高考数学一轮复习 立体几何试题精选09-人教版高三全册数学试题

立体几何09
12.．已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<. (I) 证明//BF 平面ADE ;
(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.
在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅5
AH ∴=
25GH ∴=1cos 4GH AH θ==.
A A
C
B
D
E
F
B
C
D
E
F
解法2:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂足为G '.
∆ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,AF CD ∴⊥
又因EF CD ⊥,所以CD AEF ⊥平面
AG AEF '⊂平面AG CD '∴⊥
又AG EF '⊥且,,BCDE CD EF F CD BCDE EF ⋂=⊂⊂平面平面
AG BCDE '∴⊥平面G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G.
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角.即G AH θ∠=
设原正方体的边长为2a,连结AF ，在折后图的∆AEF 中3a ,EF=2AE=2a, 即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅3AG ∴=
在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅5
AH ∴=
25GH ∴=1cos 4GH AH θ==.
【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.
13．如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，
AM MB MN ==。

（Ⅰ）证明AB ⊥NB ；
（Ⅱ）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

解法二: 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →=(1,－1,0). ∴AC →·NB →=1+(－1)+0=0 ∴AC
⊥NB.
(Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →
|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt △CNB 中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2).连结MC,作NH ⊥MC 于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN →
=(0,1－λ,－2λ), MC →=(0,1, 2). HN →·MC →
= 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13
,
∴H(0, 13, 23), 可得HN →=(0,23, － 23), 连结BH,则BH →
=(－1,13, 23),
∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0, ∴HN →⊥BH →
, 又MC ∩BH=H,∴HN ⊥平面ABC,
∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →
=(－1,1,0),
A
B
M
N
C
l 2 l 1
H
x
y
z
∴cos ∠NBH= BH →·BN →|BH →|·|BN →| = 4
323×2
= 6
3
∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos ∠NBH= =
43
23
×2 = 63
14．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，
D 、
E 分别为BB 1、AC 1的中点．
（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；
（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．
A
B C
D
E A 1
B 1
C 1
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点． 设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )．
则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )，E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ……3分 ED →＝（0，b ，0），BB 1→＝(0，0，2c )． ED →·BB 1→
＝0，∴ED ⊥BB 1． 又AC 1→
＝(－2a ，0，2c )，
ED →·AC 1→
＝0，∴ED ⊥AC 1， ……6分 所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A (1，0，0)，则B (0，1，0)，C (－1，0，0)，A 1(1，0，2)，
A
B C
D
E A 1
B 1
C O
z
x y。