2019-2020学年湖北省宜昌市麻池中学高三数学理期末试题含解析

2019-2020学年湖北省宜昌市麻池中学高三数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
参考答案：
B
略
2. 知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
A. B. C. D.
或
参考答案：
B
3. 某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为
A. B. C.
D.
参考答案：
A
4. 已知，则下列关系中正确的是
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
参考答案：
A
略
5. 首项为1，公比为2的等比数列的前10项和
A．1022 B．1023 C．1024 D．1025
参考答案：
B
6. 设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为
A. B. C. D．
参考答案：
A
略
7. 下列命题中的假命题是（）
A．?x∈R，2x﹣1＞0 B．?x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx=2
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．
解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）
∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；
∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号
∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；
∵当x=1时，lgx=0＜1
∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；
∵正切函数y=tanx的值域为R
∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确
综上所述，只有B项是假命题
故选：B
【点评】本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．
8. 在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）
A．11 B．10 C．9 D．8
参考答案：
A
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4，求得a m=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．
【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，
∴m=11，
故选：A．
9. 已知集合，，则M∩N=（）
A. (－2,+∞)
B. [1,3)
C. (－2,－1]
D. (－2,3)
参考答案：
B
【分析】
解出集合，再利用集合的交集运算律得出.
【详解】，因此，，故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是交集运算律的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
10. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（）
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C.先把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平移
个单位长度
D. 先把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向右平移
个单位长度
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知分别是椭圆（）的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是▲ . 参考答案：
答案：
12. 已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．
参考答案：
240
【考点】7C：简单线性规划；DC：二项式定理的应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．
【解答】解：由约束条件x，y满足，作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．
则=．
由T r+1=（﹣2）r?．
令6﹣=0得r=4．
∴则展开式的常数项为=240．
故答案为：240．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．
13. 在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，则使点P到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
参考答案：
略
14. 已知集合，集合，则.
参考答案：
{3,4}
，
15. 若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程一定没有实数根；
②若a>0，则不等式对一切实数x都成立；
③若a<0，则必存存在实数x0，使；
④若，则不等式对一切实数都成立；
⑤函数的图像与直线也一定没有交点。

其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）.
参考答案：
①②④⑤
略
16. 已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是．
参考答案：
1≤a≤2
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时 y=3，根据对称性可知当x=2时 y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+3是开口向上的抛物线，对称轴 x=1
当 x=1时函数取得最小值 f（1）=1﹣2+3=2
∵y=x2﹣2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1
当x=0时 y=3 函数y=x2﹣2x+3在（1，+∞）上是增函数，
当x=2时 y=4﹣4+3=3，当x＞2时 y＞3
∵函数y=x2﹣2x+3在[0，a]上最大值为3
∴a≤2 综上所述1≤a≤2．
故答案为：1≤a≤2
【点评】二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．
17. 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程
是。

参考答案：
ρcosθ=2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n 项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1?S n，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=b n?log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．
参考答案：
（Ⅰ）a n=3n–1，b n=2n–1；（Ⅱ）T n=(n–2)2n+2；（Ⅲ）见解析
【知识点】数列的求和D4
解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为a n=3n–
1．………… 2分∵2b n–b1=S1?S n，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，
∵S1=b1，b1≠0，
∴b1=1．………… 3分∴当n＞1时，b n=S n–S n–1=2b n–2b n–1，∴b n=2b n–1，
∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为b n=2n–
1．............5分（Ⅱ）c n=b n?log3a n=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， (6)
分
T n=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①
2T n= 0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②
①–②得：–T n=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴T n=(n–
2)2n+2．………… 10分
（Ⅲ）===≤
++…+
＜++…+=
=(1–)＜
． (1)
4分
【思路点拨】（Ⅰ）判断a n}是等比数列，求出通项公式，判断{b n}是等比数列，求出通项
公式为b n;（Ⅱ）化简c n的表达式，利用错位相减法求解T n即可;（Ⅲ）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可．
19. 已知为平行四边形，，，，是长方形，是的中点，平面平面，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值．
参考答案：
解：（Ⅰ）做于点，连结
因为是的中点，
………7分
略
20. 已知函数.
（1）讨论f(x)在上的单调性；
（2）若，求不等式的解集.
参考答案：
（1）见解析；（2）.
【分析】
（1），分，，，四种情况讨论即可；（2）当，易得在上单调递增，而，，利用函数单调性只需解不等式即可.
【详解】（1）.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得.
（i）当时，，
令，得；令，得.
所以得单调递减区间为，单调递增区间为.
（ii）当时，，
令，得；令，得或.
所以f(x)得单调减区间为，单调递增区间为，. （iii）当时，，
令，得；令，得.
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，所以，当时，，
所以f(x)在上单调递增，
因为，，
所以，
解得，故所求不等式的解集为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性解不等式的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
21. 已知函数，.
（1）设函数，讨论H(x)的单调性；
（2）设函数，若f(x)的图象与G(x)的图象有，两个不同的交点，证明：.
参考答案：
（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）求出的表达式并求导，分类讨论的单调性；（2）由题意可得
有两个不同的根，则①，②，消去参数得
，构造函数求导研究函数单调性并利用放缩法推出，再次构造函数，通过证明来证明.
【详解】（1），定义域为，
.
当时，在上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得，所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
当时，令，得，所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
（2），
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，
所以关于的方程，即有两个不同的根.
由题知①，②，
①+②得③，
②-①得④.
由③，④得，不妨设，记. 令，则，
所以上单调递增，所以，
则，即，所以. 因为
所以，即.
令，则在上单调递增.
又，所以，
即，所以.
两边同时取对数可得，得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数研究含参函数的零点问题及单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.
22. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且经过点，
离心率为，A为直线x=4上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点B在椭圆C上，满足OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
参考答案：
【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）列出，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），，A（4，y）．通过，得到4m+ny=0．求出|AB|2的表达式，通过设t=n2，t∈（0，5]，利用函数的导数求解函数的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由解得，可得a=3，b=．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），，A（4，y）．
因为OA⊥OB，所以，即4m+ny=0．
因为点B在椭圆C上，所以，
所以|AB|2=（m﹣4）2+（n﹣y）2=m2﹣8m+16+n2﹣2ny+y2=m2﹣8m+16+n2+8m+y2，
=m2+16+n2+y2
=
=，
=
设t=n2，t∈（0，5]
设．
因为，
所以g（t）在（0，5]上单调递减．
所以当t=5，即时，．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．。