一元二次方程的判别式
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解下列方程，并完成下表。
⑴ x 2x 3 0 ⑵ x 2x 1 0 ⑶ x 2x 2 0
2
2
2
方程
b2－4ac
x1
－1 1
x2
3
x 2x 3 0
2
16 0 －4
x 2x 1 0
2
1
x 2x 2 0
2
无实数解
⑴观察表格中的数据，猜想b2－4ac 解下列方程，并完成下表。 的值与方程根的情况之间的关系。
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
2－4ac叫 a、b、c可以计算出b2－4ac 的值， 把b的系数 做一元二次方 根据这个值为正数、零或负数，不解方程就 程根的判别式 可以判定方程实数根的情况。 用△来表示
当b2－4ac
这些， 反过 来也 成立
>0 时
方程有两个不相 等的实数根
当b2－4ac =0 时
2
2
实数根，则k = 0或24 . ⑷ 如果关于x的方程 x 2 x c 0 没有实数 根，则c的. 关于x的一元二次方程 kx 6 x 1 0 有两个实数根，则k的取值范围是( C )
2
A. k>9
B. k<9
C. k≤9且k≠0
D. k<9且k≠0
2
( x m) n 的形式。
2
b c b b 配方，得 x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac 即 x 2 2a 4a
2
思考
根据变形所得的方程
b b 4ac 你能不解方程 x 2 2a 4a
⑶ 5( x 1) 7 x 0
2
例：不解方程，判别方程的根的情况：
2 解此类题目的步骤： ⑴
2x 3x 4 0
解⑶ 方程变形为
5x 7x 5 0
2
⑴ 化为一般形式，确 定a、2 b、c的值； ⑵ 16 y 9 24 y
因为
b 4ac
2
2
⑵ 计算△的值，确定 △的符号； 2 ⑶ 5( x 1) 7 x 0 ⑶ 判别根的情况，得 出结论。
x 1 0 x 2 x 2 0 3 0 ⑵x 2 ⑴ x 2 x 一元二次方程 ⑶ 2 ax +bx+c=0 (a≠0)
2
2
2
⑵ 你猜想的结论，对一般的一元二次方程 方程 b2－4ac x x 1 2 都成立吗？
x 2x 3 0
2 2
当b2－4ac
16 >0 时
当b2－4ac<0 时
方程有两个相等 的实数根
方程没有实数根
例：不解方程，判别方程的根的情况：
⑴
2x 3x 4 0
2
2
解：
⑴ 因为
b 4ac
2
⑵ 16 y 9 24 y
3 4 2 ( 4)
2
9 32 0
⑶ 5( x 1) 7 x 0
2
2.试说明不论k取何值,方程 ( x 1)( x 3) k 3
有两个不相等的实数根.
证明：方程变形为
x 2x k 0
2 2
2
4 4k
2
因不论k为任何实数，
4 4k 的值总是大于0， 即 0
∴ 不论k取何值,原方程有两个不相等的实数根.
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
2
所以方程有两个不 相等的实数根。
例：不解方程，判别方程的根的情况：
⑴
2x 3x 4 0
2
2
解⑵ 方程变形为
16 y 24 y 9 0
2
⑵ 16 y 9 24 y
因为
b 4ac
2
2
( 24) 4 16 9
576 576 0
所以方程有两个相 等的实数根。
2
(4) x 2 x 3 0
2
巩固练习
⑴ 方程 4 x 3 x 2 0 的根的判别式是 9 32 0 ,它的根情况是 没有实数根 .
2
2
⑵ 已知方程 2 x mx 1 0 的判别式的值是
16，则m= 2 6 .
⑶ 方程
9 x (k 6) x k 1 0 有两个相等的
2
m 12m 20
2
m 12m 20 0
2
m1 10 , m2 2.
巩固练习
1.不解方程，判断方程的根的情况
(1) x 5 x 6 0
2
有两个不相等的实数根
(2)3x 4 x 5
2
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根 没有实数根
(3)3x 6 x 3 0
( 7 ) 4 5 5
49 100 0
所以方程没有实数根。
例2：m取什么值时，关于x的方程
2 x (m 2) x 2m 2 0 有两个相等的
2
实数根？
解：b 4ac (m 2) 4 2 (2m 2)
2 2
m 4m 4 16m 16
把b2－4ac叫做根的判别式，记作 “△”
当b2－4ac >0 时 当b2－4ac =0 时
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
当b2－4ac<0 时
方程没有实数根
1. 不解方程判别方程根的情况。 2 2 ⑴ x x 2 ⑵ ( x 1) 2 x 3 ⑶ x kx 2 0
方程有两个不相 3 －等的实数根 1
2－4ac =0 时 当 b 0 x 2x 1 0 2－ 4 <0 时 当 b 4ac x 2x 2 0 －
2
方程有两个相等 1 1 的实数根
无实数解 方程没有实数根
把一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 化成
b c ∵ a≠0 方程两边都除以a，得 x x 0 a a b c 2 x x 移项，得 a a
2
2
说出它的根的情况吗？ ⑴ 当b2－4ac>0 时,方程右边是一个正数 方程有两个不相等的实数根. 2 2 b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a ⑵ 当b2－4ac=0 时,方程右边是0 , b, ⑶ 当b2－4ac<0 时,方程右边是一个负数 方程有两个相等的实数根. x1 x2 2a 方程没有实数根.
