高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》专项训练解析含答案

数学《计数原理与概率统计》试卷含答案
一、选择题
1．已知()8
12x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b
a
的值（ ） A ．
126
5
B ．
128
5
C ．
125
3
D ．26
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得b
a
的值． 【详解】
由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r r
r r T C x +=，
设第1r +项的系数最大，则118811
88·2?2·
2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…
„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴128
5
b a =， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．
2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ．
1
8
B ．
35
C ．
58
D ．
78
【答案】C 【解析】 【分析】
设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】
设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200
A 表示某生等车时间不超过5分钟，
所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125，
代入几何概型概率公式，可得
P（A）
'1255
2008 S
S
===
故选C
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
4．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的
区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．
4
π
B ．
8
π C ．
5
π D ．
10
π 【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公
式即可得到结论． 【详解】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域Ω，
不等式2
2
2210x y x y +--+≤化为()()22
111x y -+-≤
它表示的区域为T ，如图所示；
则区域Ω表示ABC V ，由240
230
x y x y -+=⎧⎨
--=⎩，解得点()1
2B -，；
又()20A -，，30B （，）
，∴()1
32252
ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，
在ABC V 内的面积为2
1
12
2
π
π⨯=
；
∴所求的概率为2510
P π
π==
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
5．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2
2
67A A B ．32
47A A
C ．322
367A A A
D ．362
467A A A
【答案】D 【解析】 【分析】
采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是3
4A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】
采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是3
4A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2
7A 种．综上所述，不同的排法共有3
6
2
467A A A 种. 故选D. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．
6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】D 【解析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23
3()27C =种不
同
结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221
33218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为182273
=. 故选：D 【点睛】
不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
7．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A ．240
B ．360
C ．420
D ．960
【答案】C 【解析】 【分析】
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】
由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.
设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3， 若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；
若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C
本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.
8．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144
【答案】D 【解析】 【分析】
按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生
的情况去掉，录取方案数为22
63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为
24C 、2
2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，
③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1
2
2C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】
本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。

9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122
542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）
A ．
110
B ．
15
C ．
25
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数
11221
52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：11221
22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不
相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】
由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，
包含的基本事件个数11221
52222()20n C C C C C =+=，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：
11221
22222()8,m C C C C C =+=，
∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82
205
m p n ===． 故选：C ． 【点睛】
此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种
C ．24种
D ．36种
【答案】D 【解析】
4项工作分成3组,可得：24
C =6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：
36363
A ⨯=种． 故选D.
12
．3
6ax ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
13．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为
123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为
132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，
2s '分别为（ ）
A ．32x +，232s +
B ．3x ，23s
C ．32x +，29s
D ．32x +，292s +
【答案】C 【解析】 【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001
()100
x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：
121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100
x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001
[()()()]100
s x x x x x x =
-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：
222121001
{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001
[9()9()9()]9100
x x x x x x s =
-+-++-=L 故选C. 【点睛】
本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个
C ．100个
D ．48个
【答案】C
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
15．二项式5
1(2)x x
-的展开式中含3x 项的系数是 A ．80 B ．48 C ．−40 D ．−80
【答案】D 【解析】
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r
r r r r r
r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为14
5C 280-=-n ，故选D .
16．设2012(12)n n
n x a a x a x a x L -=++++，若340a a +=，则5a =（ ）
A ．256
B ．-128
C ．64
D ．-32
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式求得n 的值，从而求得5a 的值． 【详解】
∵()201212n
n n x a a x a x a x -=++++L ，
∵334434220n n a a C C +=⋅-+⋅-=（）（），
5n ∴=，
则55
55232a C （
），=⋅-=- 故选D ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90
C ．425
D ．512
【答案】D 【解析】
利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有0
9C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有2
9C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有9
9C 种；故总数为
012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.
故选D.
18．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ） A ．
5
18
B ．
12
C ．
59
D ．
79
【答案】D 【解析】 【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率． 【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n ===． 故选：D ． 【点睛】
本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
19．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288
C ．360
D ．216
【答案】A 【解析】 【分析】
3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教
师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121
342
C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】
解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，
故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1
3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，
然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1
2C ，
故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342
C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，
第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1
3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2
3C 种，
第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；
故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.
【点睛】
本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.
20．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
1
12
B ．
114
C ．
115
D ．
118
【答案】C 【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有2
1045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不
同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为
31
=4515
，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问
题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.。