2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：52 椭圆 Word版含解析

课时作业52 椭圆
一、选择题
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
解析：由题意知|OM |＝1
2|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.
2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋
y 2
9－k ＝1(k <9)的( D )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析：因为c 21＝25－9＝16，c 2
2＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1
＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．
3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2
＝1的离心率为( C )
A.306
B.7
C.30
6或7
D.5
6或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝30
6；当m ＝－6时，
该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.
4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.
5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b
3，则椭圆的离心率为( C )
A.14
B.13
C.12
D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝1
2，故选C.
6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，
5－12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，3－12
解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>
c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 2
1－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2
<3－52＝(5－1)24
，∴0<e <5－1
2.故选B. 二、填空题
7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆
C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y
2
16＝1.
解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1.
8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.
解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2
a ＝3，所以
b 2＝3，即b ＝ 3.
9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．
解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.
则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭
⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22
＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．
10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.
解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧
x 21a 2＋y 21b 2＝1，
x 22a 2＋y 2
2
b 2＝1，
两式相减得，
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝1
4，
于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.
三、解答题
11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，
0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫1，32.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由题意可得
⎩⎨⎧
a 2－
b 2＝3，1a 2＋3
4b 2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1.
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝3
2x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，
由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，
得m 2
<4，⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－3m ，
x 1x 2＝m 2－1.
由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2
＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2
＝75.
又|AB |＝
1＋3
4(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝7
2·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝
|m |1＋34
＝|m |72
. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2
×|m |72
＝9110.
12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2
m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；
(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值． 解：(1)a 2
＝3m ，b 2
＝m ，c 2
＝2m ，e 2
＝c 2a 2＝23，
故e ＝6
3.
(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.
且有⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m
4，
|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝2·9－(12－3m )＝6m －1， 原点到直线l 的距离d ＝2，
所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝7
3>1，故椭圆方程为x 27＋3y 2
7＝1.
(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，x ＋y －2＝0，
解得交点N (1,1)． 因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，
所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|
＝1，故λ的值为1.
13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 2
4＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )
A ．20
B ．10
C ．2 5
D ．4 5
解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，
又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧
x ＝c ，
x 2a 2＋y 2
4＝1，
得
N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2
a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2
a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2
－14＝a 2
－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.
14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，短轴长为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．
解：(1)由题知e ＝c a ＝3
2，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，
∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，
得⎩⎨⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
＝1，
得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①
x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1
，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝5
4，
即4y 1y 2＝5x 1x 2，
∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，
∴(4k 2
－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1
)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－
1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，
化简得m 2
＋k 2
＝5
4，②
由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤5
4， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |
1＋k 2
， ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋9
4(1＋k 2)，
又120<k 2≤54，∴0≤d 2
<87，
∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，214
7)． 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用
15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )
A.32
B.3－5
2 C.－1＋52
D.
3－12
解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .
又直线AB 的方程为y ＝b
a x ＋
b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab
b 2＋a 2＝
c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2
＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除
以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52
，则e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2
a 2＝1－－1＋52
＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 2
9＝1内
部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：
①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.
解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为
定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 225＋y 2
9＝1，
y 2
25＋x 29＝1，
得
y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。