河南省焦作市修武一中2021届高三数学上学期期中考试 理

2021-2021学年上学期期中考试高三数学试题〔理科〕
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .
1. 集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，{,,}C b c d =，那么集合()A B C 等于〔 〕
A. {,,}a b c
B. {,,}a b d
C. {,,}
b c d D. {,,,}a b c d
2. 向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，那么实数x 等于〔 〕 A. 4- B. 4 C. 0 D. 9
3. 3sin 5α=
，且,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，那么2sin2cos αα的值等于〔 〕
A. 34-
B. 34
C. 3
2- D.
3
2
4. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，
，
假设()f x 是奇函数，那么(2)g 的值是〔 〕
A. 14-
B. 4-
C. 1
4
D. 4
5. 函数)43sin(2)(πω-=x x f 的图象如右，那么)12
5(π
f 的值是( ) A.2 B.
C.1
D.0
6. {a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且a 3+a 8>0，S 9<0，那么在S 1，S 2，S 3，…，
S n 中最小的是 〔 〕 A ．S 10 B ．S 9 C ．S 6 D ．S 5
7．设a ，b ，c 均为正数，且c b a c
b
a
22
12
1log )2
1(log )2
1
(log 2===，，
，那么〔 〕
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．c<a<b
D ．b<a<c 8. 对于任意实数a ，b ，定义, ,
min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，
那么函数
()min{(),()}h x f x g x =的最大值是〔 〕
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 9．设]4
,3[)sin(2)(π
πω-=在函数x x f 上是增函数，那么ω可以是〔 〕
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
11．假设函数)(x f y =的反函数为
)1()1()(1
1
-=-==--x f
y x f y x f
y 与函数，则函数的图象〔〕
A ．关于直线y=x
B ．关于直线y=x －1对称
C ．关于直线y=x+1对称
D ．关于直线y=1对称
12．设,x y R ∈，2
2
1x y +=，(1)(1)m xy xy =+-，那么m 的取值范围是〔 〕
二、填空题：本大题共4小题，每题 5 分，共 20 分 . 把答案填在题中横线上 . 13. 数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n =那么5
a =______ .
14. 在ABC ∆中，2AC =，3BC =，5
cos 13
A =-
，那么sin B =_________ . 15. 点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,10,x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于
______，最小值等于__________ .
16.假设直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆2
2
4280x y x y +---=的周长，那么
12
a b
+的最小值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70 分 . 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.〔本小题总分值10分〕函数()sin cos f x x x ωω=- (0ω>) 的最小正周期是π.
〔Ⅰ〕求ω的值； 〔Ⅱ〕假设02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，且()0f x =，求x 的值.
18．〔本小题总分值12分〕设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列.
〔Ⅰ〕求
2
1
a a 的值； 〔Ⅱ〕假设59a =，求n a 及n S 的表达式.
20．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=
，
(12c b =．
〔1〕求C ； 〔2
〕假设1CB CA ⋅=+a ,b ，c ．
21．(本小题总分值12分〕数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n +4n 〔n=`1，2，3，……〕 〔1〕求{a n }的通项公式； 〔2〕设}{,44n n
n b a n
b -=
的前n 项和为T n ，求证：T n <2.
22．〔本小题总分值12分〕把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1
〔如图乙〕．这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． 〔1〕求1OFE ∠的度数； 〔2〕求线段AD 1的长；
〔3〕假设把三角形D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．
〔甲〕
A
C
E
D
B
B 〔乙〕
A
E 11
C
D 1
O
F
参考答案
三、解答题：本大题共6小题，共 70 分. 17.〔本小题总分值10分〕
〔Ⅰ〕解：()sin cos .4f x x x x πωωω⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭….. 2分
0ω>， ()f x ∴的最小正周期是
2π
ω
.
依题意得
2π
πω
=， 2.ω∴= …………..5分
〔Ⅱ〕解：
由〔Ⅰ〕得()2.4f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
依题意得sin 204x π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，
因为0,2
x π
≤≤ 所以324
4
4x π
π
π-
≤-
≤
， 所以20.4
x π
-= 解得.8
x π
= …………..
10分
18.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕解：设等差数列{}n a 的公差是d .
124 ,,S S S 成等比数列， 2
214 S S S ∴=， (2)
分
即 2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得 2
12d a d =，
注意到0d ≠， 1 2d a ∴=. ………….. 4分
211
111
3
3.a a d a a a a +∴=== ………….. 6分 〔Ⅱ〕解：
511 499a a d a =+==， 1 1a ∴=， 2.d = ………….. 8分
1 (1)21n a a n d n ∴=+-=-. ………….. 11分 21()
.2
n n n a a S n +=
= ………….. 12分
19.解：由题意得
〔I 〕且1||||||===c b a c b a 、、
之间的夹角均为120°，
0120cos ||||120cos ||||)(=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-∴ c b c a c b c a c b a …3分
〔II 〕1)(1||1||22>++⇔>++⇔>++c b a k c b a k c b a
12222
222
>⋅+⋅+⋅+++∴c b c a k b a k c b a k …………………………………6分 2
1
120cos -==⋅=⋅=⋅ c b c a b a ……………………………………………8分
022>-∴k k ………………………………………………………………………10分
20><∴k k 或……………………………………………………………………12分
20． 解：〔1
〕由(12c b += 得
1sin 22sin b B
c C
=+= 那么有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C
π
ππ
π-
--=
=232123tan 21+=+C 得1tan =C 即4
C π
=
.……………………6分
〔2〕
由1CB CA ⋅=+ 推出
cos 1ab C =；而4
C π
=
,
即得
12
=+ 那么有
12(12sin sin ab c b a c A C
=+⎪⎪
+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得
12a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩………………12分
∴24
4
4
211=--∴
-=--n n n n a a a a
∴数列{a n －4}为等比数列，公比为2，首项为a 1－4=－8 …………5分
∴21
22
84+--=⋅-=-n n n a ∴224+-=n n a …………7分 〔2〕n n n n a n b 2
44=-=
1322
21222121++-+++=n n n n
n T …………10分 相减得：11322
21122121212121++--=-++++=n n n n n n
n T
.222121
<-
-
=-n
n n n
T ………………12分 22．〔本小题总分值12分〕〔1〕120°…………4分 〔2〕在三角形ACD 1中AC=6，CD=CD 1=7 ∠ACD 1=45°由余弦定理得：
AD 1=24285-………………8分 〔3〕直线CB 交D 2E 2于G ，由角BCE 2=45° 得CG=
2
2
7，由CB=6，所以CB ＞CG 所以点B 在△D 2CE 2外部………………12分
〔甲〕
A C
E
D
B
B 〔乙〕
A
E 11
C
D 1
O
F。