江西高三高中数学月考试卷带答案解析

江西高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的，则输出（）
A．6B．7C．8D．9
3.设集合，则等于（）
A．B．C．D．
4.函数的图像的一个对称中心为（）
A．B．C．D．
5.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．3
6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
A．1 193B．1 359C．2 718D．3 413
附：若，则．．
7.已知实数满足，则的最大值是（）
A．B．C．D．
8.在中，内角所对的边分别为，若则（）
A．成等差数列B．成等比数列
C．成等差数列D．成等比数列
9.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（）
A．B．
C．D．
10.已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
11.已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为( ) A．B．C．D．
二、解答题
1.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）
A．1B．C．D．
2.已知正方形的边长为，、、、分别是边、、、的中点．
（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
（2）从、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量的分布列与数学期望．
3.如图，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交AB于D点，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。

4.已知顶点为原点O，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点F，若直线BC的方程为。

（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线，又且交抛物线于另一点N，ME(E在M的右侧)平行于轴，若，求的值。

5.已知函数，满足，且，为自然对数的底数.
（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；
（Ⅱ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围.
6.如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
7.已知直线为参数), 曲线（为参数）.
（1）设与相交于两点,求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
8.已知函数
（1）解不等式：
（2）若，求证：
三、填空题
1.设，则的展开式中各项系数和为_________.
2.正中，在方向上的投影为，且,则________.
3.已知是球球面上的四点，是正三角形，三棱锥的体积为，且
，则球的表面积为______________.
4.下列说法中所有正确的序号是________
①、为真的一个必要不充分条件是为真;
②、若则
③、若实数满足则
④、数列的最大项为
江西高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，在第一象限，故选A.
【考点】复数运算.
2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的，则输出（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】若，则第一次运行后，不满足，继续循环，则不满足，继续循环，不满足，继续循环，则不满足，继续循环，则不满足，继续
循环，则不满足，继续循环，则满足，退出循环，此时.
【考点】循环结构.
3.设集合，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以，所以
，故选B.
【考点】集合的交集补集运算.
4.函数的图像的一个对称中心为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，令，所以函数的图像的一个对
称中心为.
【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的性质.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的二倍角公式；然后再研究函数(其中)的
单调性、对称轴、对称中心仍然是将看着整体并与基本余弦函数加以对照类比，进而得出结果.
5.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）
A．B．4C．D．3
【答案】B
【解析】如图，红色虚线表示截面，
可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，
.
【考点】空间几何体的三视图.
6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点
的个数的估计值为（）
A．1 193B．1 359C．2 718D．3 413
附：若，则．．
【答案】B
【解析】正态分布的图象如下图：
正态分布则在的概率如上图阴影部分，其概率为
；即阴影部分的面积为；所以点落入图中阴影部分的概率为；投入个点，落入阴影部分的个数期望为
．故选B．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
7.已知实数满足，则的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据约束条件可作出如下可行域，
将目标函数，转化为，在可行域中画出抛物线的大致图像，可知经过点时，取到最大值，
此时，故选D.
【考点】1.简单的线性规划；2.抛物线的性质.
8.在中，内角所对的边分别为，若则（）
A．成等差数列B．成等比数列
C．成等差数列D．成等比数列
【答案】B
【解析】，，
，由正弦定理可知，所以成等比数列，故选B.
【考点】1.三角恒等变换；2.等比中项.
9.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，取到的3道题中有选择题的种数共有种，其中既有选择又有解答题的种数共有
种，根据条件概率可知，在取到选择题时解答题也取到的概率为
，故选C.
【考点】1.排列组合公式；2.条件概率.
10.已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵双曲线的虚轴两端点为，两焦点为．∴，可得直线的方程为，即．∵双曲线的两顶点为，以为直径的圆内切于菱形，∴点
到直线的距离等于半径，即，化简得，∵，∴上式化简为
，整理得．两边都除以，得，解之得，∵双曲线的离心率，∴，可得，故答案为C.
【考点】双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题给出以双曲线焦距与虚轴为对角线的菱形，在以实轴为直径的圆内切于该菱形的情况下求双曲线的离心率；着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识；根据题意，可得直线的方程为．由以为直径的圆与直线相切，可得点到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式建立关于的等式，化简整理得到关于离心率的方程，解之即可得到该双曲线的离心率的值．
11.已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，当时，恒成立，所以在上为增函数；当时，，由，得，当时，，为增函数，当时，为减函数，所以函数在上有一个最大值为，要使方程，即有四个实数根，令，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令
，因为，则只需，即，解得：；所以，使得函数，方程有四个实数根的的取值范围是；故选A．
【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.根的存在性及根的个数判断．
【思路点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况；由于函数化成分段函数，通过求导分析得到函数在上为增函数，在
上为增函数，在上为减函数，求得函数在上，当时有一个最大值，所以，要使方程
有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解的取值范围．
二、解答题
1.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】数列是等比数列，数列是等差数列，，且
,
【考点】1. 等比数列;2.等差数列;3.诱导公式.
2.已知正方形的边长为，、、、分别是边、、、的中点．
（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
（2）从、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足的正方形内部的点的集合”的面积即可得出；（2）从这八个点中，随机选取两个点，共可得到线
段．这些线段的长度的所有可能取值分别为，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．
试题解析：解：（1）这是一个几何概型，点构成的区域是正方形的内部，．满足的点构成的平面区域是以为圆心，1为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，．所以
的概率为．
（2）从、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段，其中长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为
的线段有条．
所以所有可能的取值为，，，，，
且，，
，，．
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为
【考点】1.离散型随机变量及其分布列；2.几何概型；3.离散型随机变量的期望与方差．
3.如图，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交AB于D点，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）连结，设与相交于点，连接，则为中点，由线面平行的性质定理，可知，又为的中点，根据正三角形的性质即可求证出结果；（2）由线面垂直的判定定理可证，然后再设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面
所成角的正弦值．
试题解析：（I)证：连结，设与相交于点，连接，
则为中点，
∵平面，
∴，
∴为的中点，
又∵，∴
(Ⅱ)
又∥，
又
设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的
直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，.
∴
平面的一个法向量
所以直线与平面所成角的正弦值为
【考点】1.线面平行线的性质定理；2.线面垂直的判定定理；3.线面所成的角.
4.已知顶点为原点O，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点F，若直线BC的方程为。

