三次溷合多项式曲线间曲面究37页PPT
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所以广义摆线P ( t ) 为周期函数
广义摆线的特征函数
P (t )在t 处的相对曲率：
k(t)
P'(t)P''(t)•n | P'(t)|3
(CA)tan2 t 2Btant CA
2
2
| P'(t)|3 (1tan2 t)
2
其中 A(P1P2)•n， B(P2P0)•n，C(P0P1)•n
称 f( t ) |P '( t ) |3 ( 1 t a n 2 t) k ( t ) ( C A ) t a n 2 t 2 B t a n t C A
ij k m
[ H i] j k (H [ x ;i, jH k x ;i] j[ H k ,y ;i, jH k y ;i] j[ H k ,z ;i, jH k z ;i] jk )
解决方案 先通过约束优化求出Bm([H];P)的升阶形式 Bn(Gnm([H])P ;)(n次) ，然后将其还原为Bm([H];P)。
广义摆线的周期性
由周期数量函数的定义可推广定义周期向量值函数
向量值函数R (t ) 为周期函数当且仅当存在常数T 0 和常向量 V使得对任意 t 有 R(tT)R(t)TV
广义摆线P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3
满足对任意 t 有 P (t 2 )P (t) 2 P 2
一段三次混合双曲多项式曲线 t (0,) 0
三次H-Bézier曲线的形状分类 几何不变性、端点插值性、端边相切性、凸包性 和变差缩减性
区间三角Bézier曲面
B n(F []P ;)ij k n[F i j]B k inj(P k)
[ F200 ]
[ F110 ]
[ F101 ]
[F020 ]
性质 1几何不变性 2端点插值性 3端边相切性 4凸包性 5变差缩减性
广义摆线的形状特征
——拐点、尖点和二重点的分布
特征函数 f(t)(C A )tan2t2 B tant C A
2
2
其中 A(P1P2)•n， B(P2P0)•n，C(P0P1)•n
f ( t ) 与相对曲率k ( t ) 同号
A2B2C20单重零点 拐点
实例
总结
给出了平面三次混合多项式曲线上拐点、尖 点和二重点存在的充分必要条件
设计了一种区间三角Bézier曲面的降阶逼近算 法。
谢谢！
广义摆线
P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3t(,)
改写为：P (t)Q 1(t)Q 2(t) Q 1(t)P 0sitn P 1cot为s一个椭圆 Q2(t)P2tP3为一条直线 当 ||P0||||P1||||P2||且 P0 P1时，P ( t )是一条摆线 在一般情况下，称 P (t ) 为一条广义摆线
广义摆线
定义 P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3 t(,) 性质
1.周期性
2. 当||P0||||P1||||P2||且 P0 P1是摆线
3.可以精确表示一些特殊曲线
C-曲线 广义摆线的一段 t[0,] (0,]
三次C- Bézier曲线
是三次C-曲线的特例
[ F011 ]
[ F002 ]
区间三角Bézier曲面的降阶逼近
问题 给定一张n次的区间三角Bézier曲面Bn([F];P，) 寻求一 张m次(m<n)的区间三角Bézier曲面 Bm([H];P) 使得Bn(F []P ;)Bm(H []P ;)，且W(Bm([H];P))mi。n
其中： B m (H []P ;) [H ij]B kim j(k P )
当 A2B2C20时，f ( t ) 有单重零点； 当 A2B2C20时，f ( t ) 有二重零点； 当 A2B2C20时，f ( t ) 无零点。
广义摆线的形状分类
拐点: 定义为切向量连续，曲率为零的非直线点 特征函数的单重零点对应于广义摆线的拐点 即： A2B2C2
尖点：对于适当参数化的曲线而言定义为一阶导 向量为零的点 特征函数的二重零点对应于广义摆线的尖点 即： A2B2C2
