2019新版考研高数模拟考试试题(含解析)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________ 考号：__________
一、解答题
1．判定下列曲线的凹凸性：
(1) y =4x －x 2；
解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.
(2) sin(h )y x =；
解：cosh ,sinh .y x y x '''==
由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，
故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.
1(3) (0)y x x x
=+> ； 解：23
121,0y y x x '''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x .
解：2
arctan 1x y x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.
2．设函数2,1,(),
1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？ 解：因211
lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11
lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=
又211()(1)1(1)lim lim 2,11
x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11
x x ax b ax a f a x x +
++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，
即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.
3．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0
lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x
---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x
+++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,
0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x
→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,
故函数在0x =处可导.
(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩
解：因为
1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x +
+--
→→→→=-=== 11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-
→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 11
1x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111
x x f x f x f x x +++→→---'===--- (1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.
4．试求过点(3，8)且与曲线2y x =相切的直线方程.
解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得282(3)y x x y x -=-⎧⎨
=⎩ 为(2，4)，(4，16)即为切点.。