雨花台区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

雨花台区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 记
,那么
A
B C D
2． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3． 设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
4． 若方程C ：x 2+=1（a 是常数）则下列结论正确的是（
）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
5． 在ABC ∆中，若60A ∠=
，45B ∠=
，BC =，则AC =（ ）
A ．
B ．
C.
D
6． =（
）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
7． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 若a ＜b ＜0，则（ ）A ．0＜＜1B ．ab ＜b 2C ．＞
D ．＜9． 已知函数f （x ）=，则
的值为（
）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．3
10．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
　11．设集合（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高
杂质低旧设备37121新设备
22
202
根据以上数据，则（
）
A ．含杂质的高低与设备改造有关
B ．含杂质的高低与设备改造无关
C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
二、填空题
13．设平面向量，满足且，则
，的最大
()1,2,3,i a i =
1i a = 120a a ⋅= 12a a += 123a a a ++
值为
.
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
15．函数f（x）=（x＞3）的最小值为 ．
16．不等式的解集为R，则实数m的范围是
．
17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，AA1=2cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于 cm ．
18．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，()()323
1312
f x x k x kx =-+++其中.
k R ∈（1）当时，求函数在上的值域；
3k =()f x []0,5（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
()f x []1,2k 20．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱DD 1、C 1D 1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；（Ⅱ）证明：B 1F ∥平面A 1BE ；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A 1﹣B 1BE 的体积．
21．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
0.005
0.02a
频率组距
千克
（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值，并估计每天销售量的中位数；
a （Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
22．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点（，）在椭圆E
上．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点P （2，1）的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程．　
23．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．
（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角：（Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；
（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
24．（本小题满分12分）已知函数.
2
()x
f x e ax bx =--（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；0,0a b >=()f x (0,)+∞（2）证明：当，时，.
1b a ==1[,1]2
x ∈()1f x <
雨花台区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】【解析1】,
所以
【解析2】，
2．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
3．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
4．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
5．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
6．【答案】B
【解析】解：===i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．　
7．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
8．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴0＜＜1，正确；
ab＜b2，错误；
＜＜0，错误；
0＜＜1＜，错误；
故选：A．
9．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
11．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，集合B中的解集为x＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
12．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高
杂质低合计旧设备37121158新设备22202224合计59
323
382
由公式κ2=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
二、填空题
13．.
1+
【解析】∵，∴，22
212112221012a a a a a a +=+⋅+=++= 12a a +=
而，222123121233123()2()21cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅<+>+≤+
∴，当且仅当与.
1231a a a ++≤+ 12a a + 3a
1+14．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的x 倍数的数，所以所有输出值的和.54171311751=+++++15．【答案】　12　．
【解析】解：因为x ＞3，所以f （x ）＞0
由题意知：
=﹣
令t=∈（0，），h （t ）=
=t ﹣3t 2
因为 h （t ）=t ﹣3t 2 的对称轴x=，开口朝上知函数h （t ）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；故h （t ）∈（0，
]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
16．【答案】 ．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
17．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB1D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
18．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t ﹣0.1≥解得t ≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．　
三、解答题
19．【答案】（1）;（2）.[]1,212k ≥【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再()'f x =()()31x x k --分和两种情况进行讨论；1k ≤1k >试题解析：（1）解： 时，3k =()3
2
691
f x x x x =-++ 则()()()2
3129313f x x x x x =-+=--'
令得列表
()0f x '=121,3x x ==x 0
()
0,11
()
1,33()
3,53
()f x '+
0 -0
+()
f x 1
单调递增5
单调递减
1
单调递增
21
由上表知函数的值域为()f x []
1,21
（2）方法一：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递增1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即（舍） 5
3
k =
②当时，，函数在区间单调递减
2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减
[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增
(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k
所以()()()322min 3
13132
f x f k k k k k ==-+++=化简得：32340k k -+=即()()2
120
k k +-=所以或（舍）
1k =-2k =注：也可令()3
2
34
g k k k =-+则()()2
3632g k k k k k =='--对()()1,2,0
k g k ∀∈'≤在单调递减
()3234g k k k =-+()1,2k ∈所以不符合题意
()02g k <<综上所述：实数取值范围为k 2
k ≥方法二：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递减2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分
②当时，，函数在区间单调递增
1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以不符合题意()()min 23f x f <=
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增
(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以不符合题意()()()min 23f x f k f =<=综上所述：实数取值范围为k 2k ≥20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ．
又∵A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1=B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1，∵A 1B ⊂平面A 1BE ，
∴平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；
（Ⅱ）证明：连接EF ，EF ∥，且EF=，
设AB 1∩A 1B=O ，则B 1O ∥C 1D ，且，
∴EF ∥B 1O ，且EF=B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形．∴B 1F ∥OE ．
又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE ，
（Ⅲ）解：
=
=
=
=．
21．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数．（Ⅰ）由得 （3分）
(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=0.035a = 每天销售量的中位数为千克 （6分）0.15
701074.30.35
+
⨯=（Ⅱ）若当天的销售量为，则超市获利元；
[50,60)554202180⨯-⨯= 若当天的销售量为，则超市获利元；[60,70)654102240⨯-⨯= 若当天的销售量为，则超市获利元， （10分）[70,100)754300⨯=∴获利的平均值为元. （12分）0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=22．【答案】
【解析】解：（1）由题得=，
=1，又a 2=b 2+c 2，
解得a 2=8，b 2=4．∴椭圆方程为：
．
（2）设直线的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∴，=1，
两式相减得=0，
∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，=k，
代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，
∴直线l：x+y﹣3=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，∵PD=AD ，F 是PA 的中点，∴DF ⊥PA ，∴∠PDF=45°，
∵平面PAD ⊥平面PAE ，平面PAD ∩平面PAE=PA ，DF ⊂平面PAD ，∴DF ⊥平面PAE ，∴DF ⊥PE ，
∵PD ⊥CD ，且正方形ABCD 中，AD ⊥CD ，PD ∩AD=D ，∴CD ⊥平面PAD ．又DF ⊂平面PAD ，∴DF ⊥CD ，
∵PD=2EC ，EC ∥PD ，∴PE 与CD 相交，∴DF ⊥平面PDCE ，∴DF ⊥PD ，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD 与平面PAE 不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．　
24．【答案】（1）当时，有个公共点，当时，有个公共点，当时，有个公共
2(0,)4e a ∈24e a =2
(,)4
e a ∈+∞点；（2）证明见解析.【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得,构造函数,利用求出
2x e a x =2()x
e h x x
=()'h x 单调性可知在的最小值,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数
()h x (0,)+∞2
(2)4
e h =,利用导数可判断的单调性和极值情况,可证明.1
2()1x h x e x x =---()h x ()1f x <试题解析：
当时，有0个公共点；
2
(0,4e a ∈当，有1个公共点；
2
4e a =当有2个公共点.
2
(,)4
e a ∈+∞（2）证明：设，则，
2()1x h x e x x =---'()21x
h x e x =--令，则，
'
()()21x
m x h x e x ==--'
()2x
m x e =-因为，所以，当时，；在上是减函数，
1(,1]2x ∈1[,ln 2)2
x ∈'()0m x <()m x 1[,ln 2)2
当时，，在上是增函数，
(ln 2,1)x ∈'
()0m x >()m x (ln 2,1)
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。