A 2B 2
F : A 2 B 2 [ a r c c o s A s g n ( C ) ] |C |s i n [ a r c c o s A s g n ( C ) ] 0
A 2 B 2
A 2 B 2
平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类
三次混合双曲多项式曲线
P ( t) P 0 s in h t P 1 c o s h t P 2 t P 3t(,)
概述
计算机辅助几何设计(CAGD) CAGD中的曲线及其拐点和奇点
C-曲线、三次C- Bézier曲线 三次参数曲线上的拐点、尖点和二重点 CAGD中的区间曲线曲面及其降阶逼近 区间Bézier曲线 论文主要内容 平面混合多项式曲线及其拐点、尖点和二重 点的存在条件 区间三角Bézier曲面的降阶逼近
2
22
为 P ( t ) 的特征函数。它的符号与 k ( t ) 一致。
特征函数的零点
当 ABC0时，k ( t ) 恒为零，P ( t ) 是一条直线。
这里只考虑 A2B2C20的情形
f(t)(C A )tan2t2 B tant C A
2
2
( 2 B ) 2 4 ( C A ) ( C A ) 4 ( A 2 B 2 C 2 )
q
t[0,] (0,]
ur
ur e 1 e1
q1
q0
ur
e2 q2
ur e2
q3
q0q e1 qq3 e2 q0q1 e1 q2q3 e2
三次C-Bézier曲线形状分类结果
E
N
C DL S
L
S
C
D
N
S
N
S
N
L D
C: A2B2C2
C
E F : (A 2B 2)arccosA sgn(C )B C 0
A2B2C20二重零点 尖点
ห้องสมุดไป่ตู้
A2B2C20 无零点 二重点 拐点、尖点和二重点的互斥性
C-曲线的形状特征
判断特征函数在 [ 0 , ] 上的零点的类型 单重零点 拐点 二重零点 尖点
存在t1 t2[0,]使 P(t1)P(t2)二重点
三次C- Bézier曲线的形状特征
Q ( t ) Z 0 ( t ) q 0 Z 1 ( t ) q 1 Z 2 ( t ) q 2 Z 3 ( t ) q 3
广义摆线的特征函数
P (t )在t 处的相对曲率：
k(t)
P'(t)P''(t)•n | P'(t)|3
(CA)tan2 t 2Btant CA
2
2
| P'(t)|3 (1tan2 t)
2
其中 A(P1P2)•n， B(P2P0)•n，C(P0P1)•n
称 f( t ) |P '( t ) |3 ( 1 t a n 2 t) k ( t ) ( C A ) t a n 2 t 2 B t a n t C A
ij k m
[ H i] j k (H [ x ;i, jH k x ;i] j[ H k ,y ;i, jH k y ;i] j[ H k ,z ;i, jH k z ;i] jk )
解决方案 先通过约束优化求出Bm([H];P)的升阶形式 Bn(Gnm([H])P ;)(n次) ，然后将其还原为Bm([H];P)。
广义摆线的周期性
由周期数量函数的定义可推广定义周期向量值函数
向量值函数R (t ) 为周期函数当且仅当存在常数T 0 和常向量 V使得对任意 t 有 R(tT)R(t)TV
广义摆线P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3
满足对任意 t 有 P (t 2 )P (t) 2 P 2
一段三次混合双曲多项式曲线 t (0,) 0
三次H-Bézier曲线的形状分类 几何不变性、端点插值性、端边相切性、凸包性 和变差缩减性
区间三角Bézier曲面
B n(F []P ;)ij k n[F i j]B k inj(P k)
[ F200 ]
[ F110 ]
[ F101 ]
[F020 ]
性质 1几何不变性 2端点插值性 3端边相切性 4凸包性 5变差缩减性
广义摆线的形状特征
——拐点、尖点和二重点的分布
特征函数 f(t)(C A )tan2t2 B tant C A
2
2
其中 A(P1P2)•n， B(P2P0)•n，C(P0P1)•n
