移动荷载在简支梁上不同位置有载频率的研究

质点位置
0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17
质点位置
图 8(a)
五阶频率随集中质块位置变化曲线
图 8(b)
五阶频率随集中质块位置下降百分比曲线
4 实验结果
通过 DASP 软件中的模态分析功能得到上述简支梁的前五阶模态振型如图 9 所示。 在 ZJY 振动教学仪简支梁上的不同位置加集中质量， 通过接触式激振器利用共振法得到图 10、 图 11 所示的曲线图。由于集中质量同梁之间的接触为小面积的接触，所以图 10 中的三条曲线并没有象计算曲 线那样交于一点。
17 质点位置
图 7(a)
四阶频率随集中质块位置变化曲线
图 7(b) 下降百分比
20%
四阶频率随集中质块位置下降百分比曲线
五阶频率（Hz）
1050 1000 950 900 850 800 1 3 5 7 9 11 13 15 17
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
10%
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
(4)
当边界条件为简支时，y=M=0，即 y0L=M0L，ynR=MnR，因此得到关于 y0R、M0R 的齐次方程，它有非零 解的条件为系数行列式为零，即
∆ (ω ) =
T12 T14 =0 T32 T34
(5)
据此，通过自行设计的程序能够求解在简支梁上不同位置加集中质量后移动荷载作用下的各阶频率。 如果要求解其它形式的梁，只要将边界条件改变一下即可，也就是将式(5)稍作调整。
现代振动与噪声技术论文集
四阶频率（Hz） 700
650 600 550 500 450 1 3 5 7 9 11 13 15
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
下降百分比
30%
20%
10%
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
17 质点位置
0% 1 3 5 7 9 11 13 15
Abstract：This paper gives the first five frequencies of pin-forced beam through transfer matrix analysis and related curves with respect to the different position of the movable load on the beam. The computation results are confirmed on the ZJY Teaching Beam. The results can be used in the research on the dynamic performance of vehicle-bridge system. Keywords: Pin-forced Beam；Eigenfrequency；Bridge
质点位置
图 4(a)
170 160 150 140 130 120 110 100 1 3
一阶频率随集中质块位置变化曲线
图 4(b) 下降百分比
40%
一阶频率随集中质块位置下降百分比曲线
二阶频率（Hz）
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
30% 20% 10% 0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17
2 附有集中质量的简支梁各阶频率的数值求解
但对于桥梁这样的链状系统，可以借助计算机通过传递矩阵来近似求解。 对于简支梁可以将其简化为如图 1 所示的无质量的弹性梁段连接的一系列集中质块组成的振动系统。 对于系统中的第 i 段梁及第 i 个集中质块取脱离 m EI i −1 mi −1 EI i EI n mn EI i +1 i +1 EI1 EI 2 m0 体，如图 2 所示。 li −1 li ln l1 m2 m1 l2 mi li +1 梁的状态向量由挠度 y、转角θ、剪力 Q 及 图1 弯矩 M 组成。对于 mi 取脱离体，则有：
(2)
将(1)、(2)式合并，可建立第 i 与第 i − 1 点状态向量之间的关系。
{z}iR
y y θ θ R = = [Ts ]i [TF ]i = [T ]i {z}i −1 M M i −1 Q i Q
1 y 0 θ = 0 M 2 Q ω m i
R
0 0 0 y y θ 1 0 0 θ = [Ts ]i 0 1 0 M M Q 0 0 1 Q i i
1 2 5
41.36Hz 3 335.79Hz 4
153.60Hz 597.69Hz
938.68Hz
图 9 简支梁前五阶模态振型图 各种情况下一阶频率下降百分比曲线 3.2Kg 60% 2.2Kg 50% 40% 1.2Kg 30% 20% 10% 0% 1/4 1/2 3/4 1 0 相对跨度 二阶频率随质块位置下降百分比曲线 35% 30% 25% 4 20% 15% 10% 相对跨度 0 1/4 1/2 3/4 1 1.2Kg
L
L
y
QiL yi
M iR −1 QiR −1 Q
L i
(1)
QiR M iR
M
L i
M
L i
EI i li
y
L i
θ iR −1
1
y
R i −1
θ iR
θ
L i
yiL
mi yiR
θ iR
ω 2 mi yi
图2
x
北京东方振动和噪声技术研究所
现代振动与噪声技术论文集
{{y
量。
θ
M
Q}i
R T
} 表第 i 个质块的右边状态向量， {{y
R
(3)
{z}iR−1 与 {z}iR 分别是 mi −1 与 mi 右边的状态向量。对于图 2 所示的系统可写出：
R R R {z}n = [T ]n [T ]n −1 [T ]1 {z}0 = [T ]{z}0
T11 T12 T13 T14 T T T T R 21 22 23 24 {z}0 = T31 T32 T33 T34 T41 T42 T43 T44
3、算例
简支梁的尺寸长 (l ) ×宽 (b) ×高 (h) 为 680mm × 50mm × 8mm ， 长度方向进行 16 等分， 依次编号为 1~17，如图 3 所示。
h=8mm l=680mm
1 2 3 4
测点和相对跨度的对 应关系见表 1。 表 1 测点和相对
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
45 40 35 30 25 20 15 1 3 5 7 9 11 13 15 17 质点位置
下降百分比
