2018年高考数学一轮总复习专题6.1数列的概念及其表示练习含解析理

6.1 数列的概念及其表示
1. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *
，则a 1= ，
S 5= .
【答案】1 121
【解析】由题可得；1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由
111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，
所以5
15133(1),S 121.13
n n a a n +-=≥=
=- 【考点解读】本题考查了n a 与n S 的关系及等比数列的定义与求和。

可由121n n a S +=+转化为
13n n a a +=，根据递推公式，为等比数列（注意一定要检验当1n =时是否满足
13n n a a +=）。

2.【2015高考新课标2理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则
n S =________．
【答案】1
n
-
【考点解读】本题考查了n a 与n S 的关系及等差数列的定义与数列求和。

解题由n a 与n S 的关
系入手，从而转化为1n S +与n S 的递推式，再根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列可得。

3.【2015江苏高考11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*
N n ∈），则数列}1{n
a 的前10项
和为
【答案】
2011
【解析】由题意得：112211(1)
()()
()1212
n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+
+-+=+-+
++=
所以
1011112202(),2(1),11111
n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点解读】本题考查了数列的递推公式与求和。

若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝
f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式。

数列求和可运用裂项相
消法。

4. 【2014高考新课标2】数列}{n a 满足2,11
81=-=+a a a n
n ，则=1a ________． 【答案】1
2
【解析】将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n
，可求得a 6＝－1；
将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，
且周期为3，所以a 1＝a 7＝1
2
.
【考点解读】本题考查了数列的概念及递推数列。

可由数列递推关系，逐步推算可得，体现
了数列的函数特征。

5.【2014新课标2理17】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
【答案】（Ⅰ）31
2
n n a -=.
【考点解读】本题考查了数列的概念，递推公式，等比数列的定义。

本题体现了化归与转化
的基本数学思想方法。

6.【2015高考新课标1理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）
11646
n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，
当
2
n ≥时，
22
11
n n n n a a a a --+--=
14343n n S S -+--=4n
a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
所
以
数
列
{
n
b }前n 项和为
12n b b b ++
+=1111111
[()()(
)]235572123
n n -+-+
+-++ =
11646
n -+. 【考点解读】本题考查了n a 与n S 的关系及等差数列的定义与求和。

（Ⅰ）已知n a 与n S 的关系，
可用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n
项的递推关系，若满足等差数列定义，用等差数列通项公式求出数列的通项公式，（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.
7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531
32
S =
，求λ． 【答案】（Ⅰ）1
)1
(11---=
n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1
(
1--=λλ，由32315=
S 得32
31
)1(15=--λλ，
即=
-5)1
(
λλ32
1
，解得1λ=-．
【考点解读】本题考查了数列通项n a 与前n 项和为n S 关系，等比数列的定义与通项及前n 项
和为n S ．
（Ⅰ）首先利用公式1
112
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，得到数列{}n a 的递推公式，然后通
过变换结合等比数列的定义可证；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前n 项和n S 化为λ的表达式，结合5S 的值，建立方程可求得λ的值．
考点
了解A 掌握B 灵活运用C
数列的概念和表示法
B
数列是高中数学领域的重要模块，高考主要考查考生对数列概念的理解，等差和等比两个基本数列的定义与性质的理解和运用及函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等．
本节复习注意对数列概念的深刻理解，领会数列是特殊的函数。

