人教A版高中数学选修一3.3 用导数研究函数的最值.docx

高中数学学习材料
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3.3 用导数研究函数的最值
一、填空题
1．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________． 解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1，f (－3)＝－17，
f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (0)＝1.比较可得f (x )max ＝f (－1)＝3， f (x )min ＝f (－3)＝－17. 答案 3，－17
2．已知a ≤
1－x
x ＋ln x 对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2恒成立，则a 的最大值为________． 解析 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，1时，f′(x)<0，故函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f′(x)>0，故函
数f(x)在(1,2]上单调递增，
∴f(x)min ＝f(1)＝0，∴a≤0，即a 的最大值为0. 答案 0
3．函数f (x )＝－1
3x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是
________．
解析 由f ′(x )＝－x 2＋1，易知f (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为
⎩⎨⎧
a ＜1，
10－a 2＞1，解得－2≤a ＜1.f (1)≥f (a )，
答案 [－2,1) 4．若函数f (x )＝x x 2
＋a
(a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为
3
3
，则a 的值为________． 答案
3－1
5．设函数f (x )＝x 3
－x 2
2
－2x ＋5，若对任意x ∈[－1,2]，都有f (x )＞m ，则实数
m 的取值范围是________．
解析 f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或－2
3
，
f (－1)＝112
，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＝15727，f (1)＝7
2
，f (2)＝7. ∴m ＜72.
答案 m ＜7
2
6．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2且x 1＜x 2，则f (x 1)，f (x 2)
的大小关系是________．
解析 f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2上单调递增，
所以f (x 1)＜f (x 2)． 答案 f (x 1)＜f (x 2)
7．若函数在f (x )＝－1
3x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为
________．
解析 ∵f (x )＝－1
3x 3＋x (x ∈R )，则f ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
∴f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)单调递增，由题意知，当x ＝1时，f (x )取得最大值，1∈(a,10－a 2
)．即⎩⎨⎧
a ＜1，
1＜10－a 2
，
∴－3＜a ＜1.
答案 (－3,1)
8．曲线f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ，c ∈R )通过点P (0,2a 2＋8)，在点Q (－1，
f (－1))处的切线垂直于y 轴，则c
b
的最小值为________．
解析 由已知曲线f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ，c ∈R )通过点P (0,2a 2＋8)知c ＝2a 2＋8.又知其在点Q (－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，
∴f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0.∴c b ＝2a 2＋82a ＝a ＋4
a .
∵a ＞0，∴c b ＝a ＋4a ≥4，即c
b 的最小值为4.
答案 4
9．已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得极大值－5时，x 的值应为________．
解析 易知f (x )＝x 4－2x 2－5，f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝±1， 只有f (0)＝－5. 答案 0
10．已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )．若f ′(－1)＝0，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，1上的最大值和最小值分别为________． 解析 ∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2. ∴f ′(x )＝3x 2
＋4x ＋1＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)．
由f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞－13；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜－1
3.
因此，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－13，1，单调递减区间为
⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－1，－13.
∴f (x )在x ＝－1处取得极大值为f (－1)＝2；f (x )在x ＝－1
3处取得极小值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027
. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13
8
，f (1)＝6，且5027＞138，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13
8.
答案 6
138
11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝e x －2. 当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0. ∴f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ， 则函数有零点，即f (x )min ≤0. ∴2－2ln 2＋a ≤0， ∴a ≤2ln 2－2.
答案 (－∞，2ln 2－2]
12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则
f (m )＋f ′(n )的最小值是________．
解析 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴对n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.于是，f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案 －13
13．已知函数f (x )＝1
2
x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的
取值范围是________．
解析 因为函数f (x )＝1
2
x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得
x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)
＝3m －27
2，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，
所以3m －272≥－9，解得m ≥3
2.
答案 m ≥3
2
二、解答题
14．求函数f(x)＝1
3
x3＋
1
2
x2－2x＋
8
3
在区间[－3,3]上的最大值与最小值．
解析∵f(x)＝1
3
x3＋
1
2
x2－2x＋
8
3
，
∴f′(x)＝x2＋x－2.
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1.则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x －3(－3，－
2)
－2(－2,1)1(1,3) 3
f′(x)＋0－0＋
f(x)25
6
↗6↘
3
2
↗
61
6
由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝61
6
，当x＝1时，f(x)min＝
3
2
.