⑴ x 2x 3 0 ⑵ x 2x 1 0 ⑶ x 2x 2 0
2
2
2
方程
b2－4ac
x1
－1 1
x2
3
x 2x 3 0
2
16 0 －4
x 2x 1 0
2
1
x 2x 2 0
2
无实数解
⑴观察表格中的数据，猜想b2－4ac 解下列方程，并完成下表。 的值与方程根的情况之间的关系。
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
2－4ac叫 a、b、c可以计算出b2－4ac 的值， 把b的系数 做一元二次方 根据这个值为正数、零或负数，不解方程就 程根的判别式 可以判定方程实数根的情况。 用△来表示
当b2－4ac
这些， 反过 来也 成立
>0 时
方程有两个不相 等的实数根
当b2－4ac =0 时
2
2
实数根，则k = 0或24 . ⑷ 如果关于x的方程 x 2 x c 0 没有实数 根，则c的. 关于x的一元二次方程 kx 6 x 1 0 有两个实数根，则k的取值范围是( C )
2
A. k>9
B. k<9
C. k≤9且k≠0
D. k<9且k≠0
2
( x m) n 的形式。
2
b c b b 配方，得 x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac 即 x 2 2a 4a
2
思考
根据变形所得的方程
b b 4ac 你能不解方程 x 2 2a 4a
⑶ 5( x 1) 7 x 0
2
例：不解方程，判别方程的根的情况：
2 解此类题目的步骤： ⑴
2x 3x 4 0
解⑶ 方程变形为
5x 7x 5 0
2
⑴ 化为一般形式，确 定a、2 b、c的值； ⑵ 16 y 9 24 y
因为
b 4ac
2
2
⑵ 计算△的值，确定 △的符号； 2 ⑶ 5( x 1) 7 x 0 ⑶ 判别根的情况，得 出结论。
x 1 0 x 2 x 2 0 3 0 ⑵x 2 ⑴ x 2 x 一元二次方程 ⑶ 2 ax +bx+c=0 (a≠0)
2
2
2
⑵ 你猜想的结论，对一般的一元二次方程 方程 b2－4ac x x 1 2 都成立吗？
x 2x 3 0
2 2
当b2－4ac
16 >0 时
当b2－4ac<0 时
方程有两个相等 的实数根
方程没有实数根
例：不解方程，判别方程的根的情况：
⑴
2x 3x 4 0
2
2
解：
⑴ 因为
b 4ac
2
⑵ 16 y 9 24 y
3 4 2 ( 4)
2
9 32 0
⑶ 5( x 1) 7 x 0
2
2.试说明不论k取何值,方程 ( x 1)( x 3) k 3
有两个不相等的实数根.
证明：方程变形为
x 2x k 0
2 2
2
4 4k
2
因不论k为任何实数，
4 4k 的值总是大于0， 即 0
∴ 不论k取何值,原方程有两个不相等的实数根.
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
2
所以方程有两个不 相等的实数根。
例：不解方程，判别方程的根的情况：
⑴
2x 3x 4 0
2
2
解⑵ 方程变形为
16 y 24 y 9 0
2
⑵ 16 y 9 24 y
因为
b 4ac
2
2
( 24) 4 16 9
576 576 0
所以方程有两个相 等的实数根。
2
(4) x 2 x 3 0
2
巩固练习
⑴ 方程 4 x 3 x 2 0 的根的判别式是 9 32 0 ,它的根情况是 没有实数根 .
2
2
⑵ 已知方程 2 x mx 1 0 的判别式的值是
16，则m= 2 6 .
⑶ 方程
9 x (k 6) x k 1 0 有两个相等的
2
m 12m 20
2
m 12m 20 0
2
m1 10 , m2 2.
巩固练习
1.不解方程，判断方程的根的情况
(1) x 5 x 6 0
2
有两个不相等的实数根
(2)3x 4 x 5
2
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根 没有实数根
(3)3x 6 x 3 0
( 7 ) 4 5 5
49 100 0
所以方程没有实数根。
例2：m取什么值时，关于x的方程
2 x (m 2) x 2m 2 0 有两个相等的
2
实数根？
解：b 4ac (m 2) 4 2 (2m 2)
2 2
m 4m 4 16m 16
把b2－4ac叫做根的判别式，记作 “△”
当b2－4ac >0 时 当b2－4ac =0 时
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
当b2－4ac<0 时
方程没有实数根
1. 不解方程判别方程根的情况。 2 2 ⑴ x x 2 ⑵ ( x 1) 2 x 3 ⑶ x kx 2 0
方程有两个不相 3 －等的实数根 1
2－4ac =0 时 当 b 0 x 2x 1 0 2－ 4 <0 时 当 b 4ac x 2x 2 0 －
2
方程有两个相等 1 1 的实数根
无实数解 方程没有实数根
把一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 化成
b c ∵ a≠0 方程两边都除以a，得 x x 0 a a b c 2 x x 移项，得 a a
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说出它的根的情况吗？ ⑴ 当b2－4ac>0 时,方程右边是一个正数 方程有两个不相等的实数根. 2 2 b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a ⑵ 当b2－4ac=0 时,方程右边是0 , b, ⑶ 当b2－4ac<0 时,方程右边是一个负数 方程有两个相等的实数根. x1 x2 2a 方程没有实数根.