2015石景山区中考数学二模

2015石景山区中考数学二模
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．
1．（3分）4的相反数是（）
A．﹣4 B．4 C．D．
2．（3分）将800000用科学记数法表示为（）
A．0.8×107B．8×105C．0.8×106D．80×104
3．（3分）有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字﹣2，，0，，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是（）A．B．C．D．1
4．（3分）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是（）
A．爱B．国C．善D．诚
5．（3分）如图，AB∥CD，AC的垂直平分线交CD于点F，交AC于点E，连接AF，若∠BAF=80°，则∠C的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
6．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为（）
A．B．C．2 D．3
7．（3分）在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示：
设两同学得分的平均数依次为，，得分的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（）A．=，S甲2＞S乙2B．=，
C．＞，D．＜，
8．（3分）等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（）
A．50°B．80°C．65°D．50°或80°
9．（3分）如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（）
A．2πB．3πC．4πD．6π
10．（3分）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发沿BA以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从B点出发沿折线BC→CD以每秒2个单位的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设M、N两点的运动时间为x，△BMN的面积是y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣8xy+8y2=．
12．（3分）分式的值为零的条件是．
13．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：，可使它成为正方形．
14．（3分）如图所示，已知函数y=x+b和y=ax﹣1的图象交点为M，则不等式x+b＜ax﹣1的解集为．
15．（3分）综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点．已知在函数y=﹣x+50（0＜x＜50）上有一点P（m，n）（m，n均为整数），过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，当m=2时，矩形PAOB内部（不包括边界）有47个整点，当m=3时，矩形PAOB内部有92个整点，当m=4时，矩形PAOB内部有个整点，当m=时，矩形PAOB内部的整点最多．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（5分）已知：如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，AD=EB．求证：
AC=CB．
18．（5分）计算：﹣4cos60°．
19．（5分）用配方法解方程：x2+4x﹣1=0．
20．（4分）若，求代数式的值．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点；一次函数y=kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=的图象交于A（a，2a﹣1）、B（3a，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积．
22．（5分）列方程或方程组解应用题：小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（5分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB、BC的中点，E、F是边AC上的三等分点，连接ME、NF且延长后交于点D，连接BE、BF
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=3，∠A=45°，∠C=30°，求：四边形BFDE的面积．
24．（5分）2014年，移动电商发展迅速．以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）2014年10月“移动电商行业用户规模”是亿台；（结果精确到0.1亿台）并补全条形统计图；
（2）2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数为亿台，若按此平
均数增长，请你估计2015年1月“移动电商行业用户规模”为亿台．（结果精确到0.1亿台）
（3）2014年某电商在双11共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是．
25．（5分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．
26．（5分）阅读下面材料：
小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，，AD⊥BC于点D，求AD的长．
小玲发现：分别以AB，AC为对称轴，分别作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，得到正方形AEGF，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD的长．（如图2）
请回答：BG的长为，AD的长为；参考小玲思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），B（0，4），点P是△OAB的外角的角平分线AP和BP的交点，
求点P的坐标．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．（7分）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象经过坐标原点，得到抛物线C1．将抛物线C1向下平移后经过点A（0，﹣2）进而得到新的抛物线C2，直线l经过点A和点B（2，0），求直线l和抛物线C2的解析式；（3）在直线l下方的抛物线C2上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值．
28．（8分）如图1，点O为正方形ABCD的中心．
（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；