（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线，又且交抛物线于另一点N，ME(E在M的右侧)平行于轴，若，求的值。

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先设抛物线方程为，然后表示出焦点坐标，抛物线和直线方程联立可消去得到
，进而可得到的横坐标之和与纵坐标之和，再由点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程，最后将的坐标代入重心坐标公式可求得的值，从而确定抛物线方程；
（2）设，由，两边对求导，求得切线的斜率，再由两直线的到角公式可得
，即可得到所求值．
试题解析：解：（1）设抛物线的方程为，则其焦点为，，
联立，
∴，
，
又的重心为焦点F
代入抛物线中，解得
故抛物线方程为
（2）设，即切线，
即，
又，
∵，
即
【考点】抛物线的简单性质．
5.已知函数，满足，且，为自然对数的底数.
（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；
（Ⅱ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线
上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）先求出函数的导数，再求出的值，从而求出函数的切线方程；（Ⅱ）设为在时的图象上的任意一点，所以．讨论时，时的情况，综合求出的取值范围．
试题解析：解：（Ⅰ），，，。

在处的切线方程为：，即
（Ⅱ），，，从而，
设为在时的图象上的任意一点，则，的中点在轴上，的坐标为，，，所以，，.由于
，所以
当时，恒成立，；
当时，，令，则
，，，从而在上为增函数，由于时，
，，
【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．
6.如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）欲证，连接，因为为的中点及为的中点，可得，因为为圆的直径，所以，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（2）欲证
，转化为，再转化成比例式．最后只须证明即
可．
试题解析：（Ⅰ）连接，因为为的中点，
为的中点，所以三点共线．
因为为的中点且为的中点，
所以，故
（Ⅱ）因为为的中点，所以，
又．
又因为．
．
【考点】与圆有关的比例线段．
7.已知直线为参数), 曲线（为参数）.
（1）设与相交于两点,求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上
的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将直线中的与代入到直线中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线任意点的坐标，利用点到直线的距离公式到直线的距离，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离的最小值即可．
试题解析：解：（1）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得
与的交点为,,则
（2）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
,由此当时,取得最小值,且最小值为
【考点】1.圆的参数方程；2.函数的图象与图象变化；3.直线与圆相交的性质；4.直线的参数方程．
8.已知函数
（1）解不等式：
（2）若，求证：
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】（1）由题意，得，因此只须解不等式，然后再分，和进行讨论即可求出结果；（2）由题意得即可
证明结果.
试题解析：解：（1）由题意，得，
因此只须解不等式
当时，原不式等价于，即；
当时，原不式等价于，即；
当时，原不式等价于，即
综上,原不等式的解集为
（2）由题意得
=
所以成立
【考点】绝对值函数.
三、填空题
1.设，则的展开式中各项系数和为_________.
【答案】3
【解析】因为，则，令，则
的展开式中各项系数和为.
【考点】二项式系数的性质.
2.正中，在方向上的投影为，且,则________.
【答案】
【解析】因为在方向上的投影为，所以，所以
.
【考点】1.平面向量的数量积；2.投影的概念.
3.已知是球球面上的四点，是正三角形，三棱锥的体积为，且
，则球的表面积为______________.
【答案】
【解析】如图，
是球球面上四点，是正三角形，设的中心为，球的半径为，的边长为，∵
，，∴，∴，解得
，∵三棱锥的体积为，∴，解得，∴球的表面积．故答案为：．
【考点】球的体积和表面积．
【思路点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时确定球O的半径是关键．设的中心为，球的半径为，的边长为，由已知条件推导出，再由三棱锥的体积为，求出，由此能求出球的表面积．
4.下列说法中所有正确的序号是________
①、为真的一个必要不充分条件是为真;
②、若则
③、若实数满足则
④、数列的最大项为
【答案】①③④
【解析】若为真，则必为真；反之不成立，故为真的一个必要不充分条件是为真；故①正确；若则故②错误；③若实数满足，则，则，又，所以时，，当时，，故③正确；数列，令
，所以数列单调递增，所以数列单调递减，所以当时，数列数列取最大项，最大项为
【考点】1.命题真假的判断；2.充分必要条件的判断.
【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说是的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说是
的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说是的既不充分也不必要条件.。