2017-2018年河北省保定市定州中学高二(下)第一次月考数学试卷(解析版)

2017-2018学年河北省保定市定州中学高二（下）第一次月考数
学试卷
一、单选题
1．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
2．（5分）已知定义在R的函数y＝f（x）对任意的x满足f（x+1）＝﹣f（x），当﹣1≤x＜1，
f（x）＝x3，函数g（x）＝，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在[﹣6，
+∞）上有6个零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）∪（7，+∞）B．（，]∪[7，9）
C．[，）∪（7，9]D．[，1）∪（1，9]
3．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2﹣x1的最小值为（）
A．B．2C．4D．
4．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝2AE，CF＝2BF．若有λ∈（7，16），则在正方形的四条边上，使得•＝λ成立的点P有（）个．
A．2B．3C．6D．0
5．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）A．B．1C．D．
6．（5分）在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆O n，所有圆均与x轴和直线x﹣y ＝0相切，且任何相邻两圆外切；圆O n的半径为r n，其中r n＞r n+1＞0．若圆O1的半径r1＝1，则数列{r n}的前n项和S n＝（）
A．2﹣（）n B．[1﹣（）n]C．[1﹣（）n]D．[1﹣（）n] 7．（5分）已知AB为球O的一条直径，过OB的中点M作垂直于AB的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）设方程3x＝|lg（﹣x）|的两个根为x1，x2，则（）
A．x1x2＜0B．x1x2＝0C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1 9．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，＝，＝
，则四面体OEBF的体积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足y1+y2+2＝|AB|，则∠AFB的最大值（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆于点A，B，C，D四点，则4|AB|+9|CD|的最小值为．
14．（5分）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为．
15．（5分）已知A、B为椭圆＝1和双曲线＝1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+＝λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4＝．
16．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈D，且x1＜x2时都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）＝l，f（x）+f（l﹣x）＝l，又当x∈[0，]时，f（x）≤﹣2x+1恒成立．有下列命题：
①∀x∈[0，1]，f（x）≥0；
②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
③f（）+f（）+f（）+f（）＝2；
④当x∈[0，]时，f（f（x））≤f（x）．
其中你认为正确的所有命题的序号为．
三、解答题
17．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间和最小值；
（2）若函数F（x）＝在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
2017-2018学年河北省保定市定州中学高二（下）第一次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，
那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
故选：D．
2．（5分）已知定义在R的函数y＝f（x）对任意的x满足f（x+1）＝﹣f（x），当﹣1≤x＜1，
f（x）＝x3，函数g（x）＝，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在[﹣6，
+∞）上有6个零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）∪（7，+∞）B．（，]∪[7，9）
C．[，）∪（7，9]D．[，1）∪（1，9]
【解答】解：∵对任意的x满足f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
即函数f（x）是以2为最小正周期的函数，画出函数f（x）、g（x）在[﹣6，+∞）的图象，
由图象可知：在y轴的左侧有2个交点，只要在左侧有4个交点即可．
则即有，故7＜a≤9或≤a＜．
故选：C．
3．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2﹣x1的最小值为（）
A．B．2C．4D．
【解答】解：∵l与圆相切，∴原点到直线的距离d＝，
∴m2＝1+k2
由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）＝0，
∵直线l：y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，且与双曲线左、右两支交于两点，
∴
∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范围为（﹣1，1）．
由于x1+x2＝，
∴x2﹣x1＝＝＝，
∵0≤k2＜1，
∴当k2＝0时，x2﹣x1取最小值2．
故选：A．
4．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝2AE，CF＝2BF．若有λ∈（7，16），则在正方形的四条边上，使得•＝λ成立的点P有（）个．
A．2B．3C．6D．0