（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF绕
G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中
BH的最大值．
29．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k＞0）个单位得到点P k′，P k′叫做对点P（m，n）的k阶“ℜ”变换．
（1）求P（3，2）的3阶“ℜ”变换后P3′的坐标；
（2）若直线y=3x﹣3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的2阶“ℜ”变换后得到点C，求过A，B，C三点的抛物线M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存在一点E，使得以E，D，B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．
1．【解答】根据相反数的含义，可得
4的相反数是：﹣4．
故选：A．
2．【解答】将800000用科学记数法表示为8×105．
故选B．
3．【解答】根据题意可知，共有4张卡片，﹣2，0为有理数，，为无理数，
故随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是=．
故选B．
4．【解答】对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“友”字相对的字是“善”．故选：C．
5．【解答】∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAF．
∵AB∥CD，∠BAF=80°，
∴∠C+∠CAF+∠BAF=180°，即2∠C+80°=180°，解得∠C=50°．
故选B．
6．【解答】∵∠C=90°，∠B=60°，AC=2，
∴BC===2，
∵CD为⊙O直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BE=BC=2，
故选C．
7．【解答】∵=（9.7+10+10+8.4）=9.525，
=（9.2+10+9.7+9.2）=9.525，
∴=，
∵=[（9.7﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（8.4﹣9.525）2]≈0.44，=[（9.2﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（9.7﹣9.525）2+（9.2﹣9.525）2]≈0.12，∴＞；
故选A．
8．【解答】（1）当50°角为顶角，顶角度数为50°；
（2）当50°为底角时，顶角=180°﹣2×50°=80°．故选：D．
9．【解答】∵△ABC是等边三角形，大⊙O是△ABC的外切圆，
∴AO=OB=OC，
∵小⊙O是△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OP，
∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，
BN=CM=AP=CP，
∴S阴影=S扇形AOC==3π．
故选B．
10．【解答】：当0＜x≤2时，如图1：
连接BD，AC，交于点O，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，
∴∠CPB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），
∴BO=2，CO=2，
∴BC=AB==4，
∵AC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴CP=BC•sin60°=4×=2，
BP=2，
BN=2x，BM=x，
，，
∴，
又∵∠NBM=∠CBP，
∴△NBM∽△CBP，
∴∠NMB=∠CPB=90°，
∴y=•x•x=x2，
当2＜x≤4时，如图2：作NE⊥AB，垂足为E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴NE=CP=2，
BM=x，
∴y==，
∴y=．
故选D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．【解答】2x2﹣8xy+8y2=2（x2﹣4xy+4y2）=2（x﹣2y）2．故答案为：2（x﹣2y）2．12．【解答】∵分式的值为0，
∴，解得：x=﹣1．
故答案为：﹣1．
13．【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．
14．【解答】∵函数y=x+b和y=ax﹣1的图象相交于点M，M点横坐标为﹣1，
∴不等式x+b＜ax﹣1的解集为：x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
15．【解答】∵DE⊥EC，AC⊥EC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∵∠DBE=∠ABC
∴△DEB∽△ACB，
∴DE：AC=BE：BC，
又∵DE=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，
∴1.7：AC=2.1：21，
∴AC=17米，
故答案为：17米．
16．【解答】∵y=﹣x+50（0＜x＜50），
∴m=2时，n=48，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（48﹣1）×1=47，
m=3时，n=47，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（47﹣1）×2=92，
m=4时，n=46，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（46﹣1）×3=135，
∴点P（m，n）时，矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（n﹣1）×（m﹣1），即（﹣m+50﹣1）（m﹣1）=﹣（m﹣25）2+576，
∴当m=25时，矩形PAOB内部的整点最多．
故答案为：135、25．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．【解答】证明：∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，
且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴CD=CE，∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=CB．
18．【解答】原式=2﹣2+9﹣4×=7．
19．【解答】方程变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，
开方得：x+2=±，
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
20．【解答】原式=•=．
∵=，
∴3a=2b，
∴原式===12．
21．【解答】（1）∵A（a，2a﹣1）、B（3a，a）在反比例函数图象G上，∴a（2a﹣1）=3a•a，
