年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基 考点突破 瞭望高考)第六章第6课时 直接证明与间接证明课件

实质
由因导果
思考探究 综合法和分析法的区别与联系是什么? 提示:综合法的特点是:从“已知”看“
可知”,逐步推向“未知”.其逐步推理
实际上是寻找它的必要条件.
分析法的特点是:从“未知”看“需 知”,逐步靠拢“已知”.其逐步推理 实际上是寻求它的充分条件.在解决
问题时,经常把综合法和分析法综合
起来使用.
原结 论词 至少 有 n个
反设词 至多有 n－ 1个
原结 论词 p或 q p且 q
反设词 綈p且 綈q
至多 有 n个
至少有 n＋ 1个
綈p或 綈q
考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看，综合法、 反证法证明问题是高考的热点，题型 大多为解答题，难度为中、高档；主 要是在知识交汇点处命题，像数列，
反证法
反证法体现了正难则反的思维方法，
用反证法证明问题的一般步骤是：
(1)分清问题的条件和结论；
(2)假定所要证的结论不成立，而设结
论的反面成立(否定结论)；
(3)从假设和条件出发,经过正确的推理,
导出与已知条件、公理、定理、定义
及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾( 推导矛盾); (4)因为推理正确,所以断定产生矛盾的 原因是“假设”错误.既然结论的反面 不成立,从而证明了原结论成立(结论成 立).
2．间接证明 反证法:假设原命题________( 不成立 即在原命 题的条件下,结论不成立),经过正确的推
理,最后得出______. 矛盾 因此说明假设错误,
从而证了原命题成立,这样的证明方
法叫做反证法.
课前热身
1.(教材习题改编)要证明 3＋ 7＜2 5,可 选择的方法有以下几种,其中最合理的是 ( ) B．分析法 D.归纳法
失误防范
1．反证法证明中要注意的问题 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反 面，当结论的反面呈现多样性时，必 须罗列出各种可能结论，缺少任何一 种可能，反证都是不完全的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理,即
应把结论的反面作为条件,且必须根据 这一条件进行推证,否则,仅否定结论,
不从结论的反面出发进行推理,就不是
立体几何中的平行、垂直，不等式，
解析几何等都有可能考查，在考查数
学基本概念的同时，注重考查等价转 化、分类讨论思想以及学生的逻辑推 理能力．
预测2013年福建高考仍将以综合法证 明为主要考点，偶尔会出现反证法证 明的题目，重点考查运算能力与逻辑 推理能力．
规范解答
(本题满分 12 分)(2010· 高考湖北 1 31＋an＋1 卷)已知数列{an}满足:a1＝ , ＝ 2 1－an 21＋an ,anan＋1<0(n≥1),数列{bn}满足： 1－an＋1 2 2 bn＝an＋1－an(n≥1). (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
例3 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1
＝1＋ 2,S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn＝ n (n∈N*),求证:数列{bn}中任 意不同的三项都不可能成为等比数列.
【思路分析】
(1)利用求和公式先求
公差d，(2)利用反证法证明．
1 z≥ . 3
2
【思路分析】
利用 y2＋x2≥2xy
→ 同向不等式求和 → 结论
【证明】 ∵x2＋y2≥2xy， y2＋z2≥2yz， z2＋x2≥2zx， 2 2 2 2 2 2 ∴(x ＋y )＋(y ＋z )＋(z ＋x )≥2xy＋ 2yz＋2zx， ∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz ＋2zx， 即 3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1， 1 ∴x ＋y ＋z ≥ . 3
问题,但不便于思考.实际证题时常常两 法兼用,先用分析法探索证明途径,然后
再用综合法叙述出来.