15．设函数f(x)＝－1
3
x3＋2ax2－3a2x＋b,0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
(2)若x∈[0,3a]，试求函数f(x)的最值．
解析(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝3a，列表如下：
x (－∞，a) a (a,3a)3a (3a，＋∞) f′(x)－0＋0－
f(x)递减－4
3
a3＋b 递增 b 递减
由表可知：当x∈(－∞，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．
∴当x＝a时，f(x)的极小值为－4
3
a3＋b；当x＝3a时，f(x)为增函数．
(2)x∈[0,3a]，列表如下：
x 0(0，a) a (a,3a)3a f′(x)－0＋0
f(x) b 递减－4
3
a3＋b 递增b
由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．
∴当x ＝a 时，f (x )的最小值为－43
a 3
＋b ；当x ＝0或x ＝3a 时，f (x )的最大值为
b .
16．已知函数f (x )＝
x －1e x －1
(x ∈R )．
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)已知函数y ＝g (x )对任意x 满足g (x )＝f (4－x )，证明当x ＞2时，f (x )＞g (x )； (3)如果x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，证明x 1＋x 2＞4. 解析 (1)由f (x )＝
x －1e
x －1得f ′(x )＝
2－x
e
x －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝2，则x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，2)
2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
增
极大值1
e
减
所以f (x )在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数． 函数f (x )在x ＝2时取得极大值f (2)＝1
e .
(2)证明 因为g (x )＝f (4－x )，所以g (x )＝3－x
e 3－x . 令F (x )＝
f (x )－
g (x )，即F (x )＝x －1e x －1
－3－x e 3－x
则F ′(x )＝2－x e x －1－2－x
e
3－x ＝
－x
e 3－e 2x －1e x ＋2
.
当x ＞2时，2－x ＜0,2x －1＞3，从而e 3－e 2x －1＜0， 则函数F ′(x )＞0，F (x )在(2，＋∞)是增函数．
所以F (x )＞F (2)＝1e －1
e
＝0，故当x ＞2时，f (x )＞g (x )成立．
(3)证明 因为f (x )在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，
所以x 1，x 2不可能在同一单调区间内，不妨设x 1＜2＜x 2，由(2)可知f (x 2)＞g (x 2)，又g (x 2)＝f (4－x 2)，所以f (x 2)＞f (4－x 2)，因为f (x 1)＝f (x 2)，
所以f (x 1)＞f (4－x 2)，因为x 2＞2,4－x 2＜2，x 1＜2，f (x )在区间(－∞，2)内为增函数，故x 1＞4－x 2，即x 1＋x 2＞4.
17．已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )的最小值；
(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x e x －2e 成立．
解析 (1) f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(ln x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1
e .
当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，＋∞时，f ′(x )＞0.
所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，＋∞上单调递增．
故当x ＝1e 时，f (x )取最小值为－2
e
.
(2)存在x ∈(0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，即2x ln x ≤－x 2＋ax －3在x ∈(0，＋∞)能成立，等价于a ≥2ln x ＋x ＋3
x
在x ∈(0，＋∞)能成立，
等价于a ≥(2ln x ＋x ＋3
x
)min .
记h (x )＝2ln x ＋x ＋3
x
，x ∈(0，＋∞)，
则h ′(x )＝2
x ＋1－3
x 2＝x 2＋2x －3x 2
＝
x ＋
x －x 2
.
当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以当x ＝1时，h (x )取最小值为4，故a ≥4.
(3)证明 记j (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则j ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－x e x .
当x ∈(0,1)时，j ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，j ′(x )＜0.
所以当x ＝1时，j (x )取最大值为－2
e .
又由(1)知，当x ＝1e 时，f (x )取最小值为－2
e ，
故对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x e x －2e 成立．
18．已知函数f (x )＝⎝
⎛
⎭⎪⎫a －12x 2＋ln x (a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1
x ；
对于x ∈[1，e]，有f ′(x )＞0，∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝1
2.
(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋ln x ，
在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 下方，等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1
x
＝
a －
x 2－2ax ＋1x
＝
x －a －x －1]
x
.
①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1
2a －1
，
当x 2＞x 1＝1，即1
2＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，
此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，
当x →＋∞时，有⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －12x 2－2ax →＋∞，ln x →＋∞，g (x )∈[g (x 2)，＋∞)，不
合题意；
当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，
当x →＋∞时，有⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －12x 2－2ax →＋∞，ln x →＋∞，g (x )∈(g (1)，＋∞)，也
不合题意．
②若a ≤1
2，则2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )
在区间(1，＋∞)上是减函数．
要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只须满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－1
2，
即－12≤a ≤1
2
.
综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.。