浅谈巧用数学思想方法解选择题

浅谈巧用数学思想方法解选择题
概要：仅仅有思路、方法还是不够的，“解题思路、方法”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要想解具体的题目，还得运用科学、合理的方法，具体分析研究加以解决。

选择题的解决思想是：先定性后定量、先特殊后推理、先间接后直接、先排除后求解，其常用方法有直接法和间接法两种。

但高考题题量较大，如果所有的题都采用直接法不但时间不允许，而且有些题目根本无法解决，这是不明智之举。

近年高考选择题减少了偏题、怪题，适当增加了技巧性强且运算量大的题型，着力考查学生的逻辑思维与数学思想方法，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，突出了对学生数学素养的考查。

试题以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解，也可用“特殊”方法求解。

要想确保在有限的时间内，对10个选择题作出有效的抉择，解题方法的研究就显得十分必要的。

当然有关选择题解题方法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。

其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法，供读者参考：
一、直接法
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。

这类题型可直接从题设的条件出发，运用已知条件、有关概念、性质、公理、定理、法则及相关公式等知识，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论。

涉及概念、性质的辨析题或运算较简单的题目常用此法。

【例1】、（2013年全国卷）的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）
A、B、C、D、
解析：，，。

由正弦定理，得。

答案选（）
点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法。

直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。

平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点。

用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的。

否则一味求快则会块中出错。

二、特殊值法
从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断。

特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才能使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等。

【例2】、（2008年山东卷）设集合A和B都是自然数集N，映射f：A，B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）
A、2
B、3
C、4
D、5
解析：由题意知对于A中n，应使2n+n=20，n可能取的值为2、3、4、5，故代入验证即可。

答案选（C）。

点评：特殊法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解。

三、数形结合法
数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的理解和认识，建立抽象概念与具体形象的联系，转化为对用数学语言表达的数量关系的认识，实现由抽象到具体的转化. 在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略。

【例3】、（2012年湖北卷）设函数其中表示不大于的最大整数，如，等。

若直线与函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A、B、C、D、
解析：恒过定点，
在同一直角坐标系中作出函数的
图像和直线，如图所示，因
为两个函数图像恰好有三个不同的交点，
所以，故选（B）。

点评：涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合求解：（1）求解方程根的个数。

画出相关的两个函数的图像，则两函数图像的交点个数即是函数零点的个数；（2）讨论图像交点问题得参数范围，如本例就是利用图像中直线与函数图像恰有三个不同的交点，得到实数的取值范围。

四、概念辨析法
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法。

这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心。

【例4】、若对于定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“ 伴随函数”。

下列是关于“ 伴随函数”的结论：①不是常数函数中唯一一个“ 伴随函数”；②不是“ 伴随函数”；③不是“ 伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点。

其中正确的结论个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
解析：由题意得，①正确，如，取，则，即是一个“ 伴随函数”；②不正确，若是一个“ 伴随函数”，则，求得且，矛盾；③不正确，若是一个“ 伴随函数”，则，求得且，矛盾；④正确，若是“ 伴随函数”，则，取，则，若任意一个为0，则函数有零点；若均不为0，则异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点，所以有两个结论正确。

故选（B）。

点评：函数的创新命题是新高考的一大亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本例中的“ 伴随函数”，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题。

解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决。