【解答】解：由正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝2AE，CF＝2BF，
可得DE＝4，AE＝2，CF＝4，BF＝2．
若P在AB上，λ＝；
若P在CD上，λ＝；
若P在AE上，λ＝；
同理，P在BF上时也有；
若P在DE上，λ＝；
同理，P在CF上时也有，
所以，综上可知当λ∈（7，16）时，有且只有3个不同的点P，使得•＝λ成立．
故选：B．
5．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，
且满足∠AFB＝．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）A．B．1C．D．
【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab，
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．
∴≤1，
即的最大值为1．
故选：B．
6．（5分）在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆O n，所有圆均与x轴和直线x﹣y ＝0相切，且任何相邻两圆外切；圆O n的半径为r n，其中r n＞r n+1＞0．若圆O1的半径r1＝1，则数列{r n}的前n项和S n＝（）
A．2﹣（）n B．[1﹣（）n]C．[1﹣（）n]D．[1﹣（）n]【解答】解：根据题意，直线x﹣y＝0，即y＝x，其倾斜角为60°，如图：
分析可得：r n+r n+1＝2（r n﹣r n+1），变形可得r n＝3r n+1，
则数列{r n}为首项r1＝1，公比为的等比数列，
则S n＝＝[1﹣（）n]；
故选：B．
7．（5分）已知AB为球O的一条直径，过OB的中点M作垂直于AB的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设球O的半径为R，过OB的中点M作垂直于AB的截面，该截面为圆，且该截面圆的半径为，
圆锥的母线长为．
所以，圆锥的表面积为＝，
因此，圆锥的表面积与球的表面积之比为．
故选：B．
8．（5分）设方程3x＝|lg（﹣x）|的两个根为x1，x2，则（）
A．x1x2＜0B．x1x2＝0C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1
【解答】解：分别作出函数y＝3x和y＝|lg（﹣x）|的图象如图：
由图象可知程3x＝|lg（﹣x）|的两个根为x1，x2，不妨设x1＜x2，
则两根满足﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，
∴3x1＝|lg（﹣x1）|＝lg（﹣x1），①
3x2＝|lg（﹣x2）|＝﹣lg（﹣x2），②
且3x1＜3x2，
①﹣②得
3x1﹣3x2＝lg（﹣x1）+lg（﹣x2）＝lg（x1x2）
∵3x1＜3x2，
∴lg（x1x2）＝3x1﹣3x2＜0，
即0＜x1x2＜1．
故选：D．
9．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）
【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），
∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，
设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．
即h（x）＝，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+）2+≥，
当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x﹣）2+≥，
故当b＝时，h（x）＝b，有两个交点，
当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，
由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）＝b恰有4个根，
则满足＜b＜2，
故选：D．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，＝，＝
，则四面体OEBF的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则O（），B（1，1，0），E（1，0，），F（，1，0），
则||＝，||＝，，
∴cos∠BOE＝．
∴sin∠BOE＝．
∴S△OEB＝．
设平面OEB的一个法向量为，
由，取z＝1，得．
又，
∴F到平面OEB的距离h＝＝．
∴四面体OEBF的体积V＝＝．
故选：D．
11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）
的左焦点为F，右顶点为A，
则A（a，0），F（﹣c，0），
∵抛物线y2＝（a+c）x于椭圆交于B，C两点，
∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）
∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m＝a﹣c，则m＝（a﹣c），
将B（m，n）代入抛物线方程得，
n2＝（a+c）m＝（a+c）（a﹣c）＝（a2﹣c2），
∴n2＝b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+＝1，
化简得＝，由e＝，即有4e2﹣8e+3＝0，解得e＝或（舍去）．
故选：D．
12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足y1+y2+2＝|AB|，则∠AFB的最大值（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
∵y1+y2+2＝|AB|，又|AF|+|BF|＝y1+y2+2，
∴|AF|+|BF|＝|AB|．
在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝
＝＝．
又|AF|+|BF|＝|AB|≥2，
∴|AF|•|BF|≤．
∴cos∠AFB≥，
∴∠AFB的最大值为，
故选：B．
二、填空题
13．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆
于点A，B，C，D四点，则4|AB|+9|CD|的最小值为．
