四川省绵阳市2020届高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题 Word版含解析

秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}3|{≤∈=*
x N x A ，0}4x -x |{x 2
≤=B ，则=⋂B A （ ）
}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D
【答案】A
【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*
x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2
=≤=B ，所以
=⋂B A }3,2,1{.
【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。

特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）
A.
b
a 1
1< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 绵阳市高中2017级第一次诊断性考试
理科数学
【答案】C
【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.
【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。

||||||||||b a b a b a -≥+≥+
3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）
A.2
)(x x f = B.x x f =
)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=
【答案】D
【解析】B.的定义域为[)∞+，
0，C 的定义域0≠x ，排除。

A 在(]0-，∞单调递减，在[)∞+，0单调递增，排除。

故此正确答案为D
4．等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，若3,233==S a ，则=6a ( ) A.4 B.5 C.10 D.15 【答案】B
【解析】由题意得：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+==+=10
,333,22113
13d a d a S d a a ,所以5516=+=d a a
【方法总结】此题考查数列，涉及到等差数列的基本性质。

需要我们熟练记忆等差数列的基本性质。

属于基础题目。

5．已知函数1
22)(-=x x
x f ,若2)(=-m f ，则=)(m f ( )
A.-2
B.-1
C.0
D.
2
1 【答案】B
【解析】由题意得：1
22)(-=x x
x f ,1)()(=+-x f x f ,2)(=-m f ,=)(m f -1
【方法总结】此题考查指数函数的性质，题眼在与要看到=+-)()(x f x f 定值，考查我们对于指数函数与函数性质的理解。

6．已知命题p ：函数()π,0,sin sin 2
∈+=
x x x
y 的最小值为22；命题q ：若向量a,b,满足ab=bc,则a=c.下列正确的是（ ）
A.q p ∧⌝
B.q p ∨
C.q p ⌝∧
D.q p ⌝∧⌝
【答案】D
【解析】由题意得：命题p ：函数()π,0,sin sin 2∈+=
x x x y ，函数在⎪⎭
⎫
⎝⎛20π，上是减函数，函数在⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ，2上是增函数，函数的最小值为)2(πf =3,所以p 命题是错误的；命题q ：若
向量a,b,满足ab=bc,除了a=b,a,b 还有可能是零向量，所以q 是错误的。

故D 为正确选项。

【方法总结】此题属于中等难度。

考查命题之间的逻辑关系。

7．若6
.031⎪⎭
⎫
⎝⎛=a ，8.03-=b ，3ln =c ，则c b a ,,的大小关系（ ）
A.a c b >>
B.b a c >>
C.a b c >>
D.b c a >> 【答案】B
【解析】由题意得：6
.031⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a ，8
.03-=b ，()2,13ln ∈=c 所以b a c >>
【方法总结】此题是基础题
8．已知x,y 满足线性约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≥+-≤-010102y x y x y x ,则y x z +=2的最小值为（ ）
A.4
B.2
C.1 D
3
1 【答案】C
9．设函数x ae x f x
ln )(-=（其中常数0≠a ）的图像在点())1(1f ，处的切线为l ，则l 在
y 轴上的截距为（ ）
A.1
B.2
C.1-ae
D.1-2ae 【答案】A
【解析】由题意得：ae f x ==)1(,1,所以x
ae x f x 1
)('-
=，1-=ae k 根据直线的点斜式方程)1)(1()(--=-x ae ae y ，在y 轴上截距，设x=0，()1)10(1=+--=ae ae y
【方法总结】此题考查函数的切线方程，做题时一定要注意切点在曲线上或直线不在曲线上，然后根据点斜式方程求解。

10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：845.07lg 37.7002
.11000
≈≈，）（ ）
A.x y 25.0=
B.x
y 002.1= C.1log 7+=x y D.)110
tan(
-=x
y 【答案】C
【解析】由题意得：有两个条件①奖金5≤y ；②奖金x y 25.0≤.且100010≤≤x 。

