山东省聊城市兖州第二中学高三数学理测试题含解析

山东省聊城市兖州第二中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集，则图中阴影表示的集合为( )
A．{－1} B．{2} C．{3，4，5} D．{3，4}
参考答案：
A
2. 若实数满足方程，实数满足方程，则函数
的极大值为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
C
3. 已知cos（﹣α）=，则sin（α﹣）cos（﹣2α）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
B
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】构造思想，利用诱导公式化简即可得答案．
【解答】解：由cos（﹣α）=，可得，cos（﹣α）=，即sin（﹣
α）=﹣，那么sin（α﹣）=．
cos（﹣2α）=cos2（）=cos2（）=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×=﹣．
∴sin（α﹣）cos（﹣2α）=．
故选：B
【点评】本题主要考查了构造思想，诱导公式的灵活运用能力．属于基础题．
4. 若是非零向量且满足，，则与的夹角是
（）
A．B． C．
D．
参考答案：
B
5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
6. 已知数列满足且，则（）
A． B． C．－ D．
参考答案：
C
略
7. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
8. 定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的,且存在常数使得
对任意实数都成立,则称是一个“的相关函数”.有下列关于“的相关函数”的结论:①是常数函数中唯一一个“的相关函数”；
②是一个“的相关函数”；③ “的相关函数”至少有一个零点.其中正确结论的个数是（）
A． B． C． D．
Ks5u
参考答案：
A
9. 已知,函数的定义域为,集合,则
( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 已知函数满足，且当时，成立，若
，的大小关系是
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，若，则的最大值是．
参考答案：
，由余弦定理得，
，即的最大值是，故答案为.
12. 若的展开式中常数项为43，则．
参考答案：
21
根据题意可得的展开式的通项为，当r＝0时，的常数项为1，的常数项为3，而，令，解得r＝2，所以当r＝2时，的常数项为，综上，
的展开式中常数项为＝43，整理得，解得n＝5，或n＝－4（舍去），则．
13. 直线与曲线相切，则的值为 .
参考答案：
-3
略
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
参考答案：
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计
算公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
底面面积S=4×8=32，
高h=4，
故体积V==，
故答案为：
15. 设函数______.参考答案：
令得，即。

令得。

令得。

16. 已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2，a2＝1，则a1＝__________．
参考答案：
利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，则
a3·a9＝2?·q6＝2(a3q2)2?q＝，又a2＝1，所以a1＝.
17. 已知点在直线上，则的最小值
为 .
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=.，且=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣
sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）相邻两对称轴的距离大于等于．（1）求ω的取值范围；
（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当ω最大时，f（A）=1，且a=，求c+b的取值范围．
参考答案：
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【分析】（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型
函数的形式，进而结合相邻两对称轴的距离大于等于．可得f（x）的最小正周期，求出ω的取值范围；
（2）由正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，再由B，C的关系，求得B的范围，结合两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=?=cos2ωx﹣sin2ωx+2sinωxcosωx
=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），
由题意得≥，即T≥π，
又∵ω＞0，
∴≥π，
∴0＜ω≤1；
（2）当ω最大时，即有ω=1，f（x）=2sin（2x+），
∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，
∵0＜A＜，∴2A+∈（，），2A+=，
∴A=，
由正弦定理可得====2，
则b=2sinB，c=2sinC，
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（﹣B）
=cosB+3sinB=2sin（B+），
在锐角三角形ABC中，0，0＜，
即有0＜﹣B＜，可得＜B＜，
可得＜B+＜，
＜sin（B+）≤1，即有3＜2sin（B+）≤2，
则b+c的取值范围是（3，2]．
19. （本小题满分12分）已知实数x满足实数x满足
，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
20. 如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上.
(1)若,求的长;
(2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.
参考答案：
略
21. 已知函数f（x）=a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）
（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；
（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得，求出a，b的值即可；
（2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=be x+（bx﹣1）e x=（bx+b﹣1）e x，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，
∴，∴，解得：；
（2）当b=2时，f（x）=a+（2x﹣1）e x，（a＜1），
关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，
等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）e x﹣ax＜0的整数解有且只有1个，
构造函数F（x）=a+（2x﹣1）e x﹣ax，x∈R，
故F′（x）=e x（2x+1）﹣a，
1°x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，故e x（2x+1）≥1，
又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，
∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，
∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0；
2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0，
∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，
①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减，
∴≤a＜1；
②当a＜0时，F（﹣﹣1）=﹣+2a＜0，不合题意，
综上，a的范围是[，1）．
22. 在中，已知．
（Ⅰ）求角的值．
（Ⅱ）若，，求的面积．
参考答案：
（）∵，∴．
∵，∴，从而．
∴．
（）∵，，根据正弦定理得，
∴．
∵，∴．所以的面积．。