【解答】解：∵y2＝4x，焦点F（1，0），准线l0：x＝﹣1
由定义得：|AF|＝x A+1，
又∵|AF|＝|AB|+，∴|AB|＝x A+
同理：|CD|＝x D+，
当l⊥x轴时，则x D＝x A＝1，∴4|AB|+9|CD|＝；
当l：y＝k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
∴x A x D＝1，x A+x D＝1，
∴4|AB|+9|CD|＝+4x A+9x D≥
综上所述4|AB|+9|CD|的最小值为．
故答案为：．
14．（5分）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两
点，则|FP|•|FQ|的值为．
【解答】解：∵，．
∴．
代入x2﹣y2＝4得：．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．⇒x1+x2＝．
又|FP|＝，|FQ|＝，
∴
＝
＝，
故答案为：．
15．（5分）已知A、B为椭圆＝1和双曲线＝1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+＝λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4＝0．
【解答】解：由题意，O、P、Q三点共线．
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），
点P在双曲线﹣y2＝1上，有x12﹣4＝4y12．
所以k1+k2＝+＝．①
又由点Q在椭圆＝1＝1上，有x22﹣4＝﹣2y22．
同理可得k3+k4＝﹣②
∵O、P、Q三点共线．
∴＝．
由①、②得k1+k2+k3+k4＝0．
故答案为：0
16．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈D，且x1＜x2时都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）＝l，f（x）+f（l﹣x）＝l，又当x∈[0，]时，f（x）≤﹣2x+1恒成立．有下列命题：
①∀x∈[0，1]，f（x）≥0；
②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
③f（）+f（）+f（）+f（）＝2；
④当x∈[0，]时，f（f（x））≤f（x）．
其中你认为正确的所有命题的序号为①③④．
【解答】解：对于①，因为f（0）＝1，且f（x）+f（l﹣x）＝l，取x＝0，得f（1）＝0，对∀x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于②，由定义可知当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，f（x1）与f（x2）可能相等．所以②不正确；
③由f（x）+f（l﹣x）＝l，得f（）+f（）＝1．因为当x∈[0，]时f（x）≤﹣2x+1恒
成立，所以f（）≤，又f（x）+f（l﹣x）＝l，所以f（）＝，而，所以f （）≥，即f（）＝，同理有f（）＝，当x∈[]时，由“非增函数”
的定义可知，f（）≤f（x）≤f（），即f（x）＝．所以f（）＝f（）＝．所以f（）+f（）+f（）+f（）＝2，所以③成立．
④当x∈[0，]时，x≤﹣2x+1，因为函数f（x）为区间D上的“非增函数”，所以f（x）≥
f（﹣2x+1），所以f（f（x））≤f（﹣2x+1）≤f（x）．所以④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
17．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间和最小值；
（2）若函数F（x）＝在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．
【解答】解：（1）求导f′（x）＝lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥﹣1＝lne﹣1，解得：，
同理，令f′（x）≤0，可得，
∴f（x）的单调递增区间为，单调减区间为，
最小值为f（）＝•（﹣1）＝﹣；
（2），求导，
Ⅰ．当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，，
所以，舍去．
Ⅱ．当a＜0时，F（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
①若a∈（﹣1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，，
所以，舍去，
②若a∈[﹣e，﹣1]，F（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，
所以，解得．
③若a∈（﹣∞，﹣e），F（x）在[1，e]上单调递减，，
所以，舍去，
综上所述，．
（3）由题意得：k（x﹣1）＜x+xlnx对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．
令，则，令φ（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则
，
∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵方程φ（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，且x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0．
∴函数h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴，
∴k＜g（x）min＝x0，
又∵x0∈（3，4），
故整数k的最大值为3．
18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝3ax2﹣b
由题意知，
解得，
∴所求的解析式为f（x）＝x3﹣4x+4；
（2）由（1）可得f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）
令f′（x）＝0，得x＝2或x＝﹣2，
∴因此，当x＝﹣2时，f（x）有极大值，
当x＝2时，f（x）有极小值；
（3）由（2）知，得到当x＜﹣2或x＞2时，f（x）为增函数；当﹣2＜x＜2时，f（x）为减函数，
∴函数f（x）＝x3﹣4x+4的图象大致如图．
由图可知：．。