在数列的表示方法中特别要掌握通项公式，对数列的递推关系及a n 与S n 的关系也要重点掌握。

知识点1 数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中数列的第1项a1也称首项；a n 是数列的第n项，也叫数列的通项．
知识点2 数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n
其中n∈N*
递减数列a n＋1<a n
常数项a n＋1＝a n
摆动数列
从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一
项
周期性周期数列∀n∈N*，存在正整数k，a n＋k＝a n
知识点3 数列的表示方法
列表法列表格表示n与a n的对应关系
图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公
式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公
式
使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表示数列的方法
知识点4 数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
必会结论；在数列{a n} 中，若a n最大，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧a n≥a n－1，
a n≥a n＋1.
若a n最小，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧a n≤a n－1，
a n≤a n＋1.
必知联系；数列中的数与集合中的元素的区别与联系：
(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列．这区别于集合中
元素的无序性．
(2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现．
知识点5 a n与S n的关系
若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，
则a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1，
n ＝1，
S n －S n －1，
n ≥2.
题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
典例1.（1）(2017银川一中高一月考) 已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列
的通项
不可能是（ ） A ．()
1
11n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数
为偶数
C ．2sin 2
n n a π
= D ．()cos 11n a n π=-+ 【答案】C
【解析】对于C ，当3n =时，3sin
12
π
=-，则32a =-，与题意不符，所以选C ． （2）（2017襄阳高中高一期末） 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或
用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
10
631
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列}{n a 的通项公式为 【答案】 2
)
1(+=
n n a n 【解析】由图可知，1,111=+=-+a n a a n n ，由累加法可得2
)
1(+=
n n a n （3）（2017郑州模拟）意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,,⋅⋅⋅
即()()()()()()
*
121,123,F F F n F n F n n n N ===-+-≥∈，此数列在现代物理、准
晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列
{}n b ， 2017b =________.．
【答案】1
（4）（2017
兰州模拟）设数列
{}
n a 是首项为0的递增数列，
()()[]*11
sin
,,,n n n n f x x a x a a n N n
+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12
n n n a π
-=
【解析】∵10a =，当n=1时，f 1（x ）=|sin （x-a 1）|=|sinx|，x ∈[0，a 2]，又∵对任意的b ∈[0，1），
f 1（x ）=b 总有两个不同的根，∴a 2=π，∴f 1（x ）=sinx ，x ∈[0，π]，a 2=π 又f 2（x ）=|sin
12（x-a 2）|=|sin 12（x-π）|=|cos 2
x
|，x ∈[π，a 3] ∵对任意的b ∈[0，1），f 1（x ）=b 总有两个不同的根，∴33a π= 又f 3（x ）=|sin
13（x-a 3）|=|sin 13（x-3π）|=|sin 1
3
π|，x ∈[3π，a 4] ∵对任意的b ∈[0，1），f 1（x ）
=b 总有两个不同的根，∴a 4=6π，由此可得1n n a a n π+-=， ∴
()()()()12111012
n n n n n a a a a a a n πππ
--=+-++-=++
+-=
∴
()12
n n n a π-=
（5）（2017安徽六安市高中月考）已知数列22
992
{}91
n n n -+-． （1）求这个数列的第10项；
（2）98
101
是不是该数列中的项，为什么?
（3）求证：数列中的各项都在区间（0,1）内；
（4）在区间
12
(,)
33
内有、无数列中的项?若有，有几项?若没有，说明理由．
【答案】（1）
31
28
10
=
a；（2）不是；（3）证明见解析；（4）1项，
7
4
2
=
a．
（2）令
101
98
1
3
2
3
=
+
-
n
n
，9300
n=，无正整数解，所以
98
101
不是该数列的项．
（3）解法一；证明：∵
323133
1
313131
n
n n
a
n n n
-+-
===-
+++
，又∵*
n N
∈，
∴
3
01
31
n
<<
+
，∴01
n
a
<<．
解法二；证明：
1
9
3
9
1
1
9
2
9
9
2
2
2
-
-
-
=
-
+
-
=
n
n
n
n
n
a
n
，
∵()2
2
1
9
1
9
4
1
2
1
9
2
9
9
3
9
1
92
2
2
2=
+
⨯
-
⨯
≥
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
+
-
=
-
-
-n
n
n
n
n，∴0
3
9
1
92>
-
>
-n
n，∴1
1
9
3
9
2
<
-
-
<
n
n
，∴1
1
9
3
9
1
2
<
-
-
-
<
n
n
．∴()1,0
∈
n
a．
（4）解法一；
1322
3313
n
n
a
n
-
<=<
+
，
7
31966
96628
3
n
n n
n n
n
⎧
>
⎪
+<-
⎧⎪
⇒
⎨⎨
-<+
⎩⎪<
⎪⎩
，∴
78
