立体几何初步空间几何与点线面课后限时作业(五)含答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为
9
4
,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为
（ ）
A ．512π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π
（2020年普通
高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）） 2．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a 且长为a 的棱与长为2的棱
异面,则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(0,3)
C ．(1,2)
D ．(1,3)（2020重
庆文）
3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（ B ） Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上(2020江西文)
4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积是V ，P.Q 分别是侧棱AA 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-A PQC 的体积为（ ）
A.V 6
1
B.V 4
1 C.V 3
1 D.V 2
1 (2020全国3理)
5．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
A ．1
B ．3
C ． 2
D ．3(2020全国II 理 【答案解析】C
6．若空间三条直线a 、b 、c 满足,//a b b c ⊥，则直线a c 与 （ ） A ．一定平行
B ．一定相交
C ．一定是异面直线
D ．一定垂直
7．A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）无数个 （D ）以上都有可能
8．两个平面重合的条件是（ ）
(A)有三个公共点 (B)有两条公共直线 (C)有无数多个公共点 (D)有一条公共直 9．如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是1AB AA 、的中点，则平面1C EB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值为（ ） A ．
1
2
B ．
22
C ．
32
D ．1
10．用一个平面截一个正方体，对于{三角形，四边形，五边形，六边形}四种形状中，借口可能出现的形状有（ ） A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
11．设,a b 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：①若
E
F D 1
C 1
B 1
A 1A
C
B
D
,,a b a α⊥⊥
b α⊄，则//b α；②若//,a ααβ⊥，则a β⊥；③若,a βαβ⊥⊥，则//a α或a α⊂；
④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥．其中正确的命题是_____ ____（请把所有正确命题的序号都填上）．
12．下列命题正确的是 .
,,a b l 表示直线，,,,αβγθ表示平面.
（1）a ⊥l ，b ⊥l ，则a ∥b ；（2）a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α；
（3）l ∥a ，a ⊥α，b ⊥α，则l ∥b ； （4）α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； （5）α⊥β，γ⊥α，θ⊥β，则γ⊥θ；
（6）a b ∥，b α⊂，则
a α∥．
13．已知直线a b 、、,,.a b a b A a b A a '''''==、与b 所成的锐角（或直角）为θ，a '与b '所成的锐角（或直角）为θ'，则//a a '且//b b '是θθ'=的_________________条件
14．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系为____
15．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 ▲ cm /s ．
16．已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于
评卷人
得分
三、解答题
第13题图
17．如图, 的直径，是圆O AB 上的点，是圆O C 所在平面，垂直于圆O PA PB AE ⊥于，E F PC AF 于⊥ 求证: (1) AF BC ⊥ ； (2) PAB AEF 平面平面⊥ (3) 2=AB , 2=BC , 6=PB ,求三棱
锥ABC P -的全面积（14分）
18．如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.
(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求点.A PCD
到平面的距离 （2020年高考大纲卷（文））
19．如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1
6AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积. （2020年高考
课标Ⅰ卷（文））
C 1
B 1
A
A 1
B C
20．野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为
cm 350.
（1）求斜杆PC 与地面ABC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；
P
A
B
C
E
F
（2）将炊事锅看作一个点Q ，用吊绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅Q 到地面ABC 及各条斜杆的距离都不小于30cm ，试问吊绳PQ 长的取值范围. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
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评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．C 3．ABCD
解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A ，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。

故选B 4．C 5． 6． 7． D
8． 9． 10．
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
11．①、③、④ 12．（3） 13．
D
O
P
B
C
A
Q
14． 15．
9100
16．
37
7
评卷人
得分
三、解答题
17．
18．(Ⅰ)证明:取BC 的中点E,连结DE,则ABED 为正方形.
过P 作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.
由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥. 因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD ⊥.
(Ⅱ)解:取PD 的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PB CD ⊥,故OF CD ⊥. 又1
22
OD BD =
=,222OP PD OD =-=, 故POD ∆为等腰三角形,因此,OF PD ⊥. 又PD
CD D =,所以OF ⊥平面PCD.
因为AE//CD,CD ⊂平面PCD,AE ⊄平面PCD,所以AE//平面PCD. 因此,O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,而1
12
OF PB ==, 所以A 至平面PCD 的距离为1.
19．(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、1A B ,因为CA=C B,所以OC AB ⊥,由
于AB=A A 1,∠BA A 1=600
,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.
因为OC ⨅OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1CC 平面OA 1C,故AB ⊥AC. (II)由题设知
12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为的等边三角形，所以
2
2111
113,6.OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又，则，故 111111111,-3-= 3.
ABC
ABC
OC
AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S
A B C V S
OA =⊥∆=⨯=因为所以平面，为棱柱的高，
又的面积，故三棱柱ABC 的体积
20．（1）设P 点在平面ABC
上的射影为点O ，连接
CO ，
50=CO ，……………3分 在Rt △POC 中，135cos =
∠PCO ，所以13
5
arccos =∠PCO .…5分 即PC 与底面ABC 所成角的大小为13
5
arccos .……6分 （2）在Rt △POC 中，解得120=PO ， 作PC QD ⊥交PC 于D 点， 由30≥QD ，得7813
5
30
sin =≥∠=
QPD QD PQ .……11分
又9030120=-≤PQ ,………………………………13分 故吊绳长度的取值范围为]90,78[.……………………14分。