高二数学学业水平测试模拟题3

2020年高二数学学业水平测试模拟题3
说明：本试题分第I卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：共12小题每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上.
1．已知
2
{|1},{|log1}
M x x N x x
=<=<，则M N
⋂=（）
A．{|1}
x x<B．{|02}
x x
<<C．{|01}
x x
<<D．∅
2．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的
示意图。

其中实点
直角坐标系O—xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是
( ）
A．（
1
2
，
1
2
，1）B．（0，0，1）
C．（1，
1
2
，1）D．（1，
1
2
，
1
2
）
3．已知两条直线2
y ax
=-和(2)1
y a x
=++
互相垂直，则a等于（）
A 2
B 1
C 0
D 1
-
4．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是 ........................ (）
A．
b
a
1
1
<B．2
2b
a>
C．|
|
|
|
c
b
c
a>D．
1
12
2+
>
+c
b
c
a
5．直线1
x y
+
=与圆222
0(0)
x y ay a
+-=>没有公共点，则a的取值范围是（）
A．1)B．1) C．(1)D．1)
6．函数
2
()ln
f x x
x
=-的零点所在的大致区间是
A．（1，2）B．（2，3）C．（e，3）D．（e，＋∞）
7．已知
3
33
2
51
2,(,()
22
R P Q
-
===，则P、Q、R的大小关系是
A．P Q R
<<B．Q R P
<<C．Q P R
<<D．R Q P
<<
8．已知向量与的夹角为120°，13
|
|,3
|
|=
+
=，则|
|等于( ）
A．5 B．3 C．4 D．1
9．函数sin()y A x ω=+∅的部分图像如图所示，则其解析式可以是
A ．3sin(2)3y x π=+
B ．3sin(2)3y x π
=-+
C ．1
3sin()212y x π=+
D ．1
3sin()212y x π=-+
10．等差数列}{n a 中，27,39963741=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 前9项的和9S 等
于
( ）
A ．66
B ．99
C ．144
D ．297 第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，共20分；将答案填写在第II 卷相应的题号后面的空格内.
11．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值为 .
12．已知点P ，直线c b a ,,以及平面βα,，给出下列命题：①若b a ,与α成等角，则a ∥b ；②若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β③若a ⊥b ，a ⊥α,则b ∥α④若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β⑤若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 或b a ,异面直线。

其中错误命题的序号是 。

13．若)2,0(,135)4sin(πααπ
∈=-且，则)4cos(2cos απα+值为 .
14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的
关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程
为_________km ，假设这辆汽车的里程表在汽车行
驶这段路程前的读数为2020km ，那么在
[1,2]t ∈时，汽车里程表读数S 与时间t 的函
数解析式为__________。

三、解答题：本大题共6个小题，满分80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.
15．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且4=⋅，求△ABC 的面积S .
16．（本题满分12分）设直线方程为:(1)20()l a x y a a R ++++=∈（Ⅰ）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 方程；（Ⅱ）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围。

17．（本小题满分14分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ,
AA 1＝4，点D 是AB 的中点， (I ）求证：AC ⊥BC 1；
(II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
18．（本题满分14分）已知等差数列{n a }，.21,952==a a
(Ⅰ）求{n a }的通项公式；(Ⅱ）令n a n b 2
=，求数列}{n b 的前n 项和S n .
19．（本题满分14分）设函数
54)(2--=x x x f .[2,6]x ∈-
(1）画出函数)(x f 的图像；（2）求函数的单调区间
（3）求不等式()5f x ≤的解集。

20．（本题满分14分）
某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.
(1）问第几年开始获利？
(2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，
以8万元出售该渔船. 问哪种方案最合算？
2020年高二数学学业水平测试模拟题参考答案
命题人：张彦武 审题人：梁敏聪
说明：本试题分第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：共12小题每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上.
1．答案．C 2．答案.A
3．因为两条已知直线的斜率都存在，所以它们互相垂直的充要条件是()21a a +=-，
得()210a +=，即1a =-. 4．D
5．由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=的距离大于a ，且0a >。

6．B 7．B 8．C 9．B 10．B
二、填空题：本大题有4个小题，每小题4分，共16分；将答案填写在第II 卷相应的题号后面的空格内.
11．－6 12．①③ ④⑤ 13．13
24 14．6．220；801976(12)S t t =+≤≤ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.
15．答案．解：由已知得b 2+c 2=a 2+bc ………………………………………………………2′
A bc a c b bc cos 2222=-+=∴…………………………………………………4′
2
3sin ;21cos ==∴A A ……………………………………………………………6′ 由8,4cos 4=∴==⋅bc A bc ，得……………………………………10′
32sin 2
1==∴A bc S ……………………………………………………………12′ 16．()102a a ==-≤或（2）-2a<-1
17．答案．解 ：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC ⊥BC ，又 AC ⊥1c C ，∴ AC ⊥平面BCC 1；
∴ AC ⊥BC 1
(II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，
∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，
∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，
∴ AC 1//平面CDB 1；
18． 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组
⎩⎨⎧=+=+,
214,911d a d a 解得.4,51==d a 所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n
(Ⅱ）由,2
1414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ，公式42=q 的等比数列. 于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(321
2)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 19．
答案．[解]（1）
(2）)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，
在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，
(3）方程5)(=x f 的解分别是4,
0,142- 和142+， 观察图像可得()5f x ≤的 解集是214,04,214⎡⎤⎡⎤⋃⎣⎦⎣⎦
20．答案．解：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。

设纯收入与年数的关系为f （n ），则
9824098)]48(...1612[50)(2--==++++-=n n n n n f …………………2′
(1）由f （n ）＞0得51105110+<<-n
又∵n ∈N *，∴n=3，4，……17。

即从第3年开始获利…………………………4′
(2）①年平均收入为1214240)49(240)(=⨯-≤+-=n
n n n f 当且仅当n=7时，年平均获利最大，总收益为12×7+26=110（万元）…………7′
②f （n ）=－2（n －10）2+102
∵当n=10时，102)(max =n f ，总收益为102+8=110（万元）………………10′ 但7＜10 ∴第一种方案更合算。

………………。