人教新课标版数学高二选修2-1限时练 2.1.2求曲线的方程

2.1.2 求曲线的方程
一、选择题
1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
A ．y ＝x ，y x
＝1 B ．y ＝x ，y ＝x 2
C ．|y |＝|x |，y ＝x
D ．|y |＝|x |，y 2＝x 2
2.如图所示的图象对应的方程是( )
A ．|x |－y ＝0
B.x |y |
－1＝0 C ．x －|y |＝0
D.|x |y
－1＝0 3．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )
A.π3
B.53π
C.π3或53π
D.π3或π6
4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA ·MB ＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1
B ．x 2＋y 2＝2
C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)
D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)
5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
6．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA ·22PB PQ ，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝2
B ．y 2－x 2＝2
C ．x 2－2y 2＝1
D ．2x 2－y 2＝1
二、填空题
7．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．
8．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
9．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝1－(1－y)2相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________．
10．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ.则动点P的轨迹C的方程是________．
三、解答题
11在平面直角坐标系中，已知点F(0,2)，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
12．已知线段AB，B点的坐标为(6,0)，A点在曲线y＝x2＋3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
13．已知A在y轴正半轴上，为定点，线段BC在x轴上滑动，已知|BC|为4，A到x轴的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
参考答案
1．D [A 中y ＝x 表示一条直线，而y x
＝1表示直线y ＝x ，除去点(0,0)；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．故选D.]
2．C [据图，当x >0，y >0时，y ＝x ；
当x >0，y <0时，y ＝－x ，
只有选项C 符合要求，故选C.]
3．C [由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，
得cos α＝12
. 又因为0≤α＜2π，
所以α＝π3或α＝53
π.] 4．A [设动点M (x ，y )，则(1,)MA x y =---，MB ＝(1－x ，－y ). 由MA ·MB ＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.]
5．C [由已知，得AB ＝(3，－1)， BC ＝(－3，－9)，则AB ·BC ＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB ⊥BC ，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.]
6．B [设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )， PQ ＝(－x,0)，PA ＝(2－x ，－y )， PB ＝(－2－x ，－y )， PA ·PB ＝x 2－2＋y 2.
由PA ·PB ＝2PQ 2， 得x 2－2＋y 2＝2x 2，
∴所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.]
7．x 2＝4y
解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以
x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y . 8．5
解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.
9．[22，4]
解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x ＜－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．
10．y 2＝4x (x ≥0)
解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y ). 由QP ·QF ＝FP ·FQ ，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，
y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0)． 11解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，
因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.
过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，
则|MF |－|MB |＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2，
整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，
化简得y ＝18
x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18
x 2(x ≠0)． 12．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题意知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x
－6)2＋3，
所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.
13．解 方法一 如图所示，
根据题意建立平面直角坐标系，
则A 点坐标为(0,3)．
设△ABC 的外心为P (x ，y )，
∵P 在BC 的垂直平分线上，
∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．
∵P 也在AB 的垂直平分线上，
∴|P A |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，
化简得x 2－6y ＋5＝0.
方法二 如图所示，所建坐标系同方法一，则A (0,3)， 设△ABC 的外心为P (x ，y )，
又设BC 的垂直平分线方程为x ＝t ，
则点B (t ＋2,0)，AB 中点坐标为(t ＋22，32)，
∴AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23(x －t ＋22)．
∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，
∴由⎩⎨⎧ x ＝t ，
y －32＝t ＋23(x －t ＋22)，
消去t 得x 2－6y ＋5＝0，
∴△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.。