63
n
<<．
又∵*
n N
∈，当且仅当2
=
n时等式成立．
解题技巧与方法总结
由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；
(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑
对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号
交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
【变式训练】
（1）（2017银川一中高一期末）如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（）.
A. 88
B. 89
C. 90
D. 91 【答案】B
【解析】第n行实心圆点有n a个，空心圆点有n b个，由树形图的生长规律可得
1
11
{
n n n n n b a a a b ---==+， ∴12n n n a a a --=+（即斐波那契数列），可得数列{}
n a 为
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，，
即1289a =,故选B.
（2）（2017
福建莆田一中月考）已知数列252211，　，　，　， 则25是这个数列的（ ）
A. 第6 项
B. 第7项
C. 第19项
D. 第11项 【答案】B
（3）（2017北京大兴区模拟）数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公
式是
a n ＝________.
【答案】
2n ＋1
n 2＋1
【解析】数列可以看作32，55，710，917
，…，分母可以看作12＋1,22＋1,32＋1,42
＋1，
第n 项分母为n 2
＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1， 第n 项分子为2n ＋1，故a n ＝2n ＋1
n 2＋1
.
（4）（2017武汉模拟）把数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，
第k 行有1
2
k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
中的项1
287
应记为 ．
【答案】(8,17)A
【解析】令14428712=⇒=-n n ⇒1
287是数列121n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
的第144项，
由772112721S -==-,则t=8, s=144-127=17, 所以(8,17)A ．
题型二 由a n 与S n 的关系求通项
典例2. （1）（2017福建莆田一中高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和23n S n =-，则首项
1a =______，当2n ≥时，n a =______
【答案】112a S ==-，=21n a n -
【解析】由1
1
n n n S a S S -⎧=⎨-⎩可得:当 1n =时，112a S ==-；
当2n ≥时，1=21n n n a S S n -=-- （2）（2017南昌一中模拟）数列{}n a 的前n 项和是n S ， ()111,2n n a S a n N ++==∈，则
n a =__________．
【答案】()
()
211{
232n n n a n -==⋅≥
（3）（2017大连模拟）已知数列{}n a 满足*123...2(n n a a a a n a n N ++++=-∈)，
()222
n n n
b a -=
-, 则数列{}n b 中最大项的值是__________． 【答案】
18
【解析】依题意有2n n S n a =-，当1n =时， 1a 为1，当n 时， 112n n n n n a S S a a --=-=-+，
即1112n n a a -=+，也即()11222n n a a --=-，所以1
122n n a -⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，
1
122n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，
所以22n n
n b -=
， 12311
,0,28
b b b =-==，当3n >时， 3n b b ≤，所以最大项为18. （4）（2017石家庄一中月考）若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +->->->⋅⋅⋅>->⋅⋅⋅，
则称数列{}n a 为“差递减”数列．若数列{}n a 是“差递减”数列，且其通项n a 与其前n 项和()
*n S n N ∈满足()
2321n n S a n N λ*=+-∈，则实数λ的取值范围是__________． 【答案】1
2
λ>
（5）（2017武汉模拟）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有2
2n n n a S a =-，
其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()
1
31.2n n a n n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈）
，试确定λ的值，使得对任意*n N ∈；
都有1n n b b +>成立.
【答案】（I ）*
()N n a n n =∈； （II ）－1
【解析】（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，① 当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，②
由①－②得，22
111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---
即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，
由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .
故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*
()N n a n n =∈. （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)
1(31
⋅-+=-λ,
∴1
1113
3(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.
要使得1n n b b +>恒成立,只须113
(1)()2
n n λ---⋅<.
(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2
n -的最小值为1,∴1λ<. (2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32
λ>- ∴由(1),(2)得3
12
λ-
<<,又0λ≠且λ为整数, ∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立.
