陕西省渭南市韩城市2018-2019学年高三下学期调研考试数学(文)试题答案解析与点睛(19页)

陕陕陕陕陕陕陕陕陕2018-2019陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕(陕)陕陕数学（文科）
试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U =R ,{}
2
20M x x x =+≤,则U C M =（ ）
A. {}x|2x 0-<<
B. {}x|2x 0-≤≤
C. {}
x|x 2x 0-或
D. {}
x|x 2x 0或≤-≥
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合M ，然后取补集即可.
【详解】2
{|2}M x x x =-≥={}2|0x x -≤≤,全集U =R
则{|20}U C M x x x =-或 故选C
【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题. 2.已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i
(1i)1i z -+=+，则z 的虚部为（ ） A.
12
B. 12
-
C. 1i 2
D. 1i 2
-
【答案】A 【解析】 由题意可得：()
2
111111
22222
1i
i z i i i i --=
=
=-=--+： 则1122z i =-
+：据此可得，z 的虚部为1
2
. 本题选择A 选项.
3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；
对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
4.中国古代词中，
有一道“八子分绵”数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤
C. 191斤
D. 201斤 【答案】B 【解析】
用128,,,a a a L 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列128,,,a a a L 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996： ：187
8179962
a ⨯+
⨯=： 解得165a =：
：865717184a =+⨯=：选B： 5.已知椭圆2
2
41mx y +=的离心率为2
,则实数m 等于（ ） A. 2 B. 2或8
3
C. 2或6
D. 2或8.
【答案】D 【解析】
若焦点在x 轴时，2
211,4a b m == ，根
据2222
222
111
222
c c a b b e a a a a -==⇒=⇒=⇒= ，即1224m m =⇒= ，焦点在y 轴时，2211,4a b m == ，即12
84m m
=⇒= ，所以m 等于2或8，故选D. 6.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A. ：：：：：：：： B. ：：：：：：：：
C. ：：：：：：
D. ：：：：：：：：：：
【答案】B 【解析】
若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
的
7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u v u u u v ，则ED =u u u v
（ ）
A. 1233
AD AB -u u u
v u u u v
B. 2133
AD AB +u u u
v u u u v
C. 2133
AD AB -u u u
v u u u v
D. 1233
AD AB +u u u
v u u u v
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v
进行分解后可得结果：
【详解】画出图形，如下图：
选取,?AB AD u u u v u u u v 为基底：则()
211333
AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ：
：()
121 333
ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v =-=-+=-： 故选C：
【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题
：1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
：2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
8.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，若向该矩形内随机投一点P，那么使△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为（）
A. 1
36
B.
1
12
C.
1
9
D.
4
9
【答案】A
【解析】
【分析】
以AB为底边，由△ABP与△ADP的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．
【详解】以AB为底边，要使面积都小于4，
由于
1
2
ABP
S
n
=AB×h＝4h＜4，
则点P到AB的距离h＜1，
同样，
1
2
ADP
S=
n
AD×d＝3d＜4，
∴P点到AD的距离要小于4
3
，满足条件的P 的区域如图，
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是1
44 33⨯=．
∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4概率为：p
4
1
3
8636 ==
⨯
．
故选A．
【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a＝219，则I（a）＝129，D（a）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）
A. 792
B. 693
C. 594
D. 495
【答案】D 【解析】
试题分析：A ，如果输出的值为792，则792a =，
279972972279693I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．
B ，如果输出的值为693，则693,a =，
369963963369594I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．
C ，如果输出的值为594，则594a =，
459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），
，不满足题意． D ，如果输出的值为495，则495a =，，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），满足题意．故选D ． 考点：程序框图
10.过点（0，1）的直线l 被圆2
2
(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】A 【解析】
试题分析：点()
0,1在()2
214x y -+=圆内，要使得过点()
0,1的直线l 被圆()2
214x y -+=所截得的弦长最短，则该弦以()0,1为中点，与圆心和()0,1连线垂直，而圆心和()
0,1连线的斜率为01
110
-=--，所以所求直线斜率为1，故选择A ．
考点：直线与圆的位置关系．
11.已知函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -1
2=
，且11()22
f =，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A. 15
[2,2],66k k k Z -++∈ B. 51
[2,2],66k k k Z -
++∈ C. 51
[2,2],66
k k k Z ππ-++∈
D. 17
[2,2],66
k k k Z ++∈
【答案】B 【解析】 【分析】 由已知条件12
min
1
2x x -=求出三角函数()f x 的周期，再由11
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间
【详解】设()f x 的周期为T ，由()11f x =：()20f x =：12
min
1
2
x x -=
，得122422
T T πωπ=⇒=⇒==： 由1122f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，得11
sin 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即1cos 2ϕ=： 又02
π
ϕ<<
：
：3π
ϕ=：()sin 3f x x ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭：
由22232
k x k π
π
π
πππ-
+≤+
≤
+：
得51
22,66
k x k k Z -+≤≤+∈：
：()f x 的单调递增区间为5