∵m≠0，
∴a=﹣1，
∴m=3，
∴A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）
∴所求反比例函数解析式为：；
将A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）代入y=kx+b（k≠0），
∴所求直线解析式为：y=﹣x﹣4；
（2）设y=﹣x﹣4与x轴交点为C
令y=0，
∴C（﹣4，0）
∴S△ABO=S△AOC﹣S△BOC===4．22．【解答】设荧光笔和笔记本的单价分别是x元，y元，
根据题意，得，解得：，
答：荧光笔和笔记本的单价分别是5元，10元．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．【解答】（1）证明：∵E、F是AC边上的三等分点，
∴CF=EF=AE，
∵N是BC中点，
∴FN是△CEB的中位线，
∴FN∥BE，即DF∥BE，
同理可证：ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠A=45°，AB=，
∴BH=AH=3，
∵∠C=30°，
∴CH=
∴，
∵E、F是AC边上的三等分点，
∴，
∴．
24．【解答】（1）7.0×（1+14.7%）≈8.0亿台．
故答案为8.0．
条形统计图如图所示，
（2）2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数为=≈0.9亿台9.6+0.9=10.5亿台，
故答案为0.9，10.5．
（3）12000×（1﹣0.4﹣0.32﹣0.16）=1440亿台．故答案为1440亿台．
25．【解答】（1）证明：连结AC，
∵AB⊥BC于点B，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠D=∠ACB，
∴tanD=tan∠ACB=3，
在Rt△ABC中，BC=2，
∴AB=3BC=6，
由勾股定理，
在△CAH中，由勾股定理逆定理：AC2+AH2=50=CH2，
∴∠CAH=90°即CA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线．
（2）解：∵点D是弧CE的中点，
∴∠EAD=∠DAC，
∵AC是⊙O的直径，
∴AE⊥CH，
∴∠H+∠EAH=∠H+∠HCA=90°，
∴∠EAH=∠HCA，
∴∠EAD+∠EAH=∠DAC+∠HCA，
即∠AFH=∠HAF，
∴，
∵CA⊥AH，AE⊥CH，
∴AH2=EH•CH可得，
∴．
26．【解答】BG的长为2，AD的长为，
理由是：如图2，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=2，
∴BD=DC=，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵分别以AB，AC为对称轴，分别作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，∴AD=AE=AF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠EAF=45°+45°=90°，
∴四边形AEGF是正方形，
∴AE=AF=FG=EG，∠G=90°，
设AE=AF=FG=EG=x，则BG=CG=x﹣，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：（2）2=（x﹣）2+（x﹣）2，
解得：x=2+（负值舍去），
即BG=2+﹣=2，AD=AE=2+，
故答案为：2，2+；
如图3，过点P分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于点E，
则∠BDO=∠DOC=∠PCO=90°，
∵AP和BP是△OAB的外角的角平分线，
∴∠EAP=∠CAP，∠DBP=∠EBP，PC=PE=PD，
∴四边形OCPD是正方形，AC=AE，BD=BE，
∴OC=CP=PD=DO，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB=5，
∴OC+OD=OA+AB+BO=12，
∴OC=OD=6，
∴CP=PD=6，
∴P（6，6）．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．【解答】（1）证明：当m=0时，x=2；
当m≠0时，△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2，∵（m+1）2≥0，
∴△≥0
综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象经过坐标原点，
∴2m﹣2=0，
∴m=1，
抛物线C1的解析式为：y=x2﹣2x，
抛物线C2的解析式为：y=x2﹣2x﹣2，
设直线l所在函数解析式为：y=kx+b，
将A（0，﹣2）和点B（2，0）代入y=kx+b，
∴直线l所在函数解析式为：y=x﹣2；
（3）据题意：过点C作CE⊥x轴交AB于E，
可证∠DEC=∠OAB=45°，则，
设C（t，t2﹣2t﹣2），E（t，t﹣2），（0＜t＜3）
∴EC=y E﹣y C=﹣t2+3t=，
∴当时，
∵CD随EC增大而增大，
∴为所求．
28．【解答】（1）如图1所示：
（2）如图2，延长EA交OF于点H，交BF于点G，
∵O为正方形ABCD的中心
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵OE绕点O逆时针旋转90角得到OF，
∴OE=OF
∴∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠EOA=∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
∴△EOA≌△FOB，
∴AE=BF．
∴∠OEA=∠OFB，
∵∠OEA+∠OHA=90°，
∴∠OFB+∠FHG=90°，
∴AE⊥BF．
（3）BH的最大值为．
29．【解答】（1）由3阶“ℜ”变换定义：P（3，2）关于y轴对称的点为P'的坐标为（﹣3，2），再将P'（﹣3，2）向左平移3个单位得P3'的坐标P3'（﹣6，2）；
（2）当y=0，3x﹣3=0，解得x=1，则A（1，0）；当x=0，y=3x﹣3=﹣3，则B（0，﹣3）；
由2阶“ℜ”变换定义：A（1，0）关于y轴对称的点为A'的坐标为（﹣1，0），再将A'（﹣1，0）向左平移2个单位得P3'的坐标A3'（﹣3，0），则C（﹣3，0）；
设过A，B，C三点的抛物线M的解析式y=a（x+3）（x﹣1），
将B（0，﹣3）代入得a•3•（﹣1）=﹣3，解得a=1，
所以抛物线M的解析式为y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；
（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，则D（﹣1，0），
而B（0，﹣3），
∴BD==，
若DB=DE=，如图，则E1（﹣1，），E2（﹣1，﹣），
若BD=BE，如图，则E3（﹣1，﹣6）；
若ED=EB，如图，E4B=E4D，设E4（﹣1，t），
则t2=（﹣1）2+（t+3）2，解得t=﹣，则E4（﹣1，﹣），
综上所述，点E的坐标为（﹣1，）、（﹣1，﹣）、（﹣1，﹣6）、（﹣1，﹣）．。