数学大单元作业设计与实施

分享⼁郑⼦杰，北京市⼗⼀学校数学教师，北京⼤学信息科学技术学院博⼠整理⼁《中⼩学⽼师参考》
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第⼀，这跟我的学科背景有⼀定的关系，我是北⼤信息科学技术学院毕业的，所以对计算机⽐较熟悉，⽽在计算机中，最常⽤的是以“开关”来实现基本逻辑，开关就是⼆进制，其中开代表⼆进制的“1”，关代表⼆进制的“0”。

第⼆，⼆进制与有理数的进位和借位规则不太⼀样，但是其他的运算规则完全⼀样。

⽐如，有理数单元中出现的“负数”，在现实中的⼆进制数字前⾯加
上“负号”，同样可以表⽰“负数”，对于计算机中的⼆进制，虽然它只能由⼩开关来实现运算逻辑，只能⽤“1”和“0”来表⽰负号，但是我们还可以进⾏“补码”，最终也可以表⽰出“负数”。

（补码：对于负数a，在计算机中⽤2N-|a|；N为存储位数。

）
提出⼆进制学习任务的设计想法之后，教研组的⽼师们先⼀起讨论提炼出了有理数单元的教学⽬标：
1）让学⽣了解数系扩充的重要性与必要性。

⼩学只有正数和0，本单元最重要的内容就是引⼊了负数，进⽽有了相反数和绝对值的概念。

2）让学⽣掌握数形结合的数学⽅法。

在有理数单元，第⼀次引⼊了数轴⼯具来形象化地描述数字。

2）让学⽣掌握数形结合的数学⽅法。

在有理数单元，第⼀次引⼊了数轴⼯具来形象化地描述数字。

3）发展学⽣的数学运算核⼼素养。

由于有理数单元引⼊了负号，所以⼀些运算会变得更加复杂，⽐如加法和乘法的有关运算律、指数的运算等等。

然后我再将计算机中的⼆进制补码与有理数单元中的教学⽬标进⾏了对标分析：
1）在数系扩充部分，有理数单元是让学⽣学会⽤负号来表⽰负数，⽽计算机中的⼆进制补码⽤2N-|a|也可以表⽰负数。

2）在数形结合部分，有理数单元引⼊了数轴⼯具，数字可以表⽰到负⽆穷和正⽆穷，在计算机中也有⼀个数轴，把⼆进制的码从8个0排到8个1，数轴就变成了⼀个圆形，如果在某⼀点剪开，从这个点开始就是最⼩负数，这个点的右边就是最⼤正数，这些也都可以跟⼆进制的补码对应上。

所以⼀些学⽣也可以⽤这样⼀个旋转的、形象化的⼯具来表⽰有限的位数，同时对应上补码的运算规则。

3）在运算与运算律部分，有理数单元是引⼊“负号”，那怎么进⾏处理的呢？就是全部变成减法运算，加上⼀个负数等于减去它的相反数。

在计算机的⼆进制补码中，是刨去溢出部分，把所有的负数当成正数进⾏加法运算。

我们设计这个学习任务的主要⽬的是，希望学⽣能够⾃发地去讨论和思考，⼀个数系扩充之后它的数字该怎样表⽰？新的运算规则和运算律会变成什么？应该怎样⽤形象化的⼯具去表⽰不同的数？
实施⼆进制学习任务
正式学习中，直接跟学⽣讲“补码”⼤家肯定听不懂，所以我们也设置了学习任务梯度。

⾸先将教材上的有理数内容讲完，让学⽣掌握正负数的运算和数轴⼯具的使⽤；然后引⼊难度1——现实中的⼆进制，让学⽣了解现实中⼆进制与⼗进制除了进制转换不同，其他全部相同；接着引⼊难度2——计算机中的原码，不⽤“—”来表⽰负号，⽽⽤“1”来表⽰负号；最后引⼊难度3——计算机中的补码，⽤2N-|a|表⽰负号。

我们具体是怎样操作实施的？
1）学习任务讲解。

针对难度1、难度2、难度3的学习内容，我们会在布置作业的时候通过PPT进⾏简单讲解，并为学⽣提供正反⾯学习任务清单，之后还会将⼀些基本运算规则制作成海报贴在墙上，让学⽣可以随时查看。

2）学习任务设计。

有理数的任务主要是教材；现实中⼆进制的任务主要是学校⾃编读物和⽤来熟悉“0”与“1”的计算题；计算机原码和计算机补码的任务主要是阅读材料计算简答。

对学⽣来说最重要的是要清楚原码和补码到底是什么，所以我们给学⽣的任务单上会有很多阅读材料、链接，以及计算、思考和简答的题⽬。

3）学习任务实践。

整个学习任务实践花费了将近⼀个⽉的时间，主要安排为先让学⽣个⼈⽤⼀个周末了解现实中的⼆进制，然后⼩组花费1到2周的时间完成原码、补码任务，最后⼩组⽤三天时间进⾏任务汇总整理。