f ( t ) 与相对曲率k ( t ) 同号
A2B2C20单重零点 拐点
实例
总结
给出了平面三次混合多项式曲线上拐点、尖 点和二重点存在的充分必要条件
设计了一种区间三角Bézier曲面的降阶逼近算 法。
谢谢！
广义摆线
P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3t(,)
改写为：P (t)Q 1(t)Q 2(t) Q 1(t)P 0sitn P 1cot为s一个椭圆 Q2(t)P2tP3为一条直线 当 ||P0||||P1||||P2||且 P0 P1时，P ( t )是一条摆线 在一般情况下，称 P (t ) 为一条广义摆线
广义摆线
定义 P ( t) P 0 sti n P 1 cto P 2 t s P 3 t(,) 性质
1.周期性
2. 当||P0||||P1||||P2||且 P0 P1是摆线
3.可以精确表示一些特殊曲线
C-曲线 广义摆线的一段 t[0,] (0,]
三次C- Bézier曲线
是三次C-曲线的特例
[ F011 ]
[ F002 ]
区间三角Bézier曲面的降阶逼近
问题 给定一张n次的区间三角Bézier曲面Bn([F];P，) 寻求一 张m次(m<n)的区间三角Bézier曲面 Bm([H];P) 使得Bn(F []P ;)Bm(H []P ;)，且W(Bm([H];P))mi。n
其中： B m (H []P ;) [H ij]B kim j(k P )
当 A2B2C20时，f ( t ) 有单重零点； 当 A2B2C20时，f ( t ) 有二重零点； 当 A2B2C20时，f ( t ) 无零点。
广义摆线的形状分类
拐点: 定义为切向量连续，曲率为零的非直线点 特征函数的单重零点对应于广义摆线的拐点 即： A2B2C2
尖点：对于适当参数化的曲线而言定义为一阶导 向量为零的点 特征函数的二重零点对应于广义摆线的尖点 即： A2B2C2
A 2B 2
F : A 2 B 2 [ a r c c o s A s g n ( C ) ] |C |s i n [ a r c c o s A s g n ( C ) ] 0
A 2 B 2
A 2 B 2
平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类
三次混合双曲多项式曲线
P ( t) P 0 s in h t P 1 c o s h t P 2 t P 3t(,)
概述
计算机辅助几何设计(CAGD) CAGD中的曲线及其拐点和奇点
C-曲线、三次C- Bézier曲线 三次参数曲线上的拐点、尖点和二重点 CAGD中的区间曲线曲面及其降阶逼近 区间Bézier曲线 论文主要内容 平面混合多项式曲线及其拐点、尖点和二重 点的存在条件 区间三角Bézier曲面的降阶逼近
2
22
为 P ( t ) 的特征函数。它的符号与 k ( t ) 一致。
特征函数的零点
当 ABC0时，k ( t ) 恒为零，P ( t ) 是一条直线。
这里只考虑 A2B2C20的情形
f(t)(C A )tan2t2 B tant C A
2
2
( 2 B ) 2 4 ( C A ) ( C A ) 4 ( A 2 B 2 C 2 )
q
t[0,] (0,]
ur
ur e 1 e1
q1
q0
ur
e2 q2
ur e2
q3
q0q e1 qq3 e2 q0q1 e1 q2q3 e2
三次C-Bézier曲线形状分类结果
E
N
C DL S
L
S
C
D
N
S
N
S
N
L D
C: A2B2C2
C
E F : (A 2B 2)arccosA sgn(C )B C 0
A2B2C20二重零点 尖点
ห้องสมุดไป่ตู้
A2B2C20 无零点 二重点 拐点、尖点和二重点的互斥性
C-曲线的形状特征
判断特征函数在 [ 0 , ] 上的零点的类型 单重零点 拐点 二重零点 尖点
存在t1 t2[0,]使 P(t1)P(t2)二重点
三次C- Bézier曲线的形状特征
Q ( t ) Z 0 ( t ) q 0 Z 1 ( t ) q 1 Z 2 ( t ) q 2 Z 3 ( t ) q 3