解题技巧与方法总结
已知S n 求a n 的三个步骤
1．当n ＝1时，a 1＝S 1. 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.
3．对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则a n 应写成分段函数的形式，即a n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.
【变式训练】
（1）（2017甘肃武威高中模拟）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32
3
-=
n n a S ，则数列
{}n a 的通项公式是______.
【答案】n n a 32⋅=
（2）（2017兰州模拟）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足
()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，
若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ . 【答案】()3,5
【解析】∵2
14n
S S n n =+-，()2
114+=++n S S n n ，∴4811+=--+n S S n n ，即
481+=++n a a n n ，
即12812+=+++n a a n n ，故82=-+n n a a ，由1a a =知16212=+a a ， ∴a a a 21621612-=-=，()a a a 242164283+=--+⨯=，a a 2244-=； 若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，只需使4321a a a a <<<，
即a a a a 22424216-<+<-<，解得53<<a ，故答案为53<<a .
（3）（2017长沙模拟）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
111a 61
n n n n a S n
m S S +++==-+，，
现有如下说法： ①25a =； ②当n 为奇数时， 33n a n m =+-； ③224232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+则上述说法正确的为_____________ . 【答案】3
（4）（2017衡水金卷）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足
3
()(),(2)32f x f x f -=-=-，数列{a n }满足11a =-，且21n n S a n n
=⨯+，（其中n S 为{a n }的前n 项和），则56()()f a f a +=__________． 【答案】3 【解析】由()32f x f x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
知函数的对称轴为34x =，由于函数为奇函数，图象关于原点
对称，
故函数的周期为
3
434
⋅=.依题意2n n S a n =+，当1n =时，11a =-，当1n >时， 1121n n S a n --=+-，两式相减得121n n a a -=-，所以， 234563,7,15,31,63a a a a a =-=-=-=-=-，
所以()()()()()()563163203f a f a f f f f +=-+-=+=.
（5）（2017盘锦模拟）如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB
分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.
（I ）建立适当基底，利用//NM MP ，把y x 用表示出（即求()y f x =的解析式）； （II ）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()()12n n S f S n -=≥，求数列{}n a 通项公式.
【答案】(I) f （x ）=（0＜x ＜1） (II) a n =
题型三 由数列的递推公式求通项公式
典例3. （1）(2017兰州模拟) 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式：
①a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； ②a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)； ③a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.
【答案】① a n ＝32n 2＋n 2. ② a n ＝1n
. ③a n ＝2n
－1.
【解析】①∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝
n 3n ＋1
2
(n ≥2)．
当n ＝1时，a 1＝1
2×(3×1＋1)＝2适合上式，∴a n ＝32n 2＋n
2
.
②∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， ∴a n a n －1＝n －1
n
(n ≥2)， ∴a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·1＝1n
， 当n ＝1时适合上式，故a n ＝1
n
.
③ ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2. ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2
n －1
，∴a n ＝2n
－1.
（2）（2017河北衡水中学押题卷）数列{}n a 满足12a =， 2
1n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）
A. 210n -
B. 110n -
C. 1
210
n - D.
1
22n -
【答案】D
（3）（2017河北省衡水中学月考）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x >时， ()2f x <对任意的x ，
y R ∈， ()()()2f x f y f x y +=++成立，若数列{}n a 满足()10a f =，且
()13n n n a f a f a +⎛⎫= ⎪+⎝⎭
，
*n N ∈，则2017a 的值为（ ）
A. 2
B.
2016
623
1
⨯- C.
2016
223
1
⨯-
20152231
⨯-
【答案】C
【解析】令2x y ==可得： ()02f =，令y x =-可得： ()()4f x f x +-=，
则：()()220f x f x -+--=，据此可得：函数()()2g x f x =-是单调奇函数， 有函数的单调性可得： 13n
n n a a a +=