A 选项，当20≥x 时，5≥y ，不符合题意。

B 选项，当1000=x 时，，37.7002
.11000
≈也超出
了5，符合题意。

D 项，当1000=x 时，)110
tan(-=x
y =)2tan(=y 是一个负数，不符合题意。

故运用排除法正确答案选C
【方法总结】此题考查的是函数的应用，需要掌握的是几种函数的增长情况，指数与对数函数的增长情况是我们需要重点掌握的。

特别是只是函数与对数函数的图像与性质。

11．函数)0)(6sin()(>+=w wx x f π
在⎪⎭
⎫
⎝⎛22-ππ，上单调递增，
且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ）
A.
32 B.35 C.2 D.3
8
【答案】A 【解析】
函数)0)(6
sin()(>+=w wx x f π
的递增区间)(22
6
22
-
Z k k x k ∈+≤
+
≤+ππ
π
ωππ
，化简
得：).(23232-
Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在⎪⎭
⎫
⎝⎛22-ππ，单增，所以.320.
2
32-32-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤ωπ
ωππωπ，又因为图像关于π-=x 对称，).(26Z k k x ∈+=+πππω 所以)(3
Z k k w ∈--
=π
.因为0>ω此时k=-1,所以3
2=
ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。

题目综合性强，需要逆向思维。

题目属于中等难度。

12．在△ABC 中，角A 为
3
π
，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知32=AD ,且)(3
1R ∈-=λλ,则AB 在AD 方向上的投影是（ ）
A.1
B.
2
3
C.3 D,233
【答案】D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分。

13.已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)2()(+=x f x f ，当[]2,0∈x 时，x
e x
f =)(，则
=)7(f
【答案】e
【解析】因为)2()(+=x f x f ，周期2=T ,e f f ==)1()7(
【方法总结】基础题，考查函数的性质。

14.已知向量)2,2(-=a ，向量b 的摸为1，且,2|2|=-b a 则a 与b 的夹角为
【答案】
4
π 【解析】由已知得：1||,22||==b a ，,2|2|=-b a 4442
2=+-b ab a 所以=ab 2
4
,2cos 221π
θθ=
=•
【方法总结】此题考查平面向量的数量积，基础题
15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞跃天安门，状军威，振民心，令世人瞩目。

飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析。

一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以272千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西
3π的方向上，1分钟后第二次观测该飞机在北偏西125π的方向上，仰角为6
π
，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）
【答案】
5
3
2 16.若函数x x x m x x f --+=
)(ln 2
1)(2
有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围 【答案】2
1
-
=m 或0≥m
三、填空题：共70分。

17.（12分）已知函数x x x x f 2
2
sin 2)sin (cos )(--=. （1）.求函数)(x f 的最小正周期与单调递减区间；
（2）.若1)(0-=x f ，且⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-∈2,0ππx ，求0x 的值. 【答案】（1）)(83,8
Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+
-
πππ
π，（2）4
3-π
【方法总结】本题主要考查三角函数最小正周期与单调递减区间，属于基础题。

18.（12分）已知数列}{a n 满足,,212*
++∈=+N n a a a n n n 且7,141==a a ，数列}{b n 的前
n 项和221
-=+n n S
（1）.求数列}{a n }{b n 的通项公式； （2）.设,log 2
2n a n b c n
+=求数列}{c n 的前n 项和n T .
【答案】（1）n
n n b n a 2,12=-=；（2）.n T 2
322212n
n n ++-+ 【解析】
【方法总结】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式和前n 项和公式，分组求和，属于基础题
19.（12分）已知△ABC 中三个内角A,B,C 满足1)sin(cos 2++=C A B .
（1）.求B sin ；
（2）.若2
π
=
-A C ,b 是角B 的对边，3=b ，求△ABC 的面积.
【答案】
（1）3
1
sin =
B ；（2）223=S
【解析】
20.已知函数2
ln 2
ln )(+-=
x x x f .
(1).求函数)(x f 在区间[)∞+，
1上的值域； （2）.若实数21,x x 均大于1且满足,2
1
)()(21=
+x f x f 求)(21x x f 的最小值. 【答案】(1).[)11，-；（2）13
7
)(min 21=
x x f 【解析】
【方法总结】本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问考查分类讨论，本题难度较大。

21.已知函数().,0,,)(2
+∞∈∈-=x R a ax e x f x
（1）若)(x f 存在极小值，求实数a 的取值范围；
(2).若2
02
e a ≤<，求证：).(ln )(x x ax x
f ->
【答案】（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,2e ；(2)).(ln )(x x ax x f -> 【解析】
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+=α
αααsin 3sin ,sin 3cos y x （a 为
参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3)6
cos(=-
π
θρ
（1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；
（2）设射线OM ：3
π
θ=
与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长.
【答案】（1）42
2=+y x 和2=ρ；（2）232-
【解析】
【方法总结】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题
23.（10分）设函数)(5|1|||)(R m x m x x f ∈+++-=. （1）当m=2时，求不等式0)(≥x f 的解集；
（2）若2)(-≥x f ，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）(][)∞+⋃∞，，32--；（2）(][)∞+⋃∞，，
24-- 【解析】
【方法总结】本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题。