2．利用反证法证明数学问题时，要
假设结论错误，并用假设命题进行推 理，没有用假设命题推理而推出矛盾 结果，其推理过程是错误的．
3．用分析法证明数学问题时，要注意 书写格式的规范性，常常用“要证(欲 证)”…“即要证”…“就要证”等分 析得到一个明显成立的结论P，再说明 所要证明的数学问题成立．
有些数学证明题,单独运用一种证明方 法很难或无法完成,此时要善于将多种 证明方法混合使用,常常用分析法寻找 解题思路,用综合法加以证明.
例4 求证:当 a≥1 时,不等式 ex－x－
ax2ex 1≤ 对于 x∈[0,＋∞)恒成立. 2
【思路分析】 利用分析法寻找解题
思路,用综合法加以证明:构造函数,判 定函数在x∈[0,＋∞)上的单调性.
A.综合法 C.反证法
答案：B
2.(2012· 漳州质检)用分析法证明:欲使
①A＞B，只需②C＜D，这里①是②
的(
)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3.设 a＞0,b＞0,且 a＋b≤4,则有( 1 1 A.ab≥ 2 1 1 C.a＋b≥1
答案：C
)
B. ab≥2 1 1 D. ≤ a＋ b 4
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.
q2－pr＝0 ∵p，q，r∈N*，∴ ， 2q－p－r＝0
p＋r 2 2 ∴ ＝ pr ， ( p － r ) ＝0，∴p＝r. 2
与 p≠r 矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可 能成等比数列．
【解】
a1＝ 2＋1 (1)由已知得 ， 3a1＋3d＝9＋3 2
∴d＝2， 故 an＝2n－1＋ 2， Sn＝n(n＋ 2)．
Sn (2)证明:由(1)得 bn＝ n ＝n＋ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互 不相等且∈N )成等比数列,则
* 2 bq＝bpbr.
考点探究讲练互动
考点突破 综合法
综合法是“由因导果”,它是从已知条
件出发,顺着推证,经过一系列的中间推
理,最后导出所证结论的真实性.用综合
法证明的逻辑关系是:
A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或
数学定义、定理、公理等，B为要证结
论),它的常见书面表达是“∵，∴”或
“⇒”.
例1
已知 x＋y＋z＝1,求证:x2＋y2＋
【名师点评】
当一个命题的结论是
以“至多”、“至少”、“唯一”或 以否定形式出现时,宜用反证法来证,反 证法的关键是在正确的推理下得出矛 盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设
矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实 矛盾等，反证法常常是解决某些“疑 难”问题的有力工具,是数学证明中的 一件有力武器.
综合应用
2 x ax e x ∴当 a≥1 时， 不等式 e －x－1≤ 对 2
于 x∈[0，＋∞)恒成立．
【名师点评】
本题通过对原不等式
进行等价变形，找到了便于证明的不 等式， 然后构造函数证明不等式， 综 合运用了分析法、综合法和构造法．
方法感悟
方法技巧 1.分析法和综合法各有优缺点.分析法思 考起来比较自然,容易寻找到解题的思 路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁琐; 综合法从条件推出结论,较简洁地解决
进行推理论证．因此，关键是找到与
要证结论相匹配的基本不等式及其不
等式的性质．
分析法
分析法是“执果索因”，一步步寻求
上一步成立的充分条件．
它是从要求证的结论出发,倒着分析,由 未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已 知条件，已经学过的定义、定理、公 理、公式、法则等).用分析法证明命题 的逻辑关系是:B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A. 它的常见书面表达是“要证……只需
1 1 25 所以原不等式a＋ab＋b≥ 成立. 4
【误区警示】
本题从要证明的结论
出发,探求使结论成立的充分条件,最后
找到的恰恰都是已证的命题(定义、公
理、定理、法则、公式等)或要证命题
的已知条件时,命题得证.这正是分析法
证明问题的一般思路. 一般地,常常用分析法寻找解题思路,用 综合法加以证明.
