2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆专项测试试题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到
△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）
A．10 B．C．D．
2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为
（）
A．3 B．2 C．1 D
4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（）
A．25°B．80°C．130°D．100°
5、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）
A．70°B．50°C．20°D．40°
AB cm，则水的最大6、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8
深度为（）
A ．1cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．4cm
7、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）
A 3π
B 3π-
C 23π-
D ．23
π
10、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（ ）．
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，过⊙O 外一点P ，作射线PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，50P ∠=︒，点C 在劣弧AB 上，过点C 作⊙O 的切线分别与PA ，PB 交于点D ，E ．则DOE ∠=______度．
2、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．
3、如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A =___________°．
4、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为
∠BAC＝________度．
5、如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为________cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
ADF绕点ABH，由
得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ︒∠=∠=，进而可证明AEH AEF ≌，故
EF BE DF =+．
任务：
如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，以A 为顶点的60EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
2、如图，ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接CD ，点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点．
（1）请你判断PMN的形状，并证明你的结论．
△周长的最大值与最小值．
（2）将ADE绕点A旋转，若8,3
==，请直接写出MNP
AB AD
3、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．
（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．
4、在等边ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若2
AB=，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD AB BE
+的值． 5、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA ＝∠C ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）连接OP ，若OP ∥BC ，且OP ＝8，⊙O 的半径为3，求BC 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
首先运用勾股定理求出AC 的长度，然后结合旋转的性质得到AB = AB '，BC = B 'C '，从而求出B 'C ，即可在Rt △B 'C 'C 中利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，
∴10AC =，
由旋转性质可知，AB = AB '=6，BC = B 'C '=8，
∴B 'C =10-6=4，
在Rt △B 'C 'C 中，CC '=
故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．
2、D
【详解】
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3、B
【分析】
连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】
解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CD AB，垂足为点E，CD=8，
∴118422CE CD ==⨯=，
∵5AO CO ==，
∴3OE ，
∴532AE =-=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．
4、D
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠B 的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠B +∠ADC =180°，
∵∠ADC =130°，
∴∠B =50°，
由圆周角定理得，∠AOC =2∠B =100°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
6、B
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=8cm，
∴BD=1
2
AB=4（cm），
由题意得：OB=OC=1
10
2
⨯=5cm，
在Rt△OBD中，OD3
=（cm），
∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），
即水的最大深度为2cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.
【详解】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.
8、B
【详解】
解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
9、A
【分析】
连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12
ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC
中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形
面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】
解：连结OC ，
∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，
∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，
∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，
∴∠ACD =90°-∠B =60°，
∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，
在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =
在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，
∴OD =OA =1，DC =AC
∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，
S 阴影=1133
AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．
【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．
10、B
【分析】
连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
【详解】
解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=1
2∠AOP=1
2
×50°=25°．
故选：B．【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
二、填空题
1、65
【分析】
连接OA ，OC ，OB ，根据四边形内角和可得130AOB ∠=︒，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO 平分ADC ∠，EO 平分BEC ∠，再由各角之间的数量关系可得AOD COD ∠=∠，COE BOE ∠=∠，根据等量代换可得12
DOE AOB ∠=∠，代入求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接OA ，OC ，OB ，
∵PA 、PB 、DE 与圆相切于点A 、B 、E ，
∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，OC DE ⊥，
∵50P ∠=︒，
∴180130AOB P ∠=︒-∠=︒，
∵OA OB OC ==，
∴DO 平分ADC ∠，EO 平分BEC ∠，
∴ADO CDO ∠=∠，CEO BEO ∠=∠，
∴AOD COD ∠=∠，COE BOE ∠=∠， ∴1
1165222
DOE COD COE AOC BOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，
故答案为：65．
【点睛】
题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2、2π3
【分析】
根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．
【详解】
解：如图，AC ⊥OB ，
∵圆心角为60°，OA =OB ，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OC =12OB =1，
∴AC =
，
∴S △OAB =12OB ×AC =1
2
∵S 扇形OAB =2602360
π⨯=2π3，
∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3
故答案为：2π3
【点睛】
本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
3、40°度
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：BOC ∠与BAC ∠是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC ∠=︒，
1402
A BOC ∴∠=∠=︒． 故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、60
【分析】
在Rt △BOE 中，利用勾股定理求得OE =1，知OB =2OE ，得到∠BOE =60°，∠BOC =120°，再利用圆周角定理即可解决问题．
【详解】
解：如图作OE ⊥BC 于E ．
∵OE⊥BC，
∴BE=EC BOE=∠COE，
∴OE=1，
∴OB=2OE，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
5、
【分析】
⊥，OD=CD；再根据垂径定理确定连接OC交AB于点D，再连接OA．根据轴对称的性质确定OC AB
AD=BD；再根据勾股定理求出AD的长度，进而即可求出AB的长度．
【详解】
