状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：3.7正弦

3.7 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b
，则B 的值为( ) A. 30° B. 45°
C. 60°
D. 90°
2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )
A ．2 3
B ．2
C. 2 D ．1
3．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．(2015·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，则角C 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π4
D.5π6
5．(2015·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )
A ．(2，3)
B ．(1，3)
C ．(2，2)
D ．(0，2)
解析：1．B 2.B 3.C 4.B 5.A
二、填空题 6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14
，则b ＝________． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3
，a ＝3，若给定一个b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为________．
8．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．
答案：6．4 7.(0，3]∪{2} 8.6－24
三、解答题
9．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.
(1)求角C 的大小；
(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22
sin A sin B ，求sin A 及c 的值．
解析：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，
即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22
.
又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4
. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2，
∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15
sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22
sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴ab sin A sin B
sin C ＝2， 由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
(1)若c ＝2，C ＝π3
，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．
解析：(1)∵c ＝2，C ＝π3
， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝4.
又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，
得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，
即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，
∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，
当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2
，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，
由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
11．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3
，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．
(1)若λABC 为直角三角形；
(2)若AC ＝98
λ2，且c ＝3，求λ的值．
解析：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ， 由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，
∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32
， sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32
， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝
⎛⎭⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，则B ＝π6或B ＝π2
. 若B ＝π6，则A ＝π2
，△ABC 为直角三角形； 若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形． (2)若AC ·BC ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94
λ2. 又a ＋b ＝3λ，由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，
故9λ2－274
λ2＝9，解得λ＝2.。