2016年初中数学组卷

2016年初中数学组卷
初中数学组卷
⼀．选择题（共5⼩题）
1．（2015?⼴安）⼀个等腰三⾓形的两条边长分别是⽅程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三⾓形的周长是（）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
2．（2015?河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂⾜为E，∠BOD=48°，则∠BAC的⼤⼩是（）
A．60°B．48°C．30°D．24°
3．（2015?贵港）如图，已知P是⊙O外⼀点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为
2，OP=4，则线段OM的最⼩值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2015?河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三⾓形中，外⼼不是点O的是（）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
5．（2016?黔东南州⼀模）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所⽰，若y＜0，则x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
⼆．填空题（共1⼩题）
6．（2015?乌鲁⽊齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下
列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）
三．解答题（共2⼩题）
7．（2016?岳池县模拟）如图所⽰，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另⼀交点，点D为y轴上⼀点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第⼆问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三⾓形与△DOC 相似，请你直接写出所有满⾜条件的点P的坐标．
8．（2015?濠江区⼀模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的⾼OD，延长OD与抛物线在第⼀象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上⽅的抛物线上，是否存在⼀点P，使四边形OBEP是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最⼩？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学组卷
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共5⼩题）
1．（2015?⼴安）⼀个等腰三⾓形的两条边长分别是⽅程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三⾓形的周长是（）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【解答】解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三⾓形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三⾓形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三⾓形的三边是2，5，5，此时符合三⾓形三边关系定理，三⾓形的周长是2+5+5=12；即等腰三⾓形的周长是12．故选：A．
2．（2015?河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂⾜为E，∠BOD=48°，则∠BAC的⼤⼩是（）
A．60°B．48°C．30°D．24°
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴=，
∴∠BAC=∠BOD=×48°=24°．
故选D．
3．（2015?贵港）如图，已知P是⊙O外⼀点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最⼩值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=OQ=×2=1，
∴点M在以N为圆⼼，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最⼩，最⼩值为1，
∴线段OM的最⼩值为1．
故选B．
4．（2015?河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三⾓形中，外⼼不是点O的是（）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【解答】解：如图所⽰：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外⼼不是点O的是△ACF．故选：B．
5．（2016?黔东南州⼀模）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所⽰，若y＜0，则x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另⼀交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下⽅，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下⽅，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选B．
⼆．填空题（共1⼩题）
6．（2015?乌鲁⽊齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下
列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是①③⑤．（填写正确结论的序号）
【解答】解：由抛物线的开⼝向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，
a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），
∴抛物线与x轴的另⼀个交点坐标为（，0），
当x=﹣时，y=0，即，
整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴，
即3b+2c＜0，故④错误；
∵x=﹣1时，函数值最⼤，
∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1），
∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；
故答案为：①③⑤．
三．解答题（共2⼩题）
7．（2016?岳池县模拟）如图所⽰，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另⼀交点，点D为y轴上⼀点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第⼆问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三⾓形与△DOC 相似，请你直接写出所有满⾜条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，
解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
⼜∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴=，
即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴=，
即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满⾜条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
8．（2015?濠江区⼀模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的⾼OD，延长OD与抛物线在第⼀象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上⽅的抛物线上，是否存在⼀点P，使四边形OBEP是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最⼩？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OA=2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵OC=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵把（﹣2，0），（0，3）代⼊y=﹣x2+bx+c，得解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）把y=0代⼊y=﹣x2+x+3，
解得x1=﹣2，x2=3
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB=OC=3
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直线为y=x
解⽅程组得，，
∵点E在第⼀象限内，
∴点E的坐标为（2，2）．
（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平⾏线与抛物线交于另⼀点P，连接BE、PO，把y=2代⼊y=﹣x2+x+3，解得x1=﹣1，x2=2
∴点P的坐标为（﹣1，2），
∵PE∥OB，且PE=OB=3，
∴四边形OBEP是平⾏四边形，
∴在x轴上⽅的抛物线上，存在⼀点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平⾏四边形；
②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的⼀点，连接QA、QB、QE、BE，
∵QA=QB，
∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，
⼜∵BE的长是定值
∴A、Q、E在同⼀直线上时，△BEQ的周长最⼩，
由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y=x+1，
∵抛物线的对称轴是x=
∴点Q的坐标为（，）
∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最⼩．。