4）任务结果反馈。

最后，学⽣还需要按组提交⼀份整理版的答案，然后每个⼈进⾏⾃我评价并记录下在学习过程中的收获。

提交答案和评价之后，⽼师也需要对每组的答案进⾏评阅，并评选出优秀作业进⾏统计。

在这个环节中，学⽣的⾃我评价表是⾮常重要的，学⽣需要通过填表进⾏⾃我总结，⽼师也需要通过表格统计学⽣们在学习中的困惑。

5）作业讲评。

⼀个⼩学段结束之后，⽼师会⾯对所有学⽣进⾏⼀个报告，报告中不仅会讲清楚学习任务的设计意图，也汇总了学⽣们的各种问题并对⼤家进⾏讲解，同时我们还整理了学⽣们的原创想法，并告诉⼤家这些想法对未来会有哪些启发。

02
直升初⼀下：
⼏何画板线上任务
初⼀下学期的学习内容是平⾯⼏何，⽽当时正好赶上疫情，学⽣们需要在线上进⾏学习，为了保证调动学⽣的学习热情，让⼤家更⾃主地学习平⾯⼏何，我们设计了⼀个⼏何画板挑战赛，让学⽣在居家期间可以利⽤⼏何画板⼯具来学习平⾯⼏何。

那么，⼏何画板线上任务是怎么设计的呢？
接到线上开课的通知之后，教研组就马上来开会决定如何为学⽣设计居家任务，经讨论我们设置了基础任务、可选任务和展⽰性任务三类分层任务。

其中，基础任务主要帮助学⽣理解平⾯⼏何的基本定理，⽐如过直线外（上）⼀点，怎样做已知直线的垂线或者平⾏线；可选任务主要是引领学⽣想办法验证和证明⾓平分线定理，但是他们能够执⾏这个任务的前提是，提前⾃学并掌握⾓平分线定理；展⽰型任务是更进阶的学习任务，⽐如让学⽣⽤画板做⼀个设定条件下的钟表。

同时，根据任务的设置，我们还制作了结构化的说明⽂档和任务表单。

在实施过程中，我们将⼏何画板线上任务分为三个时间段进⾏，第⼀周让学⽣完成基础任务，第⼆周让学⽣完成可选任务，第三周让给学⽣完成展⽰型任务，并⾃发地使⽤⼏何画板讲题。

03
直升初⼆上：
⼀些数学课题的选题课题PPT答辩
在整个初⼀阶段学习任务的驱动之下，学⽣综合解决问题的能⼒已经有了⼀定程度提升，所以⼤家都已经能够习惯并且接受⼀些开放性的问题和综合性的问题了。

所以，初⼆上学期的时候，我们会在⼩学段期间组织学⽣进⾏选题答辩，由教师为学⽣提供课题，然后每个学⽣选择两个学科在⼩学段期间（⼀周）完成答辩。

并且，对于每⼀个学科，我们也会提供若⼲个课题，让学⽣根据兴趣进⾏选择，⽐如数学学科就设计了6个课题：
1）棋类游戏中的必胜策略；2）万年历和同余：已知1600年的3⽉1⽇是星期三，计算国际固定历法的第N年底m⽉第k天的星期数，并在Python中实现；3）新冠感染⼈数预测：预测美国4⽉1⽇的新冠感染⼈数；4）数学答题闯关赛：基础类建模类题⽬现场作答；5）常见的⼏何数论解题⽅法；6）常见的⼏何数论解题⽅法。

具体跟⼤家分享⼀下，我设计的关于新冠疫情预测的任务。

⾸先，我们从美国疾病预防控制中⼼（Center for Disease Control and Prevention，CDC）的官⽹下载了2020年1⽉以来CDC报告的全美每⽇感染⼈数的报告，并通过列表法将2020年3⽉16⽇⾄31⽇的数据提取了出来。

为什么选择这个时间段的数据？因为当时正在新冠爆发期，还没有受到政策等其他因素的⼲预，所以数据⽐较平稳也容易进⾏拟合。

（纵轴代表⽇新增⼈数）
之后我再开始布置课题，让学⽣预测美国4⽉1⽇的新冠感染⼈数，此课题包括了5个⼩任务，⽐如，学⽣必做任务，⽤分段⼀次函数法给出函数的解析式，并绘制图像，最后给出预测得到的4⽉1⽇新冠肺炎的感染⼈数；学⽣选做任务，给出⼀个你认为合理的函数解析式，并仿照之前⽅法的说理过程，给出理由……
但是因为学⽣各⽅⾯能⼒都受限，很难直接执⾏任务，所以⽼师还需要为学⽣提供⼀个任务解决案例作为参考。

