初三数学中考数学专题复习三角形

中考数学专题复习 三角形
2013年10月22日伊智教育
例1、角平分线的性质
如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm 的直角△ABC 纸片折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE, 则CD 等于( )
(A)425 (B) 322 (C) 47
(D) 3
5
例2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。

求证：MN ⊥DE
C
堂上练习
1、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。

MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。

D
2、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF
A(B) C
D
E
F
C
B
3、过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，
若∠AOG ＝30o 求证：3OG=DC
A
4、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接
FC 、FD 。

求证：∠FDA=∠
FCB
A
例3、三角形（梯形）中位线
(a)如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

(PM ＝6)
(b)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。

求证：MD ⊥MC 。

堂上练习
1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。

2、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。

3、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ） A 、4 cm B 、24cm C 、8cm D 、28cm
4、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、
20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042
1
5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300，∠C ＝600，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。

6、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ 。

7、如图，直角梯形ABCD 的中位线EF ＝a ，垂直于底的腰AB ＝b ，则图中阴影部分的面积是 。

8、如图，在四边形ABCD 中，AB ＞CD ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，求证：EF ＞
)(2
1
CD AB
例4、全等三角形的判定
如图，已知A ，B ，C ，D ，E 五点的坐标分别为(1,2)，(3,2)，(4,3)，(2,6)，(3,5)．如果点F 在第—象限内，且以D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 全等，那么点F 的坐标是多少？
例5、比例线段 （A ） 已知
8
75c
b a ==，且20=++
c b a ，求c b a -+2 若
6
5
432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a ::（堂上练习） （B ）
b a ＝d
c
＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ .
（b
a n d
b m
c a n
d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质）
（C ）已知d c b a =，证明：d
d
c b b a -=
- (何比性质)
※相似三角形的性质：
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相 似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例6、相似三角形性质
如图，在ABG 中，D 、E 和C 、F 分别是AG 、BG 的三等分点下面给出四个结论：
（1）:1:4GDC GEF S S ∆∆=（2）:1:9GDC GAB S S ∆∆=
（3）S △EGF ：S △GAB =2：3（4）EFCD ABFE :1:3:5GDC S S S ∆=四边形四边形：
其中结论正确的个数是（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
※相似三角形的判定定理：
类型斜三角形直角三角形全等三角形判定SAS SSS AAS（ASA）HL
相似三角形判定两边对应成比
例夹角相等
三边对应成比
例
两角对应相等
一条直角边与斜
边对应成比例
例7、相似三角形判定（sss）
如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC和△DFE．
(1)这两个三角形相似吗?说出你的理由；
(2)请你以网格中的格点为顶点，在网格中再画出一个面积为4且与△ABC相似的三角形．
相似三角形判定堂上小练
1、如图，已知，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线
上，
且3BC=1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．△BFG与△FEG相似吗?为什么?
2、在直角坐标系中，已知A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-2)三点．请按以下要求设计两种方案：作
一条与y轴不重合，与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是
△AOC面积的1
4
．分别在下面的两个坐标中系画出设计图形，并写出截得的
三角形三个顶点的坐标．
例8、如何找外心（破镜重圆）
你能用上面的结论，帮助考古学家用尺规作图的方法确定古圆盘的半径吗？
（2010. 乐山）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为
（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（2，1）
堂上练习
1. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是______, ______。

2、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在
圆的圆心坐标为。

3. 已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2-17x＋60=0的两根，求Rt△ABC的外接
圆面积．
4、一只猫观察到一个老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在
地方，才能最省力地顾及到三个洞口。

三角形的“四心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

（等边三角形4心合一）
（一）三角形的外心
定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心
性质：1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2、锐角三角形的外心在三角形内；
钝角三角形的外心在三角形外；
直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
例9、已知三角形两边和第三边上的高，求半径（R＝ab/(2h)）
AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD．
例10、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
练习、已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.
(二)三角形的内心
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

性质：
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ． 内切圆半径r 的计算：
设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S
p ．
特别的，在直角三角形中,有 r =1
2
(a +b －c )．
例11、求三角形内接圆的半径
1、直角三角形
已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
2、一般三角形（已知三边）
已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15.求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
三角形的内心堂上练习
1. Rt △ ABC 三边的长为a 、b 、c ，则内切圆的半径是r=______________
2. 外心到___________________的距离相等，是________________________的交点； 内心到______________________的距离相等,是_______________________的交点；
3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为( ) ∶∶∶∶5
(三)三角形的垂心
定义：三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

(四)三角形的“重心”
定义：三角形三条中线的交点叫重心。

性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

例1 证明重心定理。

A
B
C D E
F
G
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堂上练习
1．线段的重心就是线段的________．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的重心都在________．
3．三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的_________，三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的_______．
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