数学思想

奇解
奇解不能通过给积分常数以一个确定值的 方法从通解得到；这就是说，它不是特解。 Brook Taylor 在求解一阶二次方程时观察到 的。 Leibniz看到的是：一个解族的包络也是一 个解。Clairaut和Euler对奇解作了更加完整 的讨论。 Clairaut处理了现在以他名字命名的方程
3b2


Jacob Bernoulli在1690年提出了一个问题：一个 柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点，求这 弦所形成的曲线。Leibniz称此曲线为悬链线。 John Bernoulli用微积分的方法给出了解答，并且 在微积分教本中有完整的阐述，这就是现代在微 积分与力学中所采用的那个讲法，它建立在微分 s 方程 dy
Euler开始考虑二阶方程，这是由他的力学 工作引起的。成就：1、为普鲁士国王研究 了空气阻力对投射体的影响。这里他接受 并改进了英国人Benjamin robins的工作， 搞了一个德文的译本。这个德文译本又翻 译成英文与法文，并且为炮兵学所用。2、 考虑了一类二阶方程，利用变量替换把它 们化到一阶方程。 这部分工作有历史意义，因为它开始了二 阶方程的系统研究，而且因为Euler在这里 引进了指数函数，我们将看到，它在求解 二阶
除了个别情况外，有关方程组方面的著作主要是 讨论天文学的问题。列出微分方程的基础是牛顿 的第二运动定律 f =ma Euler在1750年的一篇论文中给出Newton第二定 律的分析形式。 在这个引力相互吸引下两个球体的运动问题，是 有Newton在《原理》中用几何方法解决的。在力 学方面，法国人追随了Descartes的系统，一直到 Voltaire在1727年访问伦敦之后，才宣扬Newton 的体系，甚至在剑桥还继续用Descartes的信徒 Jacob Rohault的科教书教授自然哲学。

Bernoulli 家族

伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family在一 个家族中，连续出过十余位数学家，堪称是数学 史上的一个奇迹。瑞士伯努利数学家族（17—18 世纪）就创造了这样一个神话。伯努利家族，原 籍比利时安特卫普。1583年遭天主教迫害迁往德 国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。其中以雅各 布第一· 伯努利（Jacob Bernoulli），约翰第一· 伯 努利（Johann Bernoulli），丹尼尔第一· 伯努利 （Daniel Bernoulli）这三人的成就最大。
dx

=
c
Jacob发表了一个证明：一根给定的绳子悬挂在 两固定点，它能取的所有形状中，以悬链线的重 心为最低。
1691年，Jacob Bernoulli推导出跟踪曲线 的方程 。 Leibniz想到了常微分方程的变量分离法。 John Bernoulli将这些所有的概念——变量 分离与齐次方程的求解进行了完整的说明。 Leibniz证明如何把线性一阶常微分方程化 成积分。 Jacob Bernoulli提出了求解现在叫Bernoulli 方程的问题。Leibniz进行了证明。John Bernoulli给出了另一种解法。

高阶方程
1734年，Daniel Bernoulli给当时在圣彼得 堡的Euler写信说，他已经解决了一端固定 在墙上而另一端自由的弹性横梁（钢的或 木的一维物体）的横向位移问题。 Euler回信说，他也已发现了这个方程，而 对这个方程，除了用级数外无法积分，他 确实得到了四个独立的级数解。但是当时 Euler没有了解到，这些级数代表圆函数和 指数函数。

Jacob Bernoulli是用微积分求常微分方程问 题分析解的先驱之一。 1690年他发表了他 关于等时问题的解答。问题是：求一条曲 线，使得一个摆沿着它作一次完全的振动， 都取相等的时间，不管摆所经历的弧长的 大小。这个微分方程，用Bernoulli的记号写 dy b 2 y -a 3 =dx Bernoulli由微分等式 a3 出为: 得出结论:两端的积分必须相等，并且给出 2b2 y -2a3 2 3 了解答: b y -a =x a3




Newton用理论推断出地球的赤道半径比极半径超 过1/230。 欧洲的科学家想加以核实。方法是测量赤道附近 和极点附近纬度一度所跨经线的长度。Jacques cassini进行了测量，在1720年给出了相反的结果， 他们发现两极之间的直径比赤道的直径大了1/95。 法国科学院想澄清这个问题，派了两个探险队。 其中pierre L.M.de maupertuis对中数学家alexisclaude clairaut，他们的测量证实了地球在两极是 扁平的，他们的值是1/178。

Lagrange对奇解与通解的联系做出了系统 的研究。他给出一般的方法，用明确而漂 亮的手法从通解消去常数而得到奇解，这 超过了Laplace的贡献。 最后Lagrange给出奇解是积分曲线族的包 络的几何解释。在奇解的理论中，有些特 殊的困难是他没有认识到的。比如：别的 奇异曲线，但不是奇解。一个奇解可以包 括一支特解。
个人传
Lagrange 是法国和意大利血统的人。他在 早年就被公认为那个时代的最大数学家之 一。 Lagrange的工作涉及许多数学分支— —数论，代数方程论，微积分，微分方程 和变分法。 Pierre-Simon de Laplace 出生于诺曼底的 皮奥蒙镇。Laplace还在青年时代就发表了 丰硕的成果。在革命期间，他是度量衡委 员会的委员 。革命后，他是师范学院的教 授。