12,2,66k k k Z ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦：
故选B：
【点睛】本题主要考查利用()()sin f x A x ωϕ=+的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题 12.已知定义在R 上函数()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称，
且当x a ≥时,()2x a
f x e -=.若A ,B 是
函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ）
A. 1
2e - B. 1e -
C. 3
2e -
D. 2e -
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得a 值,问题得解 ． 【详解】解：如图， 显然,PA PB u u u r u u u r
的模不为 0 ，
故当PA PB uu r uu r
g 最小值为0时,只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ,PB 与函数图象相切，根据对称
性， 易得45BPD ∠=︒， 设0(B x ，0)y ，
当x a …
时， 2()x a f x e -'=， ∴020()1x a f x e -'==
02x a ∴= (,0)P a Q
PD a ∴=， BD a ∴=，
即(2,)B a a ，
22a a e a -∴=，
1a \=，
∴当1x …时，2()x f x e -=，递增，
故其最小值为：1e -，
根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -． 故选B ．
【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.若实数x y ，满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，
，
，则z x y =+的最小值为______． 【答案】-13 【解析】 【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝2x +y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝1时，z ＝2x +y 取得最小值．
【详解】作出不等式组350
24020x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由y 2
350
x y =-⎧⎨-+=⎩ 解得B （﹣11，﹣2）设z ＝F （x ，y ）＝x +y ，将直线l ：z ＝x +y
进行平移，
当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F （﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为﹣13
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14.若函数()y f x =的定义域是1[,2]2
，则函数2(log )y f x =的定义域为_________．
【答案】4] 【解析】 【分析】
由函数y=f：x ）的定义域为[12：2]，知1
2
≤log 2x≤2，由此能求出函数y=f：log 2x ）的定义域即可． 【详解】∵函数y=f：x ）的定义域为[1
2
：2]：
：1
2
≤log 2x≤2：
故答案为：⎤⎦
【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S =_______ 【答案】1010 【解析】 【分析】
由题意可得：112,21n n n n a S n a S n -++=+=+，整理变形可知当2n ≥时，数列任意连续两项之和为1，据此求解2019S 的值即可.
【详解】由题意可得：112,21n n n n a S n a S n -++=+=+， 两式作差可得：121n n n a a a +-+=，即11n n a a ++=, 即当2n ≥时，数列任意连续两项之和为1， 据此可知：20192018
110102
S =+
=. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形
ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、
三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____
【答案】6-【解析】 【分析】
由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用
()11
42a a x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
可构造出符合基本不等式的形式，得到142a a x y +≥++由恒成立关系
可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值.
【详解】,,PA PB PC Q 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB
1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1
212
x y ++= 421x y ∴+=
()1124
42424242a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y ax
x y
=，即y =时取等号）
又
18a
x y
+≥恒成立，428a ∴++≥，解得：6a ≥- ∴
正实数a 的最小值为6-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分
17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c cos sin C c A =
.
（1）求C ；
（2
）若c =，ABC ∆
，求ABC ∆的周长． 【答案】（1）3
C π
=;（2
【解析】 【分析】
（1）
sinCsinA =，
则tanC =，
据此确定角C 的值即可； （2）由题意结合面积公式可得4ab =
，结合余弦定理可得a b +=
△ABC 的周长即可.
【详解】（1
csinA =
sinCsinA =， ∵0sinA ≠
sinC =
，可得：tanC =
∵()0,C π∈，∴3
C π
=
.
（2
）∵c =，3
C π
=，ABC ∆
12absinC =
=， ∴可得：4ab =，
∵由余弦定理可得：()()22
2218312a b ab a b ab a b =+-=+-=+-，
∴解得：a b +=
∴ABC ∆
的周长a b c ++=
【点睛】本题主要考查正弦定理应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.
注：年份代码17~分别表示对应年份20122018:.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以
的
说明；
（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. 【参考数据】7
1
9.32i i y ==∑，()(
)
7
1
2.89i i i t t
y y =--≈∑
0.55≈
2 2.646≈⨯，
(
)
7
2
1
28i i t t
=-≈∑，
2.890.992 2.6460.55
≈⨯⨯，2.89
0.10328≈. 【参考公式】相关系数()()
n
i
i t
t
y y r --=
∑$$y bt
a =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i t
t
y y b t
t
==--=-∑∑$
，a y bt =-$$.
【答案】（1）见解析；（2）1.744 【解析】 【分析】
(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值..
【详解】(1)由题意得,()(
)
7
t
t
y y r --=
∴0.75>
所以
与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合
与的关系.
（2）由已知得()()()
7
172
1 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆa
y bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3y
t =+ 将2019年对应
8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y
=+⨯=. 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样
的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
19.如图所示的几何体中，ABC -A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ， AA 1=AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.