解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA．
∵折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，
⊥，OD=CD．
∴OC AB
∴AD=BD．
∵圆形纸片的半径为10cm，
∴OA=OC=10cm．
∴OD=5cm．
∴
AD=．
∴BD=．
∴AB AD BD
=+=．
故答案为：
【点睛】
本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
三、解答题
1、成立，证明见解析
【分析】
根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．
【详解】
解：成立．
证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，
ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，
180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，
60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．
AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，
()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，
EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．
【点睛】
本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．
2、
（1）MPN ∆是等腰直角三角形，证明见解析
（2）MNP ∆ 【分析】
（1）连接BD ，CE ，根据SAS 证明BAD CAE ∆≅∆得BD=CE ，根据三角形中位线性质可证明PM=PN ；90MPN ∠=︒，进而可得结论；
（2）当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时
MNP ∆周长最大，均为2)PN ，求出BD 的长即可解决问题．
（1）
连接BD ，CE ，如图，
∵AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴90,90BAD CAD CAE CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒
∴BAD CAE ∠=∠
∴BAD CAE ∆≅∆
∴BD=CE，ABD ACE ∠=∠
∵点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点
∴MP //EC ，12MP CE =，PN//BD ，PN=1
2BD
∴PM=P N ，,NPD DCE DPN PNC PCN ∠=∠∠=∠+∠
∵PN//BD
∴∠PNC=∠DBC
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90° ∴MP PN ⊥
∴MPN ∆是等腰直角三角形；
（2）
由（1）知，MPN ∆是等腰直角三角形
∴
MN
∴MPN ∆的周长为22)MN PN PM PN PN ++=+= ∵12
PN BD =
∴MPN ∆ 当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，
∵AB=8，AD=3
∴BD 的最小值为AB-AD=8-3=5
∴MNP ∆ 当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时MNP ∆周长最大，
∴BD=AB+AD=8+3=11
∴MNP ∆ 【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
3、
（1
（2 【分析】
（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；
②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．
（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，
根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，PG =的面积公式即可得到结论．
（1） 解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，
CB CE ∴=，
EBC BEC ∴∠=∠，
又//AD BC ，
EBC BEA ∴∠=∠，
BEA BEC ∴∠=∠，
BE ∴平分AEC ∠；
②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，
BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，
AB BQ ∴=，
CG BQ
∴=，
90
BQH GCH
∠=∠=︒，BQ AB CG
==，BHQ GHC
∠=∠，
()
BHQ GHC AAS
∴∆≅∆，
BH GH
∴=，
即点H是BG中点，
又点P是BC中点，
//
PH CG
∴；
③解：如图2，过点G作BC的垂线GM，
22
BC AB
==，
1
BQ
∴=，
30
BCQ
∴∠=︒，
90
ECG
∠=︒，
60
GCM
∴∠=︒，
1
CG AB CD
===，
GM ∴=
1
2 CM=，
BG ∴=（2）
解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，
24BC AB ==，
2AB ∴=，
将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，
4CE BC ∴==，2CD AB ==，
点A ，E ，D 第二次在同一直线上，
90CDE ，
12
CD CE ∴=， 30DEC ∴∠=︒，
60DCE ∴∠=︒，
30NCG ∴∠=︒，2CG =，
1NG ∴=，PG =
5DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+BG
2DBG S DM BG ∆∴= 【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．
4、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3 【分析】
（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =
进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =
（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；
（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据
22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得
CD AB BE +的值 【详解】
（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图
将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，
,120BD DE BDE ∴=∠=︒
30DBE DEB ∴∠=∠=︒ ABC 是等边三角形
60,ABC AB AC ∴∠=︒=，112
AH AB =
=
CH ∴=30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒
BD AC ∴⊥，112
AD DC AB ===
BD ∴=60BAC ∠=︒
120EAD ∴∠=︒
18030ADE EAD AED ∴∠=︒-∠-∠=︒ AED ADE ∴∠=∠
1AE AD ∴==
在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =
EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，
点F是CE的中点
∴=
FE FC
又FK DF
=
∴四边形CDFK是平行四边形
∥
∴=，ED KC
ED KC
∴EDA KCA
∠=∠
将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴=∠=︒
BD DE BDE
,120
∴=
BD KC
ABC是等边三角形
∴=
AB AC
∥
PD BC
∠=∠，
60
∴∠=∠=︒，CBD PDB
APD ABC
∴是等边三角形
APD
AD AP ∴=
AB AC =
DC PB ∴=
设CBD α∠=，则PDB α∠=,
∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+ ()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒- ED KC ∥
60ACK ADE α∴∠=∠=︒-
ABD ACK ∴∠=∠
∴ABD ACK ≌
AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒ AKD ∴是等边三角形
DF FK =
1302
FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12
DF AD ∴= 即2AD DF =
（3） 如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，
90GMD GFD ∴∠=∠=︒
,,,B D F G ∴四点共圆
FGD FMD ∴∠=∠
由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒
60ADF ∴∠=︒
FG FD =
45FDG FGD ∴∠=∠=︒
45FGD FMD ∠=∠=︒
将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，
,120BD DE BDE ∴=∠=︒
12
MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，
MF ∴是EBC 的中位线
MF BC ∴∥
45EBC EMF ∴∠=∠=︒
60ABC ∠=︒
604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒
NBD ∴是等腰直角三角形
ND NB ∴=
60BAC ∠=︒
90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒
90,AFD DN AB ∠=︒⊥
∴四边形ANDF 是矩形
ND AF ∴=，AN DF =
设1AN DF ==
在Rt ADE △中，22AD DF ==
AF ∴
1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=
121DC AC AD AB AD ∴=-=-==
在Rt NBD 中,ND NB AF ===
BD ∴==
在Rt MBD 中MB ==
2BE BM ∴==
22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)
211=+=
CD AB BE +=∴
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．
5、
（1）见解析
（2）94
【分析】
（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论； （2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．
（1）
证明：连接OB ，如图所示：
AC 是O 的直径，
90ABC ∴∠=︒，
90C BAC ∴∠+∠=︒，
OA OB =，
BAC OBA ∴∠=∠，
PBA C ∠=∠，
90PBA OBA ∴∠+∠=︒，
即PB OB ⊥，
PB ∴是O 的切线；
（2）
解：O 的半径为3，
3OB ∴=，6AC =，
//OP BC ，
CBO BOP ∴∠=∠，
OC OB =，
C CBO ∴∠=∠，
C BOP ∴∠=∠，
又90ABC PBO ∠=∠=︒，
ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP
=， 即
863BC =， 94
BC ∴=． 【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．。