对数 课件

对数与对数运算 对数
一、对数的有关概念 1.对数的概念 (1)请根据下图的提示填写与对数有关的概念.
指数 幂
对数 真数
底数
(2)对数的底数a的取值范围是_a_＞__0_,_且__a_≠__1_. 2.常用对数与自然对数 (1)请依据常用对数与自然对数的定义连线.
(2)其中无理数e=2.718 28….
1
又x＞0，所以 x 1256
53
1
31
1
6 5 6 52
5.
【拓展提升】 1.巧解对数式中的求值问题 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要 注意利用方程思想求解. (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数函数的性质计算.
(3) 22log2 5－1
2log2 5 2 52 25 .
2
22
(4)
(1)log3 4－2 3
32－log3 4
32 3log3 4
9. 4
答案：(1)2 (2)12 (3) (425)
9
2
4
2.(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3， ∴x＝103＝1000.
二、重要结论 1.负数和零_没__有__对数. 2.loga1=_0_(a＞0,且a≠1). 3.logaa=_1_(a＞0,且a≠1). 思考：为什么logaN(a>0，且a≠1)中N>0，才有意义？ 提示：依据对数定义，若ax＝N，则x＝logaN，对于a>0，不 论x取何实数总有ax>0，故需N>0.
【解析】1.选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义
a 0，
的a需满足 a 1，解得0<a< 1 .
2a 1 0，
2
2.∵a＝log310，b＝log37,
∴3a=10,3b=7,
∴
3a－b＝33ab
＝10 7
.
答案：10
7
3.(1)log7.61=0. (3)lg0.001=－3.
1.对数logaN中规定a＞0且a≠1的原因
(1)a＜0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算
性质可知，不存在实数x使(
1
)2x=2成立，所以
log不(1)存2 在，
2
所以a不能小于0.
(2)a=0时，N≠0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;N=0 时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不确定. (3)a=1时，N≠1,logaN不存在;N=1,loga1有无数个值，不能 确定.
【互动探究】 将本题2(1)中的“0”改为“1”，将本题2(2) 中的“1”改为“0”，如何解答？ 【解析】(1)∵log2(log5x)＝1，∴log5x＝21＝2， ∴x＝52＝25. (2)∵log3(lgx)＝0，∴lgx＝30＝1， ∴x＝10.
【拓展提升】 1. alog=aNN(a>0，a≠1，N>0)的推导方法 由ab＝N ①， 得b＝logaN ②， 将②代入①有 alog=aNN.
2.对数恒等式 alo=gaNN的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.
(2)( 1 )－2=9.
3
(4) log 1 3 =－2.
3
(6)ln2=0.693.
【解题探究】1.要使对数有意义，对数的底数和真数需要满 足什么条件？ 2.解答题2时需要对已知对数式进行怎样的变形？需要用到幂 的什么运算性质求3a-b？ 3.指数式与对数式互化的依据是什么？
探究提示： 1.对数的底数大于0且不等于1，真数大于0. 2.将对数式化为指数式，逆用同底数幂相除底数不变指数相 减的法则. 3.依据是对数的定义,即ax=N⇔logaN=x.
(2) l＝og－1 9 2.
3
(4)( )－12=3.
3
(5)10－1.299=b. (6)e0.693=2.
【拓展提升】 1.对数中底数和真数的取值范围 (1)底数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知对数中的 底数也要大于0且不等于1. (2)真数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知:对数式 中的真数实际上是指数式中的幂，由于已经规定底数大于0且 不等于1，所以幂(即真数)为正数.因此，在解决含有对数式的 问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于0.
3
2.求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0. (2)log3(lgx)＝1.
【解题探究】1.根据对数的定义可知， alog的aN 运算结果是 什么？题1中各式是否具备 alog的aN 形式，如果不具备可如何 变形？ 2.指数式 a0=1，a1=a(a＞0,且a≠1)，如何化为对数式？解 答本题时如何应用？
2.从“三角度”看对数式的意义 角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在 a>0,a≠1,N>0时才有意义. 角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab=N 求b的前提下提出的. 角度三：logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个 数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积. 3.loga1=0和logaa=1(a＞0且a≠1)的应用 主要应用于求真数为1的对数值和真数与底数相等的对数值.
类型 一 对数的概念
1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.a＞ 且a≠1
B.0<a<
C.a>0且1 a≠1
D.a< 1
2
2
2.设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝12______.
3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)7.60=1. (3)10－3=0.001. (5)lgb=－1.299.
2.指数式与对数式互化的解题思路 (1)指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对 数式. (2)对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指 数式.
类型 二 利用对数定义求值
1.2log525+3log264-8ln1＝______. 2.求下列各式中x的值.
2.logaan=n(a＞0,且a≠1)的应用 (1)证明：设logaan=x,则an=ax,由指数函数的单调性知n=x, 所以logaan=n. (2)应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的 幂的形式，那么对数的值就是幂指数.
类型 三 利用对数的结论及恒等式求值
1.求值： (1)10lg2=______. (2)31log3 4 =______. (3) 22log25－1 =______. (4)(1)log3 4－2 =______.
(1)log927=x. (3)log32x= －2 .
5
(2) log 4
81
3
=x.
(4)logx125=6.
【解题探究】1.题1中若log525=a,log264=b，ln1=c,则 a,b,c分别是多少？ 2.要求对数式中x的值，需要用到哪些变形方法？ 探究提示： 1.由5a=25,知a=2,由2b=64,知b=6,由ec=1,知c=0. 2.要求对数式中x的值，需要先将对数式化为指数式，然后利 用幂的运算性质计算.
探究提示： 1. alog=aNN. 可利用幂的运算性质对题1中各式((1)除外)变形后应用以上 结论求值. 2.a0=1⇔loga1=0，a1=a⇔logaa=1.可以利用这种等价关系由 对数值求真数的值.
【解析】1.(1)10lg2=2.
(2) 31log3 4 3=33l×og344 =12.
于是2x=3，x=3 .
2
(2)因为
log 4
=8x1，所以(
3
)x4=381，
1
所以( 3)4x=34，即
x
3=4 34，于是
x=4，x=16.
4
(3)因为log32x=－
2，所以
5
－2
x 32 5
25
－2 5
5(－2 )
2 5
2－2
1.
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4)因为logx125=6，所以x6=125，
【解析】1.设log525=a，log264=b，ln1=c， 则5a=25，2b=64，ec=1. 又因为52=25，26=64，e0=1， 所以a=2，b=6，c=0. 所以2log525+3log264－8ln1 =2×2+3×6－8×0=22. 答案：22
2.(1)因为log927=x，所以9x=27 ，即32x=33，