2 bn＝a2 － a ＋ n 1 n 3 3 2n 2n－ 1 ＝1－ · －1－ · 3 3 4 4 1 2n－1 ＝ · .6 分 4 3
故 0＜a＜1,0＜b＜1,0＜ab＜1，
1 1 25 要证a＋ab＋b≥ , 4
a2＋b2＋1 25 只需证 ab＋ ≥ , ab 4 只需证 4(ab)2＋4(a2＋b2)－25ab＋4≥0,
只需证 4(ab)2＋8ab－25ab＋4≥0, 只需证 4(ab)2－17ab＋4≥0, 1 1 即证 ab≥4 或 ab≤ ,只需证 ab≤ , 4 4 1 而由 1＝a＋b≥2 ab,∴ab≤ 显然成立, 4
4.(2012· 厦门调研)设 a,b,c∈(－∞,0),且 1 1 1 a,b,c 不全相等,则 a＋b,b＋c,c＋a三个数 中______小于－2.
答案：至少有一个
a＋ b 5.已知 a， b 是不相等的正数,x＝ ,y 2 ＝ a＋b,则 x， y 的大小关系是_______．
答案：x＜y
2 2 2
【名师点评】 (1)综合法的思维特点是: 由已知推出结论.用综合法证明不等式时 常用的重要不等式有: a2≥0;a2＋b2≥2ab(a,b∈R); a＋b ≥ ab(a,b∈(0,＋∞)); 2 b a ＋ ≥2(a,b 同号)等. a b
(2)用综合法证不等式时，以基本不等
式为基础，以不等式的性质为依据，
例
(2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成 等差数列.
【解】 2 2 (1)由题意可知,1－an＋1＝ (1－a2 n).1 3 2 2 令 cn＝1－an，则 cn＋1＝ cn. 3 3 2 又 c1＝1－a1＝ ，则数列{cn}是首项为 c1 4 3 2 ＝ ，公比为 的等比数列， 4 3
反证法;
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的
与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的 与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是
明显的．
2.常见的“结论词”与“反设词” 原结 论词 至少有 一个 至多有 一个 反设词 一个也 没有 至少有 两个 原结 论词 反设词
对所有 存在某个 x成立 x不成立 对任意x 存在某个 x成立 不成立
3 2n－1 即 cn＝ · ，3 分 3 4
分
2 2 3 3 － n－1 2 n 1 2 故 1－an＝ · ⇒an＝1－ · . 3 3 4 4
1 又 a1＝ >0，anan＋1<0， 2 故 an＝(－1)
n－1 3 2n－ 1 1－ · .5 分 3 4
【证明】
2 x ax e x 要证 e －x－1≤ 成立， 2
2 x ax e x 只需证 e ≤ ＋x＋1， 2
a 2 x＋1 即只需证明： x ＋ x ≥1.① 2 e a 2 x＋ 1 令 f(x)＝ x ＋ x ， 2 e
1· ex－x＋1ex 求导得 f′(x)＝ax＋ ＝ax x 2 e －x 1 ＋ x ＝xa－ x. e e ∵a≥1，x∈[0，＋∞)，∴f′(x)≥0， ∴f(x)是增函数． 故 f(x)≥f(0)＝1，从而①式得证．
……”或“⇐”.
例2 已知 a＞0,b＞0,且 a＋b＝1,试用分
1 1 25 析法证明不等式a＋ab＋b≥ . 4
【思路分析】
将要求证的不等式展开,
1 1 利用 a＋b＝1,只需 ab≤ 成立,而 ab≤ 成 4 4 立,命题得证.
【证明】
∵a＞0,b＞0 且 a＋b＝1,
第6课时 直接证明与间接证明
教材回扣夯实双基
基础梳理 1.直接证明
内容
综合法 利用已知条件和 某些数学定义、 公理、定理等,经 过一系列的____ 推理 ______, 论证 最后推导 出所要证明的结 成立 论______
分析法
定义
证明的结论 从要___________ 出发,逐步寻求使 充分条 它成立的_______ ____, 件 直至最后,把 要证明的结论归 结为判定一个明 显成立的条件 执果索因