质心侧偏角。

同时有质心侧偏角、横摆角速度与前后轴侧偏角的运动学关系：
ì
í
î
ïïïïαF =β+a v r -δαR =β-b v r （3）
式中，αF 为前轴侧偏角；αR 为后轴侧偏角；δ为前轴转向角。

由上可以看出，只需要补充前后轴侧向力分别与前后轴侧偏角的动力学关系，并随式（3）一同代入式（2）
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配套应用
中，即可得到完整的车辆动力学模型。

而前后轴侧向力
与侧偏角的关系可由下式得到：
ì
í
î
ïï
ï
ï
ï
ïïïF yF
(s )=C F (C F k F v s +1)A F (s )F yR
(s )=C R (C R k R v s +1)A R (s )（4）
式（4）为拉普拉斯变换后的表达式。

其中，前轴侧向力f yF 变换后记为F yF （s ），后轴侧向力f yR 变换后记为F yR （s ），前轴侧偏角αF 变换后记为A F （s ），后轴侧偏角αR 变换后记为A R （s ）；C F 是前轴侧偏刚度，C R 是后轴侧偏刚度，k F 是前轴侧向刚度，k R 是后轴侧向刚度。

将式（3）做拉普拉斯变换后与式（4）一同代入拉普拉斯变换后的式（2），并求解（取转向角δ作为输入），得
ìí
î
ïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïB ()s △()s =C F (
)
-C R k R v s +1mv (
)-C F k F v s +1()
-C R k R v s +1éëêêêêêêùûúúúúúúa 2C F v +b 2C R v ()-C F k F v s +1()
-C R k R v s +1-I z ()
-C F
k F v s +1s -aC F éëêêêêêêùûúúúúúúaC F v (
)-C R k R v s +1-bC R v ()-C F k F v s +1mv (
)-C F k F v s +1()-C R
k R v s +1-1éëêêêêêêùûúúúúúúC F (
)-C R k R v s +1+C R (
)
-C F k F v s +1mv (
)-C F k F v s +1()
-C R k R v s +1-s éëêêêêêêùûúúúúúúa 2C F v +b 2C R v ()-C F k F v s +1(
)-C R k R v s +1-I z ()
-C F k F v s +1s -éëêêêêêêùûúúúúúúaC F v (
)
-C R k R v s +1-bC R v ()-C F k F v s +1mv (
)-C F k F v s +1(
)-C R k R v s +1-1éëêêêêêêù
ûú
úúúúúaC F -bC R
()-C F
k F v
s +1()-C R
k R v
s +1R ()s △()s =aC F éëêêêêêêùûúúúúúúC F (
)-C R k R v s +1+C R ()-C F k F v s +1mv (
)-C F k F v s +1()
-C R k R v s +1-s -C F (
)
-C R k R v s +1mv (
)-C F k F v s +1(
)
-C R k R v s +1éëêêêêêêùûúúúúúúaC F -bC R ()-C F k F v
s +1()-C R k R v s +1éëêêêêêêùûúúúúúúC F (
)-C R k R v s +1+C R ()
-C F k F v s +1mv ()-C F k F v s +1(
)
-C R k R v s +1-s éëêêêêêêùûúúúúúúa 2C F v +b 2C R v ()-C F k F v s +1(
)
-C R k R v s +1-I z ()
-C F
k F v s +1s -éëêêêêêêùûúúúúúúaC F v (
)
-C R k R v s +1-bC R v ()-C F k F v s +1mv (
)-C F k F v s +1(
)-C R k R v s +1-1éëêêêêêêùûú
úúúúúaC F -bC R ()-C F
k F v
s +1(
)
-C R
k R v
s +1（5）
式中，质心侧偏角β变换后记为B （s ），横摆角速度r 变换后记为R （s ），横摆角速度r 变换后记为R （s ），前轴转向角δ变换后记为△（s ）。

3模型分析
尽管只是将轮胎导入特性的简单一阶模型引入线性单轨模型，但引入后，整车模型的阶数由二阶增加到六阶，复杂程度大大增加，需要借助计算机工具做进一步理论分析。

3.1导入时间
在式（5）中可以看到表达式-
C
kv
常常出现。

可将该式提取出来，定义为轮胎导入时间t r =-C
kv。

导入时间
是表征轮胎导入时响应速度的重要参数，反映对轮胎输入阶跃侧偏角后，侧向力增长至稳态值的63%所用的
时间。

从表达式可知，轮胎侧向刚度相对其侧偏刚度越大，或车速越高，导入时间就越短，轮胎导入的响应就越快。

分别定义前后轴轮胎导入时间：
ì
í
î
ïï
ïït rF
=-C F k F v t rR =-C R k R v （6）
式中，t rF 为前轴轮胎导入时间；t rR 为后轴轮胎导入时间。

3.2根轨迹分析
将式（6）定义的导入时间代入模型的特征多项式（即式（5）中
B ()s △()s 与R ()
s △()
s 的表达式分母部分），可将模型特征方程写为：
[
]
C F ()t rR s +1+C R ()t rF s +1-mv ()t rF s +1()t rR s +1s éëêêù
û
úúa 2C F ()t rR s +1+b 2C R ()t rF s +1v -I z ()t rF s +1()t rR s +1s ……-éëêù
û
úaC F v ()t rR s +1-bC R v ()
t rF s +1-mv ()t rF s +1(
)t rR s +1[
]aC F ()t rR s +1-bC R (
)t rR s +1
=0
（7）
分别提取式（7）中含t rF 和t rR 的多项式，根据多项式以及给定的模型参数，可获取模型特征跟随t rF 或t rR 变化的根轨迹图。

由于多项式较复杂，该操作通过计算
机工具辅助完成。

图1、图2分别是在根据较能体现乘用车通常性能的某一模型参数设置下，通过MATLAB 软件获取的模
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型根轨迹随t rF 和t rR 的变化。

由上可以看到，对于前轴，随着轮胎导入时间的增大，所有特征根实部始终还保持为负值，系统一直保持稳定；而对于后轴，随着轮胎导入时间持续增大，特征根主值可能穿过实轴变为负值，系统开始不稳定。

因此从稳定性的角度考虑，不希望后轴轮胎侧向刚度（相对其侧偏刚度）过小，
具有较长的导入时间。

图1t rF
变化时的根轨迹图
图2t rR 变化时的根轨迹图
3.3时域响应分析
基于与上文相同的模型参数设置，调整不同的k F 和k R 值，用MATLAB 软件做0.4g 角阶跃转向时域分析，结果见图3~图4
所示。

图3k F 和k R
值相同时的时域图
图4k F 和k R 值不同时的时域图
综上所知，总体侧向刚度越高，或者侧向刚度越多倾向分配给后轴，车辆响应越趋向于收敛，不超调。

4结语
本文在常用的两轴汽车线性单轨车辆动力学模型基础上，进一步扩展，引入轮胎导入特性，并根据该模型，从理论上对轮胎导入特性与操纵稳定性的关系做了简单分析。

参考文献：
［1］Manfred M ，Henning W.汽车动力学［M ］.陈荫三，余强等译 北
京：清华大学出版社，2009.
［2］Vittore C.Motorcycle Dynamics ［M ］ ，2006
［3］.William J.Palm III.System Dynamics ［M ］.Mc Gpraw Hill ，2019
作者简介：
吕近添，男，1995年生，助理工程师，研究方向为车辆动力学。

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