刚好当时我看到了北京市2020年的中考题“垃圾分类预测”，所以直接⽤题⽬中的数据给学⽣进⾏了⽰范，⽐如跟⼤家分享怎样在这个案例中，使⽤分段函数差值、拉格朗⽇差值公式、最⼩⼆乘法等⽅法进⾏解题和建模预测。

另外，除了这些可以选择的课题，学⽣在学习过程中也会提出⼀些课堂中不⽅便讲解的问题，我们就会直接留成作业。

举两个例⼦：
1）当时刚好学了⼀元⼆次⽅程和⼗字相乘，有个同学就问三次⽅程要怎么解？我就让学⽣⾃⼰搜索，然后在⼩学段期间要跟同学们讲明⽩关于三次⽅程求解的核⼼，经过这样的过程这个学⽣就会三次⽅程和⼀次⽅程的基础内容。

2）我们正在学数论、同⼀⽅程的时候，有同学问⾝份证号的编码是怎么来的？我也是让学⽣⾃⼰去搜索了解，然后让他⽤⼀⼩段时间跟⼤家进⾏分享。

04
直升初⼆下：
⼀些数学课题的选题课题论⽂撰写
在⼗⼀学校，直升初⼆的下学期就相当于初中结业，因为学⽣已经在之前练习了⼀年半时间，所以他们现在已经具备极强的问题探索能⼒了。

这时除了最后的考试，我们还会设置⼀些数学选题来让学⽣撰写课题论⽂。

当时⼏个⽼师⼀起讨论了6个题⽬，提供给不同⽔平、不同偏好的学⽣进⾏选择，要求⼤家⽤1个⽉时间完成研究和撰写，这6个题⽬分别为：
1）⼀元⼆次⽅程根的分布问题的研究。

⼀元⼆次⽅程根的分布问题，可能到了⾼中阶段才会讲，但是我们依靠初中积累的知识就已经⾜够对它进⾏分析了。

2）新类型函数的性质研究。

学⽣已经在初中阶段学过⼀次函数、⼆次函数和反⽐例函数，就意味着他们可以进⾏⼀些新类型函数性质的研究了，所以我们要求学⽣仿照课本对⼀次函数、⼆次函数以及反⽐例函数的讨论过程，⾃⼰找到感兴趣的函数进⾏研究。

3）尺规作图不能问题的研究。

之前学⽣已经学习了平⾯⼏何，也⽤⼏何画板做了很久的作图任务，所以我们决定让学⽣去进⾏⼀些尺规作图不能问题的研究。

4）将军饮马问题的更多可能。

将军饮马是初中数学课本上的标准题型，我们想让学⽣⾃⼰去探索将军饮马的更多可能，⽐如河的形状是弯的或者是椭圆形的，⼜或者有多条河、河流转了好⼏个弯等等。

5）⽆处不在的测量。

学⽣在中学阶段已经学习了相似三⾓形，所以也可以让学⽣去寻找和探索我们平时⽆法直接⽤尺⼦测量的问题。

6）初中平⾯⼏何知识总结。

为了保证全员都可以参加这个项⽬，我们也要给⼀些基础较弱的学⽣保留发挥空间，在这个课题中，学⽣只需要总结⼀下两年来学过的平⾯⼏何知识就可以了。

但是，在这个任务环节中，⽼师不会再为学⽣提供像之前那样特别详细的内容和资料，以尺规作图问题研究为例，我们只给了⼀个尺规作图的背景描述，然后就要求通过查阅资料，总结和归纳常见的不能⽤尺规作图完成的图形（问题），并将其与代数⽅程进⾏关联，从⽽推导和证明出为什么这些类问题不能⽤尺规作图解决，最终撰写研究论⽂。

论⽂模板
时间安排
结语
⾸先在初⼀上、初⼀下的时候让学⽣学会解决具体任务，然后在初⼆上的时候引导学⽣解决综合性的问题，同时为⼤家设计⼀些参考和指引性的⼦任务，最后在初⼆下的时候让学⽣开始探索更加开放的综合性问题……初中两年我们都在进⾏这样的⾯向单元整体的任务式学习，其中需要重点提到的是，这整体是⼀个系统性设计和实施过程，需要组织的有利⽀持和保障，单靠我们个⼈或者⼀个团队是没有办法完成的。

那么，我为什么想做⼤单元作业呢？在最初⾯试的⼏所中学中，⼗⼀学校是唯⼀愿意听我聊理想的中学，当时我跟校长说，给我20年的时间我会让计算机数学发展成为中学的⼀个学科，这是我的理想和承诺，我⼀直没有忘记也⼀直在实践和探索。

“⽤教育的⽅式改变世界”，这是我们⼗⼀学校常提起的⼀句话，也在最后送给⼤家。