2021-2022学年福建省漳州市东山县第一中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年福建省漳州市东山县第一中学高三数学
文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，，，则角C=（）
A． B．C．或D．
参考答案：
D
在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.
2. 已知复数z满足，为z的共轭复数，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
由题意得：
∴，，
故选：A
3. 设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或1 B．0或1 C．﹣2或﹣1 D．0或﹣2
参考答案：
A
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值．
【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，A∩B={﹣1，2}，
∴或，
解得a=﹣2或a=1．
故选：A．
4. 函数的最小正周期为（）
A．B．C．πD．2π
参考答案：
C
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin （2x+），利用三角函数的周期公式即可求值得解．
【解答】解：∵=2sin（2x+），
∴最小正周期T==π．
故选：C．
5. 下列函数在(0,2)上是增函数的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
6. 已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的表面积为
A. B. C.
D.
参考答案：
D
7.
若集合（）
A．[—1，
0] B． C． D．
参考答案：
答案：B
8. “”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：
B
略
9. 下列有关命题说法正确的是（）
A．命题p：“?x∈R，sinx+cosx=”，则?p是真命题
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0“的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”
D．“a＞l”是“y=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】阅读型．
【分析】A、判断出命题p的真假，即可得到￢p的真假；
B、若P Q，则P是Q的充分不必要条件；
C、特称命题的否定是全称命题；
D、若，则p是q的充要条件．
【解答】解：A、由于sinx+cosx=sin（x+），当x=时，sinx+cosx=，
则命题p：“?x∈R，sinx+cosx=”为真命题，则￢p是假命题；
B、由于x2﹣5x﹣6=0的解为：x=﹣1或x=6，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；
C、由于命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”则命题的否定是：“?x∈R，x2+x+1≥0”；
D、若y=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则必有a＞l，反之也成立
故“a＞l”是“y=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件
故答案为D．
【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论
10. 若x为实数，则“”是“”成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的正弦值为，则这个正四棱柱的表面积为
参考答案：
10
12. (1) （不等式选做题）如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围为____________.
(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标
___________.(规定：)
参考答案：
(1) (2)
略
13. 已知，，，则向量与向量的夹角为
_______________．
参考答案：
14. 某工厂生产三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为，
现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，
那么此样本容量．
参考答案：
15. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围
是．
参考答案：
16. 已知三个数，，，则从小到大的顺序为___________．
参考答案：
略
17. 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
参考答案：
3
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13 )设
(I)求函数的最小正周期和单调区间，
(II)若锐角△ABC中，，求角C及边c.
参考答案：
19. （本小题满分12分）近年来,我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与
健康．其形成与有关. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称
为可入肺颗粒物. 日均值越小，空气质量越好.为加强生态文明建设，我国国家环保
部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见下表：
日均值k(微克)
某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的日均值作为样本，样本数据茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）求甲、乙两市日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；
（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．
参考答案：
（Ⅰ）．因为，所以甲市的空气质量较好. … 4分
（Ⅱ）. 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为.---------12分
20. 已知函数.
（1）若在上单调递减，求k的取值范围；
（2）若，求证：.
参考答案：
（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）令f′（x）≤0在R上恒成立，令，研究单调性求得g（x）的最小值，令其小于等于0，即可得出k的范围；
（2）由（1）知当时，在R上单调递减，可得x>0时，则，，从而，化简后令，构造新函数可证得结论.
【详解】（1）因在上单调递减，所以恒成立.
令，则
因，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（2）由（1）知当时，在R上单调递减，当x>0时，则，即，又时，，则，
即，
从而，
即，也即
令，则，
即时，.
【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查了利用函数单调性解决不等式的证明问题，运用了构造函数的技巧，属于较难题．
21. （12分）
如图，矩形ABCD，平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE是的点，且平面ACE。

（1）求证：平面BCE；
（2）求二面角B—AC—E的大小。

参考答案：
解析：（1）证明：平面ABE，AD//BC。

平面ABE，则…………2分又平面ACE，则
平面BCE。

…………5分
（2）方法一：取AB的中点H，CD的中点N，则HN//AD 平面ABE，平面ABE，
以HE所在直线为轴，HB所在直线为轴，
HN所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，
平面BAC的一个法向量…………8分设平面EAC的一个法向量，
由
所以
令…………10分
二面角B—AC—E的大小为60°…………12分方法二：过Ｅ作
平面ABE，DA平面ABCD，
平面ABCD平面ABE，
平面ABCD。

平面EHM。

是
二面角B—AC—E的平面角。

…………8分
在
∽
又
故二面角B—AC—E的大小为60°…………12分
22. 四棱锥P－ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°（1）证明：∠PBC＝90°；
（2）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
参考答案：
略。