二面角的平面角及求法

二面角的平面角及求法
一．解答题
1．如图，已知正方体AC1的棱长为1，求
（1）B1B与平面角A1BD所成角的余弦值
（2）二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
2．如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（3）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，O为AC，BD的交点，且PO⊥底面ABCD，．
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．
4．在右图所示的多面体中，下部ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，点P在DD′的延长线上，且PD′=D′D，M、N分别为△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R为棱PD上任意一点，求证：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M﹣BC﹣D的正切值大小．
5．△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．P在平面ABC的射影为AB的中点D．
（1）求证：AB与PC不垂直；
（2）当∠APC=60°时，
①求三棱锥P﹣ABC的体积；
②求二面角P﹣AC﹣B的正切值．
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB1；
（2）若MN⊥AB1，求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB1，求二面角A﹣B1N﹣M的大小
（4）若MN⊥AB1，求点M到平面AB1N的距离．
7．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求三棱锥M﹣OBC的体积；
（Ⅲ）求二面角M﹣BC'﹣B'的正切值．
8．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．（1）当SA=2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为，求SA的长．
9．如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD 中点，PC与底面ABCD成450角．
（Ⅰ）求证：AG⊥EF
（Ⅱ）求二面角P﹣DF﹣A的正切．
10．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，点G是FA的中点．
（1）求证：EG⊥平面CDE；
（2）求二面角B﹣CE﹣G的余弦值．
11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）以向量方向为侧视方向，侧视图是什么形状？
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）求面AMN与面NBC所成二面角的余弦值．
12．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）求二面角F﹣CM﹣D的正切值．
13．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥侧面ABB1A1，侧面ABB1A1的面积为，
CA=CA1=AB=BB1=1，∠ABB1为锐角
14．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
15．如图，边长为2的正方形ABCD所在平面为α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分别是AD、BC的中点，MQ⊥PD 于Q．
（1）求证平面PMN⊥平面PAD；
（2）二面角P﹣MN﹣Q的余弦值．
16．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
17．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点．
（1）证明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
19．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．
20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点E、F、G分别为CD、PD、PB的中点．PA=AD=2．
（1）证明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F﹣AE﹣D的平面角的正切值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．
22．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC，SB的中点，设PM=AC=SC=1，，
（Ⅰ）求证：PM⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
23．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D﹣AB﹣O余弦值．
24．如图的多面体是直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．
（Ⅰ）证明；AB1∥平面DBC1；
（Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2．求二面角D﹣BC1﹣C的大小．
26．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求二面角A﹣PB﹣D的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE．若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA 的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
28．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
（1）问AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD1E夹角的余弦值．
29．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，，求二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
二面角的平面角及求法
参考答案与试题解析
一．解答题
1．如图，已知正方体AC1的棱长为1，求
（1）B1B与平面角A1BD所成角的余弦值
（2）二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
=；
．
2．如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．（1）求证：BC⊥SC；
（2）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（3）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．
，又，
SC=
4．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，O为AC，BD的交点，且PO⊥底面ABCD，．
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．
，
，
，
BE=
=
5．在右图所示的多面体中，下部ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，点P在DD′的延长线上，且PD′=D′D，M、N分别为△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R为棱PD上任意一点，求证：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M﹣BC﹣D的正切值大小．
，
的正切值
6．△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．P在平面ABC的射影为AB的中点D．（1）求证：AB与PC不垂直；
（2）当∠APC=60°时，
①求三棱锥P﹣ABC的体积；
②求二面角P﹣AC﹣B的正切值．
，
，故所求角的正切值为
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB1；
（2）若MN⊥AB1，求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB1，求二面角A﹣B1N﹣M的大小
（4）若MN⊥AB1，求点M到平面AB1N的距离．
．
N==．
BN=．
+⇒N=
+
=
=
，
AEM==1
×=．
的距离为：．
8．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求三棱锥M﹣OBC的体积；
（Ⅲ）求二面角M﹣BC'﹣B'的正切值．
MO…
h=…
9．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．（1）当SA=2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为，求SA的长．
的法向量，利用与夹角余弦得值去解决．
的法向量所成角与
为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
=
的一个法向量为，
即
==．∴直线
，=
的一个法向量为，则即取
的一个法向量为=＜==
10．如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD 中点，PC与底面ABCD成450角．
（Ⅰ）求证：AG⊥EF
（Ⅱ）求二面角P﹣DF﹣A的正切．
，∴
，则
解得
…
11．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，点G是FA的中点．
（1）求证：EG⊥平面CDE；
（2）求二面角B﹣CE﹣G的余弦值．
、
的一个法向量，，的夹角的余弦值为
．
12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（1）以向量方向为侧视方向，侧视图是什么形状？
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）求面AMN与面NBC所成二面角的余弦值．
，，
，
得：
得：
是平面
，
．
13．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）求二面角F﹣CM﹣D的正切值．
FMD==
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥侧面ABB1A1，侧面ABB1A1的面积为，
CA=CA1=AB=BB1=1，∠ABB1为锐角
（1）求证：CB1⊥AA1；
（2）求二面角C﹣BB1﹣A的大小．
的面积为
，又∠
O=
15．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
OB=MO=
，MH=
，
，
所成二面角的正弦值为
16．如图，边长为2的正方形ABCD所在平面为α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分别是AD、BC的中点，MQ⊥PD 于Q．
（1）求证平面PMN⊥平面PAD；
（2）二面角P﹣MN﹣Q的余弦值．
PD=2MQ=…
17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
E=，
EC==．的余弦值等于
18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
a EF=，∴
所成的锐二面角的余弦值为
CA
CM
CN CA
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点．（1）证明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
EF=，
EN=，
ENF=
．
20．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．
=
AM=
PME==
21．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点E、F、G分别为CD、PD、PB的中点．PA=AD=2．
（1）证明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F﹣AE﹣D的平面角的正切值．
MH=
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．
，
23．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC，SB的中点，设PM=AC=SC=1，，
（Ⅰ）求证：PM⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
ACB=，
，
MO=AB=
DO==，
DM==
MDO==
的平面角的余弦值为
24．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D﹣AB﹣O余弦值．
BD=2OM=
DEO=，即得
DO=
OM=
==
DEO==．
25．如图的多面体是直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．
∴
，
=
cos
arccos
26．已知ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，D是AC的中点（如图所示）．（Ⅰ）证明；AB1∥平面DBC1；
（Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2．求二面角D﹣BC1﹣C的大小．
，∠
中，
HOD=
27．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求二面角A﹣PB﹣D的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE．若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
PA=PB= a
=
OFA=
28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA 的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
．
，EF=，
=
29．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，（1）问AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD1E夹角的余弦值．
的法向量与斜向量
，
，则，化为，
，∴可取
由题意可得=，∴，解得
不符合题意，应舍去，∴
，∴=
==．
30．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，，求二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
（（
=，﹣，且=，
，＞=
=）
=，则，因此，则=
，故为平面
，＜，=．
为锐角，故所求二面角的余弦值为。