雅各布1654年12月27生于巴塞尔，1705年8月16 日卒于同地。在概率论、微分方程、无穷级数求 和、变分方法、解析几何等方面均有很大建树。 例如悬链线问题（1690年）， “伯努利微分方程” （1695年）。 约翰，1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1 日卒于同地。雅各布之弟。约翰是一位多产的数 学家，他的大量论文涉及到曲线的求长、曲面的 求积、等周问题和微分方程。例如解决悬链线问 题（1691年），研究弦振动问题（1727年） 。 丹尼尔，1700年2月9日生于荷兰格罗宁根，1782 年3月17日卒于巴塞尔 。作为伯努利家族博学广 识的代表，他的成就涉及多个科学领域。

Lagrange 在研究了常系数常微分方程之后， 对变系数的方程也迈出了一步。 在对变系数齐次线性常微分方程的进一步 的工作中，Lagrange把Euler对常系数线性 微分方程得到的某些结果推广到这些方程。 Lagrange发现，齐次方程的通解是由一些 独立的特解分别乘以任意常数后相加而成 的，而且在知道了n阶齐次方程的m个特解 后，可以把方程降低m阶。
十八世纪的常微分方程
一阶常微分方程 奇解 二阶方程与Riccati方程 高阶方程 级数法 微分方程组 个人传

常微分方程的兴起
数学家谋求用微积分解决越来越多的物理 问题，但是他们很快发现不得不对付一类 新的问题。某些困难的问题不能引出积分 有几类物理问题促进了微分方程的研究， 其中一类就是现在通常称为弹性理论这一 领域中的物体。 摆的问题，即圆周摆的精确微分方程。摆 的问题密切联系着十八世纪的另外两项研 究：地球的形状和引力的平方反比律的验 证。
一阶常微分方程
Euygons在1693年的《教师学报》中明确 说到了微分方程，Leibniz在同年的《教师 学报》的另一篇文章中称微分方程为特征 三角形的边的函数。 我们通常首先学到的关于常微分方程的观 点，即由给定的函数及其导数中消去任意 常数后得到微分方程，这个观点大约在 1740年才有Alexis Fontaine des Bertins提 出来。

Daniel Bernoulli，在1733年离开圣· 彼得堡 之前，完成了一篇论文《关于用柔软细绳 联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线 的振动定理》。 Daniel Bernoulli在认识弦振动的谐音或高 阶模式方面超过了Taylor和他的父亲。 Daniel Bernoulli 关于悬链线的论文还讨论 了非均匀厚度的振动链。但是他的解答中 有两点失误：1、不提位移是时间的函数， 这样一来，他的工作在数学上就停留在常 微分方程的范围；2、不提他认识到的那些 实在的简单运动模式可以迭加成更负责的 运动。

领导这一世纪的物理研究领域是天文学。 Newton已经解决了所谓的二体问题：在太阳的引 力作用下，一个单一的行星的运动，考虑时把两 个物体都理想化成质点。同样提出了三体问题： 月球在太阳和地球引力作用下的性态。Newton在 《原理》中构造了微分方程的解，但是还有待于 翻译成分析的形式。（优秀的法国数学家和物理 学家Pierre Varignon在进行把动力学从几何学的 束缚下解放出来的探索中开始这个工作。）1676 年《专论》中，讲到微分方程的解在x的一个n-1 次多项式的范围内是任意的。在1694年给David Gregory的一封信中，说明了他是怎样得到他的结 果，并且在说明中用了微分方程。

总结
为了解决最初只不过涉及到一些积分的物 理问题，逐渐引导一个新的数学分支的出 现，即常微分方程的建立。 对解的理解与寻求，在本质上逐渐起了变 化。 探索常微分方程的一般积分方法大概到 1775年终止。 总的来说，常微分方程这门学科还是各种 类型的孤立技巧的汇编。


级数法
Newton利用了级数去积分稍为复杂一点的 函数，其中甚至只牵涉到求曲线下的面积 问题。他也利用级数去求解一阶方程。 大约在1750年以后，Euler把级数方法提到 了重要的位置，用来求解那些不能以紧凑 形式积分的微分方程。虽然他求解的是特 殊的微分方程，而且细节往往是复杂的， 但是他的方法就是我们现在采用的方法。

二阶方程与Riccati方程

二阶方程早在物理问题中就出现了， Bernoulli研究了船帆在风力下的形状问题， 即膜盖问题，引出了一个二阶方程 d 2 x ds 2 =( dy ds )3