广东省揭阳市普宁马鞍山中学2020年高三数学文模拟试卷含解析

广东省揭阳市普宁马鞍山中学2020年高三数学文模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
在的展开式中，的系数是（）
A．－55 B．45 C．－25 D．25
参考答案：
答案：A
2. 已知实数满足条件，那么的最大值是（）
A. 1
B.3
C. 6
D. 8
参考答案：
C
略
3. 在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A．y=2x﹣1 B．log2x C．y=D．y=（）x
参考答案：
C
考点：归纳推理．
专题：函数的性质及应用；推理和证明．
分析：由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，利用排除法可得出正确的答案．
解答：解：由表格中的数据知，y随x的变化趋势，可得函数在（1，+∞）上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快，
∵A中函数是线性增加的函数，B中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，B、D答案，
C中函数y=比较符合题意，
故选：C．
点评：本题考查函数模型的选择与应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
4. 若圆：（）始终平分圆：
的周长，则的最小值为（）
A．3 B． C.6 D．9
参考答案：
A
把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，
由题意知直线经过圆的圆心(?1,?1)，因而.
时取等号.
的最小值为3.
本题选择A选项.
5. 在中，a=5,b=8,角C=600 所的值等于（）
参考答案：
B
6. 已知全集U={1,3,5,7,9,11},A={1,3},B={9,11}，则(C U A)∩B=（）
A.?
B. {1,3}
C.{9,11}
D.{5,7,9,11}
参考答案：
C
∵U={1,3,5,7,9,11},A={1,3}，
∴C U A={5,7,9,11}
∵B={9,11}，则(C U A)∩B={9,11}
故选C.
7. 设集合，则等于
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
8. 若a为实数，且2+ai=（1+i）（3+i），则a=( )
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
∴a=4．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）
A．B．C．3 D．
参考答案：
A
10. 已知点P在双曲线=1的右支上，F为双曲线的左焦点，Q为线段PF的中点，D 为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_______，面积是________。

参考答案：
、
因为焦点为，所以抛物线的方程是。

设，由抛物线的
对称性可知，。

又因为，得，解得（不妨取正值），从而可得。

12. 观察下列各式：
则___________.
参考答案：
123
略
13. 已知，且为第二象限角，则的值为 .参考答案：
略
14. 已知，，则的最小值为______．
参考答案：
4
【分析】
化简得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
当即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.
15. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积
为▲.
参考答案：
16. 执行右边的程序框图，则输出的结果是___________
参考答案：
10
略
17. 已知函数, 若, 则实数的取值范围 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如下图所示：
(I)补全该频率分布直方图在[20，30)的部分，并分别计算日销售量在[10，20)，[20，30)的员工数；
( II)在日销量为[10，30)的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30)的概率。

参考答案：
（Ⅰ）2,4;（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中每个小矩形的面积表示该组的频率,又频率和为1
可得日销售量在的频率.从而可得日销售量在的小矩形高度,即可将图像补全.根据可求得各组的人数. （Ⅱ）将在日销售量为的6人中随机
抽取2人的所有基本事件一一例举,再将这两名员工售量在的事件一一例举,根据古典概型概率公式可求得所求概率.
试题解析：（Ⅰ）日销售量在的频率为
,
故日销售量在的小矩形高度为,频率分布直方图如下:
日销售量在的员工数为: ,
日销售量在.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知日销售量在的员工共6人,其中日销售量在的员工2人分别记为,日销售量在的员工4人,分别记为.
从此6人中随机抽取2人所包含的基本事件有:
,
,共15个等可能的结果,
其中这两名员工日销量均在的事件有:
,共6个等可能的结果.
所以所求概率.
考点：1频率分布直方图;2古典概型概率.
19. 已知函数在处取得极值。

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有
；
（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。

参考答案：
（本小题满分14分）
（Ⅰ），依题意，
，…………………1分
即，解得
…………………3分
经检验符合。

（Ⅱ）
当时，，故在区间上为减函数，
……………5分
∵对于区间上任意两个自变量的值，
都有
………………7分（Ⅲ），
∵曲线方程为，∴点不在曲线上，
设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足。

因，故切线的斜率为，
整理得。

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，
∴关于的方程有三个实根。

……………9分设，则，
由，得或
在上单调递增，在（0,1）上单调递减。

∴函数的极值点为，………11分∴关于方程有三个实根的充要条件是
，解得
故所求的实数a的取值范围是 (14)
分
略
20. （13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
【专题】综合题．
【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）先研究f（x）在区间上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，
由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，
∴a=﹣1
∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，
（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，
∵x∈，
∴﹣x∈，
∴ln（﹣x）∈，
①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，
f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1
②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，
f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2
③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a
∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，
∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，
∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）
综上：（14分）
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．
21. （几何证明选讲）
如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，.
（1）求证：AF=FO；
（2）若，求AD·AE的值.
参考答案：
解：（1）证明：连接，∵，∴，
又，∴为等边三角形，
∵，∴为中边上的中线，
∴；
（2）解：连接，
∵，是等边三角形，
∴可求得，，
∵为圆的直径，∴，∴，
又∵，∴，∴，
即.
22. （12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（I）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（II）若存在x∈[e，＋∞)，使函数g(x)=aelnx+x2－lnx·f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：（I）由及得函数f（x）的定义域为
由题意解得
故，此时，
由得
所以函数f（x）的单调递减区间是
（II）因为，由已知，若存在使函数成立，则只需满足当时，即可．
又，
则，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
，
∴，又∵，∴．
若，则在上单调递减，在上单调递增，。