湖北省荆门市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

t,1
uuur ,所以 OP
uuuur uuur OM ON
t
3
2t
1
,ln t
,
3
3t

依题意可得 ln t
0,
3t
1
1 1 3t 1
设 g(t )
ln t
,则 g (t) 3t
t
3t2
3t 2 ,
当 0 t 1 时 , g (t ) 0 ,则 g(t) 单调递减；当 t 3
1 时 , g (t) 3
∴ 2sin A cosC sin B cosC sin C cos B sin( B C ) sin A ，
三角形中 sin A 0 ，∴ cosC 1 ，∴ C
．
2
3
故选： C．
【点睛】
本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．
4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投
B ．单调递减
C ．先递减后递增
D．先递增后递减
先用诱导公式得 f (x) sin x
cos x
,再根据函数图像平移的方法求解即可 .
6
3
【详解】
函数 f ( x)
sin x 6
cos x
的图象可由 y cos x向左平移 个单位得到 ,如图所示 , f ( x) 在
3
3
π ,
π
上先递减后递增
.
2
故选： C
故选： D．
【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
【详解】
解：设 P x0 , y0 ， A1 a,0 ， A2 a,0 ，
∵ k k PA1 PA2 3 ，
∴ y0 · y0 x0 a x0 a
3 ，即 y02
3 x02
3a 2 ，①
又 x02 a2
y02 b2
1 ，②，
由①②可得 b2 3a 2 x02 a2 b 2 3a 2 ，
∵ x0 a ， ∴ b2 3a2 0， ∴ b2 3a2 c2 a2 ， ∴ c 2a ， 即 e 2，
入． 某研究机构统计了 2010 年至 2018年国家财政性教育经费投入情况及其在 GDP 中的占比数据， 并将
其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（
）
A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B． 2012 年以来，国家财政性教育经费的支出占 GDP 比例持续 7 年保持在 4% 以上
0 ,则 g(t) 单调递增 ,
所以 g (t )min
1 g
3
1 1 ln 3 0 ,且 g e2
e2
1
2
0, g (1)
0,
3
3
1
g(t ) ln t
0 有两个不同的解 ,所以曲线 G 上的 “水平黄金点 ”的个数为 2.
3t
故选 :C
【点睛】 本题考查利用导函数处理零点问题
,考查向量的坐标运算 ,考查零点存在性定理的应用 .
【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解 .属于基础题 .
2．点 M 在曲线 G : y
3ln x 上，过 M 作 x 轴垂线 l ，设 l 与曲线 y
1
uuur
交于点 N ， OP
x
uuuur uuur OM ON ，
3
且 P 点的纵坐标始终为 0，则称 M 点为曲线 G 上的 “水平黄金点 ”，则曲线 G 上的 “水平黄金点 ”的个数为
（
）
A．0 【答案】 C
B．1
C．2
D． 3
【解析】
【分析】
设 M (t, 3ln t) ,则 N
1 t,
uuur ,则 OP
t
2t
1
1
1
,ln t
,即可得 ln t
0 ,设 g(t) ln t
,利用导函数判
3
3t
3t
3t
( ) 断 g t 的零点的个数 ,即为所求 .
【详解】
设 M (t, 3ln t) ,则 N
41万亿元， 2018 年中国 GDP 为
3.55%
3.6990 90 万亿元，则从 2010年至 2018 年，中国 GDP 的总值大约增加 49 万亿，故 C 项错误．
4.11%
【点睛】
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
5．已知复数 z 满足 z z 0 ，且 z z 9 ，则 z （ ）
3． VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c ，若 (2a b)cos C c cos B ，则内角 C （ ）
A． 6
B．
4
C． 3
D．
2
【答案】 C
【解析】 【分析】
由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．
【详解】
∵ (2 a b)cos C c cos B ，由正弦定理可得 (2sin A sin B)cos C sin C cos B ，
所以 z 3 ,
故选 :C 【点睛】 本题考查复数的乘法法则的应用 ,考查共轭复数的应用 .
x2 6．已知双曲线 C : a 2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左、右顶点分别为
A1、 A2 ，点 P 是双曲线 C 上与 A1、 A2 不
重合的动点，若 k k PA1 PA2 3 ， 则双曲线的离心率为 (
湖北省荆门市 2021 届新高考数学第一次调研试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．关于函数 f ( x) sin x
在区间 π, π 的单调性，下列叙述正确的是（
）
6
2
A ．单调递增 【答案】 C 【解析】 【分析】
C．从 2010 年至 2018 年，中国 GDP 的总值最少增加 60 万亿
D．从 2010 年到 2018 年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是
2012 年
【答案】 C
【解析】
【分析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
1.4670
由表易知 A 、 B 、 D 项均正确， 2010 年中国 GDP 为
A．3
B ． 3i
C． 3
【答案】 C
【解析】
D． 3i
【分析】
设 z a bi ,则 z a bi ,利用 z z 0 和 z z 9 求得 a , b 即可 .
【详解】
设 z a bi ,则 z a bi ,
因为 z z 0 ,则 a bi a bi 2bi 0 ,所以 b 0 ,
又 z z 9 ,即 a 2 9 ,所以 a 3 ,
)
A． 2
B． 3
C．4
D． 2
【答案】 D 【解析】
【分析】
设 P x0 , y0 ， A1
a,0 ， A2 a,0 ，根据 k k PA1 PA2
3 可得 y02
3x02
3a 2 ①，再根据又
x02 a2
y02 b2
1 ②，
由①②可得 b2 3a 2 x02 a2 b 2 3a 2 ，化简可得 c 2a ，即可求出离心率．