2022年秋期八年级数学上册 专题提高讲义 第5讲 位置与坐标 北师大版

第五讲：位置与坐标
◆【知识考点梳理】
1、平面内确定位置的方法：（1）经纬法；（2）方位角+距离；（3）坐标法；
2、特殊点的坐标：
（1）各个象限内点的坐标特征： 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。

（2）对称轴上的点的坐标特征：x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0。

即点（a ，
0）在x 轴上，点（0，m ）在y 轴上。

（3）对称点的坐标特征：关于x 轴对称的两个点 ；关于y 轴对称的两个点 ；关于原点对称的两个点 ；
（4）一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等。

二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数。

（5）与x 轴平行的直线上的点：纵坐标相同。

与y 轴平行的直线上的点：横坐标相同。

3、坐标变换规律：加减平移，乘除伸缩 4、坐标求法：
（1）定义法：作出点到坐标轴的距离，转化为求线段的长，常用勾股定理建立方程求解； （2）交点方程法：限于求函数图像交点坐标，求联立解析式方程组的解； 温馨提示：求点的坐标特别要注意点所在象限的坐标符号特征。

◆【考点聚焦、方法导航】
【考点题型1】-----考查平面直角坐标系中特殊点的坐标
【例1】（1）已知点)9,1(2
--a a P 在x 轴的负半轴上，则点P 的坐标为 ； （2）已知点)129,33(2
+--a a a A 在第二象限的角平分线上，则点A 的坐标为 ； （3）已知两点(,4)A a -，),2(b B -关于y 轴对称，则=++ab b a ； 【例2】已知点P （a ，b ）在第二象限，化简_________a b b a -+-=； ◆目标训练1：
1、在平面直角坐标系中，点)3,2(-P 关于x 轴对称的点在第 象限；
2、已知点),(b a P ，当0<ab ，点P 的位置在（ ）
A 、第一或第三象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第二或第四象限
3、若点),(b a P 在第四象限，则点)1,(--b a Q 在 象限；
4、点P （a ，b ）与点Q （1，2）关于x 轴对称，则=+b a ；
5、如果点Q 2m +1
12
m -）在y 轴上，则点Q 的坐标为 ； 【考点题型2】---坐标变换的规律
【例3】在直角坐标系中，将某三角形纵向拉长了2倍，又向右平移了3个单位长度，则所得三角形的三个顶点坐标是将原三角形的三个顶点坐标（ ） A 、先纵坐标不变，横坐标均扩大2倍，再横坐标均增加3；
B 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；
C 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；
D 、先横坐标不变，纵坐标均增加2，再纵坐标不变，横坐标均增加3； 【考点题型3】---图形变换与坐标的求法 【例4】1、如图：平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标为（ ） A 、)7,3( B 、)3,5( C 、)3,7( D 、)2,8(
2为(5,6)--，那么白棋①的坐标为 ；
【例5】如图：在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成11B OA ∆，第二次将11B OA ∆变换成22B OA ∆，第三次将22B OA ∆变换成33B OA ∆。

已知：A （1，3），1A （2，3），2A （4，3）
，3A （8，3），B （2，0），1B （4，0），2B （8，0），3B （16，0） （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将33B OA ∆变换成
44B OA ∆，求4A 、4B 的坐标；
（2）若按（1）题找到的规律将OAB ∆进行n 次变换，得到n n B OA ∆，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 、n B 的坐标；
x
y
O
x
O y
1
A 2
A 3
A 1
B 2
B 3B
1
2 【例6】如图：点)0,0(O ，)0,4(B ，将OAB ∆绕点O 按逆时针方向旋转︒90到/
/
B OA ∆； （1）画出/
/
B OA ∆； （2）点/A 的坐标为 ；
（3）求/
BB 的长；
◆目标训练2：
1、同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先 成一条直线就算胜，如图是两人玩的一盘棋，若白①的位 置是（1,-5），黑②的位置是（2,-4），现轮到黑棋走，你 认为黑棋放在 位置就获得胜利了。

2、上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，如图，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东︒45和北偏东︒15方向，那么B 处船与小岛M 的距离为（ ）
A 、20海里
B 、220海里
C 、315海里
D 、320海里
◆【创新题型•思维拓展】
【例7】1、如图：已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为︒30，那么点B 的坐标是 ；
2、平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ；
◆方法感悟：求点的坐标，关键作出点到x 轴、y 轴的距离，转化为求线段的长。

选择建立合适的坐标系可以简化运算。

注意体会分类讨论思想，方程思想的运用。

【例8】根据指令[],s A （0,0360s A ≥︒≤<︒）机器人在平面上能完成以下动作：先在原
︒
45A
B
C O
x
y
O
A B
C
P D
x
y
O
A
B
地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ，现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（3-，3）的位置，应给机器人下的指令是 。

【例9】（规律探索）在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为（1，0）。

将0P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点1P ，延长1OP 到点2P ，使122OP OP =；再将2P 绕着原点按逆
时针方向旋转︒30得到点3P ，延长3OP 到点4P ，使 ；
342OP OP =如此继续下去。

求：（1）点2P 的坐标为（ ）；（2）点2010P 的坐标为（ ）；
【例10】在直角坐标系xOy 中，已知点A 、C 的坐标分别为A （2-，0）、C （0，32-），在坐标平面xOy 内，是否存在点M ，使AC 为等腰ACM ∆的一边，且底角为︒30，如果存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标，如果不存在，请说明理由；
【例11】如图：在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点C 的坐标是)0,4(。

（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）若E 是线段BC 上一点，且︒=∠60AEB ，沿AE 折叠正方形ABCO ，折叠后点B 落在平面内点F 处，请画出点F 并求出它的坐标； （3）若E 是直线BC 上任意一点，问是否存在这样的点E ，使正方形ABCO 沿AE 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的某一点P 处？若存在，请写出此时点P 和点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
作业设计
x y O
姓名： 作业等级： .
第一部分：
1、已知点)4,3(-P ，它到x 轴的距离为 ；它到y 轴的距离为 ；它到原点的距离为 ；
2、若点A （b a 32+，2-）和点B （8，b a 23+）关于x 轴对称，那么=+b a ；
3、（贵阳）对任意实数x ，点2
(2)P x x x -，一定不在．．
（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4、如图：已知ABC ∆：
（1）AC 的长等于 ；
（2）若将ABC ∆向右平移2个单位得到/
/
/
A B C ∆， 则A 点的对应点A '的坐标是 ；
（3）若将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90后 得到111A B C ∆，则A 点对应点1A 的坐标是 ; 第二部分：
1、在直角坐标系xOy 中，点),4(y P 在第一象限，且OP 与x 轴的正半轴夹角为︒60，则y 为 ；
2、已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0），A （-1，1），B （-1，0），将ABO ∆绕点O 按顺时针方向旋转︒135，则点A 、B 的对应点1A 、1B 的坐标分别是1A （ ），1B （ ）；
3、如图：在平面直角坐标系中，已知点A （A x ，2）在第二象限，⊥AC x 轴于C 点，AOC ∆的面积为3，B 点的坐标为（3，0）。

（1）求AB 的长及ABC ∠的度数；
（2）以AB 为一边作正三角形ABP ，求点P 的坐标；
x
O
y。