（Ⅰ）求证：111AC A B CD ⊥平面； （Ⅱ）求三棱锥11C ACD -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】
（1）推导出AC 1⊥A 1C ，AC ⊥AB ，AA 1⊥AB ，从而AB ⊥平面ACC 1A 1，进而A 1B 1⊥AC 1，由此能证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ．
（2）由CD ＝2，得AD ＝4，AC ＝AA 1==C 1﹣A 1CD 的体积：1111C A CD D A C C V V --=，由此能求出结果．
【详解】(1)∵111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，
四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC o ∠=．
11AAC C ∴是正方形，11
AC AC ∴⊥，
设CD a =，则2AD a =，AC =，
222CD AC AD ∴+=，AC DC ∴⊥，AC AB ∴⊥，
1AA AB ⊥Q ，1AC AA A ⋂=Q ，AB ∴⊥平面11ACC A ， 111A B AC ∴⊥，
111
1A B AC A ⋂=Q ，1AC ∴⊥平面11A B CD ．
解：(2)∵2CD =，4AD ∴=，1AC AA ==， ∴三棱谁11C A CD -的体积：
1111111
3
C A C
D D A C C A C C V V CD S --==⨯⨯V ，
11
2432
=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知动圆C 过定点()F 1,0，且与定直线x 1=-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（2）过点()M 2,0-的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P,Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠∠+=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 2
4y x =，（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
：2：假设存在点()0,0N x 满足题设条件，由题意可得直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k +=，设()()1122,,,P x y Q x y ，12
1020
PN QN y y k k x x x x +=+--，设:2PQ x my =-,再由直线与抛物线联立，利
用韦达定理代入求解即可.
【详解】（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， 其中2p =．
∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =．
解法2：设动圆圆心C (),x y 1x =+.
化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．
由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数， 即0PN QN k k += ①
直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-,
由242
y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=．
由()2
4480m ∆=--⨯>,得m >
或m <
设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． 由①式得12
1020PN QN y y k k x x x x +=
+-- ()()()()
12021010200y x x y x x x x x x -+-==--, ()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．
消去12,x x ，得()2
2122101211044
y y y y x y y +-+=,
()()12120121
04
y y y y x y y +-+=, 120,y y +≠Q 0121
24x y y ∴==,
∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=．
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
21.已知()ln x
e f x a x ax x
=+-.
（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1
()()0x
f x bx b e x x
+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1[,)e
+∞. 【解析】 【分析】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2
1x x e ax f x x --'=
，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞
∵()()()2
1x x e ax f x x --'=
，0a <，
∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛
⎫+--
- ⎪⎝⎭
()1x
b x e lnx =-- 由题意，()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立
①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x
b x e lnx --≤恒成立；不符题意.
②若0b >，记()()1x
h x b x e lnx =--，则()1x
h x bxe x
'=-
, 显然()h x '在[
)1,+∞单调递增， （i ）当1
b e
≥
时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[
)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥=
（ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1
110b h e b e b ⎛
⎫=-> ⎝'->⎪⎭
∴存在01x >，使()0h x '=.
当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增
∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（二）选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为325
(45x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝asinθ（a ≠0）. （1）求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C
倍，求a 的值.
【答案】（1）圆C 的方程为2
2
2()24
a a x y +-=；直线l 的方程为4380x y +-=；
（2）32a =或32
11
a =. 【解析】 【分析】
（1）结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C 的直角坐标方程，消去参数t ，即可求得直线l 的普通方程；
（2）由（1）中直线和圆的方程，结合直线与圆的位置关系，利用题设条件和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，即2
sin a ρρθ=，
又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，所以22x y ay +=，即圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=，
由直线l 的参数方程为325(45x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），可得325
(45x t t y t ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数），
两式相除，化简得直线l 的普通方程为4380x y +-=.
（2）由（1）得圆C ：2
2
2()24
a a x y +-=，直线l ：4380x y +-=，
因为直线l 截圆C 的弦长等于圆C
所以圆心C 到直线l
的距离
122
a d ==⨯，解得32a =或32
11
a =.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （1）求t ；
（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＝max {1a ，
2
2
a b
tb
+}，求证：c ≥1． 注：max A 表示数集A 中的最大数． 【答案】(1) 2t = (2)见证明 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值三角不等式求出|x ﹣3|+|x ﹣5|的最小值即可求出t ；（2）由（1）得：c =221,a b a tb ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
根据
基本不等式的性质求出即可．
【详解】解：（1）因为()()35352x x x x -+-≥---=. 当35x ≤≤时取等号，故2m ≥，即2t =.
（2）由（1）知221max ,2a b c a
b ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则22222
1122a b a b c a b ab ++≥⋅
=≥， 等号当且仅当22
112a b a b
+==， 即1a b ==时成立.
∵0c >，∴21c ≥.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．。