60%
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
50% 40% 30% 20% 10% 0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2kg 3Kg
20%
10%
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 2Kg 3Kg
17 质点位置
0% 1 3 5 7 9 11 13 15
质点位置
17
图 6(a)
三阶频率随集中质块位置变化曲线
图 6(b)
三阶频率随集中质块位置下降百分比曲线
3
北京东方振动和噪声技术研究所
北京东方振动和噪声技术研究所
现代振动与噪声技术论文集
移动荷载在简支梁上不同位置有载频率的研究
应怀樵 (东方振动和噪声技术研究所)
郭亚 (合肥工业大学)
摘要：本文通过传递矩阵分析得到简支梁前五阶固有频率，并给出了移动荷载在简支梁不同位置简 支梁各阶频率的变化曲线。最后通过 ZJY 振动教学梁验证了计算结果，对目前车桥系统的动态特性研究 有一定的参考价值。 关键词：简支 梁；固有频率；桥梁
0.1Kg 0.2Kg 0.5Kg 1Kg 13 15 17
质点位置
图 5(a)
二阶频率随集中质块位置变化曲线
图 5(b) 下降百分比
30%
二阶频率随集中质块位置下降百分比曲线
三阶频率（Hz） 390 370
350 330 310 290 270 250 1 3 5 7 9 11 13 15
5
北京东方振动和噪声技术研究所 图 10 一阶频率下降百分比曲线
现代振动与噪声技术论文集 图 11 二阶频率下降百分比曲线
5 分析与结论
通过理论及实验结果可以看出随着移动荷载位置的变化，每一阶频率变化曲线的形状同该阶的振型 基本相似。在振型的节点处荷载的增加对该阶频率没有什么影响；在每阶振型的最大振幅处该阶频率的 变化对移动荷载特别敏感。例如算例中的简支梁大约 2Kg，当移动质量为 0.5Kg 即四分之一梁重时，一 阶频率最大下降 18.5%，二阶频率最大下降 15.8%；当移动质量和梁的质量相当即 2Kg 时，一阶频率最大 下降 42.5%，二阶频率最大下降 31.9%。同时，从 ZJY 振动教学仪简支梁特殊的参数设计也可看出，以一 阶频率 40Hz 为例，当在跨中处即第 9 点分别加 1Kg、2Kg、3Kg 的集中质量时，一阶频率依次变为原来 的 1 2 、 1 3 、 1 4 ，即变为 28.28Hz、23.09Hz、20Hz。因此可以说随着移动荷载位置和大小的变化， 系统的各阶频率有很大的起伏，分析有车辆行驶的桥梁动态特性时必须考虑这种附加质量和移动位置的 影响。 参考文献 [1]、应怀樵， 《振动测试和分析》 ，中国铁道出版社，1987.6 [2]、师汉民， 《机械振动系统》 ，华中理工大学出版社，1992.10 [3]、应怀樵， 《现代振动与噪声技术》 ，航空工业出版社，1997.9
下面给出通过传递矩阵得到的几种移动荷载下梁的前五阶频率随质块位置变化的曲线和下降百分比
40.97Hz、 163.87Hz、 368.65Hz、 曲线。 没有加任何荷载的情况下， 计算得到该梁的前五阶频率依次为： 655.22Hz、1023.27Hz。对于加移动荷载情况下的频率不再一一列出。
一阶频率（Hz）
152025303540451113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg01020304050601113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg一阶频率随集中质块位置下降百分比曲线1001101201301401501601701113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg0102030401113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg二阶频率随集中质块位置下降百分比曲线质点位置质点位置质点位置质点位置质点位置一阶频率hz二阶频率hz下降百分比下降百分比2502702903103303503703901113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg01020301113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg三阶频率随集中质块位置下降百分比曲线4505005506006507001113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg01020301113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg四阶频率随集中质块位置下降百分比曲线800850900950100010501113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg010201113151701kg02kg05kg1kg2kg3kg五阶频率随集中质块位置下降百分比曲线实验结果实验结果实验结果实验结果通过dasp软件中的模态分析功能得到上述简支梁的前五阶模态振型如图9所示
θ
M
Q}i
L T
} 表第 i 个质块左边的状态向
对梁段 l i 取脱离体则有：
y θ M Q i
L
1 = 0 0 0
R
li 1
li 2 EI i li EI i
2
0 1 0 0
3 li R R 6 EI i y y 2 θ θ li = [TF ]i 2 EI i M M Q l i i −1 Q i −1 1
1 引言
在对车辆通过桥梁的动态特性进行研究时，车桥系统的固有频率是非常重要的一个参数。所谓的系 统指的是在一定边界的条件下给定的结构所形成的具有一定功能的整体。固有频率是伴随特定的系统而 存在的一系列重要的特征参数，抛开系统谈论固有频率是没有任何意义的。很多系统在工作的状态下， 由于外在要素的加入形成了新的系统，从而使得新系统发生共振时的频率同以前有所改变。例如桥梁， 在有无车辆行驶时，桥梁发生共振的频率是截然不同的。下面以一简支梁为例说明移动荷载对结构各阶 自振频率的影响。
17
图3
b=50m
2
北京东方振动和噪声技术研究所
现代振动与噪声技术论文集
跨度的对应关系表：
测点编号 相对跨度 1 0 2 1/16 3 1/8 4 3/16 5 1/4 6 5/16 7 3/8 8 7/16 9 1/2 10 9/16 11 12 13 14 15 16 17 1
5/8 11/16 3/4 13/16 7/8 15/16