+，整理可得： 11111322n n a a +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即数列112n a ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭
是首项为1，公比为3的等比数列，则： 1
2
231n n a -=⨯-， 据此可得：2017a 的值为
20162231
⨯- .
（4）（2017衡水金卷）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]1,21=，[]1,32-=-．
已知
数
列
{}
n a 满足
11
a =，
21n n n
a a a +=+，则
201612
1
22016111a a a a a a ⎡⎤
+++=⎢⎥+++⎣⎦
． 【答案】2015
【解析】因2
1n n n a a a +=+，故121+=+n n n n a a a a ，又n n a a >+1，则n n n
n n a a a a a <=++1
2
1，
所以
201612
12201611
1a a a a a a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥
+++⎣⎦
2015111]111[2211=+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++n n a a a a a a . （5）（2017山西师大附中模拟）已知直线:2n l y x n =与圆22:2n n C x y a n +=+交于不
同的两点n n A B 、，n N +
∈，数列{}n a 满足：2
1111,4
n n n a a A B +==
，则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 【答案】12n n a -＝
（6）（2017兰州模拟）下列程序的输出结果构成了数列{}n a 的前n 项．试根据该程序求解下列问题，
（I ）求数列的第3项3a 和第4项4a ；
（Ⅱ）写出该数列的递推公式，并求出其通项公式n a ．
【答案】（I ）37a =，415a =； （Ⅱ） 121n n a a -=+，21n n a =-
解题技巧与方法总结
典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
B=0
1i =
DO
A=B
B=2*A+1 1i i =+
PRINT B
LOOP UNTIL 10i > END
（第 题程序）
(1) a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋p λ－λ，
与a n ＋1＝pa n ＋q 比较知只要λ＝
q
p －1
即可．
(2) a n ＋1＝pa n ＋q ·p
n ＋1
(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1
，即得
a n ＋1p n ＋1－a n
p n
＝q ， 数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n p n 为等差数列． 【变式训练】
（1）（2017武汉模拟）数列{}n a 的第一项11a =，且1(11n
n n
a a n a +==+，2，…）
，这个数列的通项公式n a =__________． 【答案】
1n
【解析】两边取倒数得
111
1n n
a a +=+，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，公差为1的等差数列，故11,n n n a a n
==. （2）（2017银川模拟）在数列{}n a 中， 16a =， 13
n n a n a n
++=
，那么{}n a 的通项公式是_____________.
【答案】()()12n a n n n =++
（3）（2017南京模拟）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x
的小数部分，用记号x 表示．例如81
1.20.2 1.20.877
=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：
1a a =，11
00
0n n n
n a a a a +⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩,,
其中123n =,,,.若3
11
a =
，则{}n a 通项公式为_______． 【答案】123321
,,,0(4)1132
n a a a a n =
===≥ 【解析】由题；1331111a =
= ，21111233a a === ，32131
22
a a === 431
20a a =
==，所以；123321,,,0(4)1132
n a a a a n ====≥ （4）（2017大连模拟）已知数列{}n a 中，()112,202,n n a a a n n n N -=--=≥∈． （1）写出23a a 、的值（只写结果）并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设12321111n n n n n
b a a a a +++=
+++⋅⋅⋅+，若对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式21
26
n t mt b -+>
恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =+ （2）11
(6
n b b ==
)max
当1n =时，()11112a =⨯+=也满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =+
（2）解法一；()()()()()1221111111223221n n n n b a a a n n n n n n ++=
++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++++ ()()()()
()111111
1223221n n n n n n =
-+-+⋅⋅⋅+-+++++
()()2111
1121231(2)3n n n n n n n
=
-==
++++++ 令()()121f x x x x =+
≥，则()21
2f x x
'=-， 当()1,0x f x '≥>时恒成立 ∴()f x 在[)1,x ∈+∞上是增函数，故当1x =时，()()13f x f ==min 即当1n =时， 1
(6
n b =
)max 解法二：111111111223121221231n n b b n n n n n n n n +⎛⎫-=
--+=+-+ ⎪++++++++⎝⎭
22
33340252253n n n n n n ++=
-<++++ ∴数列{}n a 是单调递减数列，∴11
(6
n b b ==)max
课本典例解析与变式
例1.【必修第5三十六页例3】设数列}{n a 满足111
1
1(1)n
n a a n a -=⎧⎪
⎨=+>⎪⎩
，写出这个数列的前五项．
【解析】由题意可知；11a = ， 则 21
1
12a a =+
=
321312a a =+
=
431513a a =+= 541815
a a =+
= 【原题解读】本例题考查了数列递推关系的基本运用。

