2012-2013高中数学 3-3-2一元二次不等式的解法应用同步检测 新人教B版必修5

基础巩固
一、选择题
1．若集合A ＝{x||2x －1|<3}，B ＝{x|2x ＋1
3－x <0}，则A∩B 等于( )
A ．{x|－1<x<－1
2或2<x<3}
B ．{x|2<x<3}
C ．{x|－1
2<x<2}
D ．{x|－1<x<－1
2}
[答案] D
[解析] ∵|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3， ∴－1<x<2.又∵2x ＋1
3－x
<0，
∴(2x ＋1)(x －3)>0，∴x>3或x<－1
2.
∴A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|x>3或x<－1
2}，
A∩B＝{x|－1<x<－1
2}，故选D.
2．不等式x 2
－|x|－2<0的解集是( ) A ．{x|－2<x<2} B ．{x|x<－2或x>2} C ．{x|－1<x<1} D ．{x|x<－1或x>1}
[答案] A
[解析] 原式可变为|x|2
－|x|－2＜0， ∴－1＜|x|＜2，解得－2＜x ＜2. 3．不等式3x 2
－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅ B ．R
C ．{x|－13＜x ＜12}
D ．{x ∈R|x≠1
6}
[答案] A
[解析] ∵Δ＝－23＜0，开口向上， ∴3x 2
－x ＋2＜0的解集为∅.
4．函数y ＝x 2
＋x －12的定义域是( ) A ．{x|x ＜－4，或x ＞3} B ．{x|－4＜x ＜3}
C ．{x|x≤－4，或x≥3}
D ．{x|－4≤x≤3} [答案] C
[解析] 使y ＝x 2
＋x －12有意义，则x 2
＋x －12≥0. ∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x≤－4，或x≥3. 5．不等式3x －12－x ≥1的解集是( )
A ．{x|3
4≤x≤2}
B ．{x|x≤3
4或x ＞2}
C ．{x|3
4≤x＜2}
D ．{x|x ＜2}
[答案] C
[解析] 不等式3x －12－x ≥1，化为：4x －32－x ≥0，∴3
4≤x＜2.
6．不等式x ＋2
x ＋1
>2的解集是( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，1)∪(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，1)∪(0，＋∞) [答案] A
[解析] 原不等式可化为x
x －1
x ＋1
>0，由穿根法得－1<x<0或x>1.
二、填空题
7．(2010·上海文)不等式2－x
x ＋4>0的解集是________．
[答案] {x|－4<x<2}
[解析] ∵2－x x ＋4>0，∴x －2
x ＋4<0，
即(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x<2.
8．(2010·大纲全国卷Ⅰ)不等式x －2
x 2＋3x ＋2>0的解集是________．
[答案] {x|－2<x<－1或x>2} [解析] 由x －2
x 2＋3x ＋2>0，
得
x －2
x ＋1x ＋2
>0，如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为{x|－2<x<－1或x>2}．
三、解答题 9．解下列不等式： (1)2
x
<x ＋1 (2)x 2
－2|x|－15≥0 (3)x 3
－3x 2
＋x ＋1<0
[解析] (1)2x ＜x ＋1⇔x ＋1－2x ＞0⇔x 2
＋x －2
x ＞0⇔x(x ＋2)(x －1)＞0⇔－2＜x ＜0或x
＞1.故原不等式的解集为{x|－2<x<0或x>1}．
(2)x 2
－2|x|－15≥0⇔|x|2
－2|x|－15≥0⇔(|x|－5)(|x|＋3)≥0⇔|x|≥5⇔x≥5或x≤－5.
故原不等式的解集为{x|x≥5或x≤－5}
(3)x 3
－3x 2
＋x ＋1＜0化为x 3
－x 2
－x 2
－x 2
＋x ＋1<0， ∴x 2(x －1)－x(x －1)－(x －1)(x ＋1)<0， ∴(x －1)(x 2
－2x －1)＜0， (x －1)(x －1－2)(x －1＋2)＜0 ∴x ＜1－2或1＜x ＜1＋ 2 如图所示，
故原不等式的解集为{x|x<1－2或1<x<1＋2} 10．解不等式：3x －5
x 2＋2x －3≤2.
[解析] 原不等式等价变形为3x －5
x 2
＋2x －3
－2≤0，
即－2x 2
－x ＋1x 2＋2x －3≤0，
即为2x 2＋x －1x 2＋2x －3
≥0，
即为⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2
＋x －1x 2
＋2x －3≥0，
x 2
＋2x －3≠0，
即等价变形为⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －1
x ＋1x ＋3x －1≥0，
x≠－3且x≠1.
画出示意图如下：
可得原不等式的解集为 {x|x<－3或－1≤x≤1
2
或x>1}．
能力提升
一、选择题 1．函数y ＝
log
12
x 2
－1的定义域是( )
A ．[－2，－1)∪(1，2]
B ．[－2，－1)∪(1，2)
C ．[－2，－1)∪(1,2]
D ．(－2，－1)∪(1,2) [答案] A
[解析] ∵log 12
(x 2
－1)≥0，∴0＜x 2
－1≤1，
∴1＜x 2
≤2，∴1＜x≤2或－2≤x＜－1.
2．已知集合A ＝{x|3x －2－x 2
＜0}，B ＝{x|x －a ＜0}且B A ，则a 的取值范围是( ) A ．a≤1 B ．1＜a≤2 C ．a ＞2 D ．a≤2 [答案] A
[解析] A ＝{x|x ＜1或x ＞2}，B ＝{x|x ＜a}， ∵B A ，∴a≤1.
二、填空题
3．不等式x －1
x ＋2>1的解集是________．
[答案] {x|x<－2}
[解析] 原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，即－3
x ＋2>0，
∴x ＋2<0，∴x<－2.
4．已知ax
x －1
<1的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a 的值为________．
[答案] 1
2
[解析] ∵
ax x －1<1，∴ax －x ＋1x －1
<0， 即[(a －1)x ＋1](x －1)<0，
又∵不等式ax
x －1<1的解集为{x|x<1或x>2}，
∴a －1<0，∴(x ＋1
a －1)(x －1)>0.
∴－1a －1＝2，∴a ＝12.
三、解答题 5．解下列不等式： (1)x 2
＋2x 3－x ≥0；
(2)x ＋12－x
≥3. [解析] (1)原不等式⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x
3－x ≥0
3－x≠0⇔
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x x ＋2
x －3≤0
x －3≠0，把各因式的根在数轴上标出．
∴原不等式的解集为{x|x≤－2或0≤x<3}． (2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0 ⇔
x ＋1－32－x 2－x ≥0⇔4x －5
2－x
≥0
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x －5
x －2≤0
x －2≠0⇔{x|5
4
≤x<2}．
6．解不等式4(2x 2
－2x ＋1)＞x(4－x)． [解析] 原不等式整理得：9x 2
－12x ＋4＞0， ∵Δ＝144－4×9×4＝0，
方程9x 2
－12x ＋4＝0的解是x 1＝x 2＝23.
∴原不等式的解集是{x ∈R|x≠2
3}．
7．解不等式：1＜x 2
－3x ＋1＜9－x. [解析] 由x 2
－3x ＋1＞1得，x 2
－3x ＞0 ∴x ＜0或x ＞3；
由x 2
－3x ＋1＜9－x 得，x 2
－2x －8＜0，∴－2＜x ＜4.
借助数轴可得：{x|x ＜0或x ＞3}∩{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜0或3＜x ＜4}．。