需要学生对数列的概念有一定的理解，
体会数列的函数与方程特征。

变式1.（2017乌鲁木齐二诊）数列{}n a 中， 1111
,12n n
a a a +=
=-，则2017a =（ ） A. 2 B. 3 C. 1- D. 1
2
【答案】D
变式2. （2014高考新课标2文）数列{a n }满足a n ＋1＝1
1－a n
，a 8＝2，则a 1＝________． 【答案】1
2
【解析】将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n
，可求得a 6＝－1；
将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，
且周期为3，所以a 1＝a 7＝1
2
.
变式3.（2014课标2理）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22
n n a a ++=+，所以
11
2312
n n a a ++
=+
， 所以12n a ⎧⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，首项为1
1322a +=，公比为3，
所以
1
2 n
a+=1
3
3
2
n-
⋅，解得
n
a=
31
2
n-
.
变式4.（2016福建莆田模拟）已知数列{}n a满足*
11
1,21().
n n
a a a n N
+
==+∈求数列
{}
n
a的通项公式；
【答案】*
21().
n
n
a n N
=-∈
变式5.（2015江苏高考）数列}
{
n
a满足1
1
=
a，且1
1
+
=
-
+
n
a
a
n
n
（*
N
n∈），则数列}
1
{
n
a
的前10项
和为
【答案】
20
11
【解析】由题意得：
112211
(1)
()()()121
2
n n n n n
n n
a a a a a a a a n n
---
+
=-+-++-+=+-+++=
所以10
1111220
2(),2(1),
11111
n
n
n
S S
a n n n n
=-=-==
+++
【课本回眸反思】
1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3．解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。

1.（2017咸阳高一期末）数列{}n a的前几项为
11121
,3,,8,
222
，则此数列的通项可能是（）
A. 542n n a -=
B. 32
2n n a -= C. 652n n a -= D. 109
2
n n a -=
【答案】A 【解析】数列为
16111621,,,,22222
其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等比数列， 故通项公式为54
2
n n a -=。

考点：数列通项公式
2.（2017西安铁中高一期末）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 8的值为( )
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64 【答案】 A
【解析】 a 8＝S 8－S 7＝82
－72
＝15. 故选A. 考点：a n 与S n 的关系
3.（2017银川模拟）已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *
，都有a n ＋1
＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－3，＋∞)
【答案】 D
【解析】a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2
＋k (n ＋1)＋2＞n 2
＋kn ＋2，则k ＞－(2n ＋1)对所有的n ∈N *
都成立，
而当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，所以k ＞－3. 考点：数列单调性
4．（2017兰州模拟）在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *
都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若a 6＝64，
则a 9等于( )
A ．256
B ．510
C ．512
D ．1 024 【答案】 C
考点：数列递推公式
5.（2017湖北黄石模拟）数列{}n a 满足13a =与11
[]{}
n n n a a a +=+
（[]n a 与{}n a 分别表示
n a 的
整数部分与分数部分），则2014a =（ ）
A ．30203+ B
．31
3020-+
C ．33018+
D ．31
3018-+ 【答案】B
考点：新定义问题与数列项的求解．
6.（2017武汉市高三调研）已知数列
{}
n a 满足11a =， 21
3
a =
，若()()
*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈
，则数列{}n a 的通项n a =（ ） A.
112n - B. 1
21
n - C. 113n - D. 1121n -+
【答案】B
【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,
11123
n n n a a a +-+= , 1111112n n n n a a a a +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
,
则11
11
211n n n n a a a a +--
=- ,数列111n n a a +⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，
1111
222n n
n n
a a -+-=⨯= ，利用叠加法，
21
1213211111111......122.......2n n n a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 1212121
n n
n a -==-- ，则121n n
a =-.选B. 考点：数列递推公式与通项公式
7.（2017郑州模拟）已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111
,1,2,322n n n n
a a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ） A ．1,12⎧⎫±
±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫
±±±⎨⎬⎩⎭
【答案】D
考点：递推公式，合情推理与演绎推理
8.（2017西安模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法（“少
广”算法），其方法的前两步如下.第一步：构造数列111
1
1,,,,,234n
.① 第二步：将数列①的各项乘以2
n
，得到一个新数列123,,,,n a a a a .
则1223341n n a a a a a a a a -+++
+等于（ ）
A. 2
4n B.
()2
14
n - C. ()14n n - D. ()+14n n 【答案】C
【解析】由题意，所得新数列为1111,,,222322
n n n
n
n ⨯
⨯⨯⨯，所以
()
() 222
1223341
1
111111111111
11
41223341422334144 n n
n n n n n
a a a a a a a a
n n n n n
-
⎡⎤-
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++=-+-+-+-=-=
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥
⨯⨯⨯-⨯-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
考点：数列求和.
9.（2016温州模拟）已知),
(|
|
,*
1
2
3
N
n
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
∈
-
=
=
+
+
+
若)0
,1
(
,1
2
1
≠
≤
=
=a
a
a
x
x
则数列}
{
n
x的前2016项的和
2016
S为（）
A．671 B．672 C．1342 D．1344
【答案】D
考点：数列递推式与求和
10．（2017湖北省襄阳模拟）若数列{}n a，{}n b的通项公式分别为()2016
1n
n
a a
+
=-⋅，
()2017
1
2
n
n
b
n
+
-
=+，且
n n
a b
<对任意*
n N
∈恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
1,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ B.
[)
1,1
- C. [)
2,1
- D.
3
2,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】,
n n
a b
<可得()
()2017
2016
1
12
n
n a
n
+
+
-
-<+，若n是偶数，不等式等价于
1
2
a
n
<-
恒成立，
可得
13
2
22
a<-=，若n是奇数，不等式等价于
1
2
a
n
-<+，即2,2
a a
-≤≥-，所以
3
-2
2
a
≤<，综上可得实数a的取值范围是
3
2,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭，故选D．
考点：数列与不等式，分类思想
11.（2017银川一中高一期末）在数列{}n a 中，12a =，1211
n
n a a n
+=-+，则3a =_______． 【答案】13
-
【解析】当1=n 时，112212=-=a a ；当2=n 时，3113223-=-=a a ，故答案为1
3
-. 考点：数列递推公式.
12.（2017漳州模拟）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－2n ＋1，则其通项公式为________．
【答案】 a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2，n ＝1，6n －5，n ≥2
【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2
－2n ＋1－[3(n －1)2
－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2.
考点：a n 与S n 的关系
13.（2017宝鸡模拟）已知数列{}n a 的通项公式6(2)7n
n a n ⎛⎫
=+⋅ ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 的项取最大值
时，n = ． 【答案】4或5
考点：数列的函数特性.
14.（2017甘肃武威模拟）如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1,2,3,4,5,6的坐标分别对应数列{}()
*N n a n ∈的前12项，如下表所示：
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x
1y
2x
2y 3x
3y 4x
4y 5x
5y 6x
6y
按如此规律下去，则201520142013a a a ++=____________． 【答案】1007
【解析】将数列{}n a 的奇数项，偶数项分开看可知：奇数项为1,1,2,2,
--满足
21210n n a a -++=，
由此可得当1007n =时，201320150a a +=；偶数项为1,2,3,
，所以其通项公式为
2n a n =，
所以当22014n =时，20141007a =，所以2013201420151007a a a ++=. 考点：观察归纳法求数列的通项公式.
15.（2017苏州模拟）在数列{}n a 中， 11a =， ()()111n
n n a a +=-+，记n S 为{}n a 的前n
项和，
则2017S =__________． 【答案】-1007
考点：数列递推公式与求和
16．（2017天水模拟）已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12
a n (n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 【答案】（1）见解析 （2）a n ＝n .
【解析】 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *
)可得；a 1＝12a 21＋12
a 1，解得a 1＝1，
S 2＝a 1＋a 2＝1
2a 22＋12
a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.
(2) S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12
a 2
n －1，②
①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 考点：a n 与S n 的关系
17.（2017银川模拟）已知函数()22x
x
f x -=-，数列{}n a 满足2(lo
g )2n f a n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是递减数列． 【答案】（1）21n a n n =
+；（2）证明见解析．
考点：数列的概念及其简单表示；数列的函数特性．
18.（2017湖北省黄冈中学三模）已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =.
()I 求证：数列{}1n a +是等比数列；
()II 判断数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n
T 与1
2的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析： ()I 先证明数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，从而可得
结果； ()II 结和第一问可得()()
11
123231131313131
n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----，利用裂项项相消法求和，根据放缩法可得结果.
(I)由题意可得1133n n a a ++=+，即()1131n n a a ++=+，
又1130a +=≠，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；
(II)由(I)可知
13n
n a +=，即
31
n n a =-，故
()()
11
1232311
3131
3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----
22311111111111
31313131
31312312
n n n n T ++=
-++++
-=-<------- 考点：1.数列递推公式与证明；2.数列与不等式.
19.（2017浙江丽水模拟）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,对一切*N n ∈,点),
(n
S n n
都在函数x
a x x f n
2)(+
=的图象上 (1)求,,,321a a a 归纳数列}{n a 的通项公式(不必证明); (2)将数列}{n a 依次按
1
项,2
项,3
项,4
项循环地分为
(1a ),(),32a a ,(),,654a a a ,(),,,10987a a a a ;()11a ,()1312,a a ,(),,161514a a a ,
(),,,20191817a a a a ;()21a ,…..,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号
的前后顺序构成的数列为}{n b ,求1005b b +的值; (3)设n A 为数列}1
{
n
n a a -的前n 项积,若不等式a a a f a A n n
n 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立,其中0>a ,求a 的取值范围.
【答案】
（2）因为2n a n =（*
N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到
第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010.
考点：归纳与猜想、数列的通项公式、数列与函数和不等式.。