第三节平面与直线

平行， 即与向量积 n1 × n 2 平行，从而向量n1 × n 2 是直线 l 的一个方向向量。而 的一个方向向量。
n1 × n 2 i = 2 3 j -4 k 1 = 9 i + 7 j + 1 0 k，
− 1 -2
所以， 所以，直线 l 的点向式方程为
x y −1 z − 4 = = , 9 7 10
− 4 B + C = 0,
解得
C = 4 B.
将 C = 4 B 代入方程 By + Cz = 0中.得 B y + 4 z） 0. （ = 而 B ≠ 0， 因此所求的平面方程为 y + 4 z = 0.
方法二 因为平面过x轴，故原点0在平面上，向量 因为平面过x 故原点0在平面上， uuuu r OM = 2-0,-4-0,1-0） （ =(2,-4,1) 在平面上，又x轴的 在平面上， uuuu r （ 与平面平行， 单位向量 i = 1,0,0） 与平面平行，于是向量积 OM ×i 与平面垂直，即它是平面的一个法向量。 与平面垂直，即它是平面的一个法向量。而 i j k uuuu r -4 1 2 1 2 -4 OM ×i = 2 -4 1 = i− j+ k 0 0 1 0 1 0 1 0 0
F ( x, y, z ) = 0 为曲面 Σ( S )
的方程，而称 Σ( S ) 为 F ( x, y, z ) = 0 的图象。
二、平面 1.平面的点法式方程 1.平面的点法式方程
z
r n
如果一非零向量垂直于一 M 平面，这向量就叫做该平 面的法线向量． 法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．
uuuuuur M1M2 = （-1-1,2-(-1),0-(-2)）=(-2,3,2) uuuuuur M1M3 = （1-1,3-(-1),1-(-2)）=(0,4,3),
于是平面的法向量为
u u u uu ur u u uu u ur n = M 1M 2 × M 1M 3 = 2Байду номын сангаас0 3 = 4 2 -2 i − 3 0
−4 y + z = 0, y + 2 z = 9.
取 x0 = 0, 代入直线 l 的一般方程中，得 的一般方程中，
解方程组，求得 y0 = 1, z 0 = 4, 则点 (0,1, 4) 在直线 l 上. 解方程组， 因为直线 l 是两个平面的交线，故直线 l 与两 是两个平面的交线， 都垂直， 个平面的法向量 n1 (2, − 4,1) 和 n 2 (3, − 1, − 2) 都垂直，
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
这便是由直线的点与方向向量所确定的方程， 称 之为直线的对称式方程， 也称为点向式方程 对称式方程， 点向式方程． 对称式方程 点向式方程
几点说明：
A.其中若 m, n, p 中有一个或二个为零，应理解 其中若 中有一个或二个为零， 为相应的分子也为零． 为相应的分子也为零．
r B.这里的 m, n, p 实际上是 s 的在三个轴向上的坐 这里的 r 称之为该直线的方向数 直线的方向数． 标，称之为该直线的方向数． s 的方向余弦称
为直线的方向余弦． 直线的方向余弦．
C. x, y, z 的系数 1
D.若设以上比例式比值为 t，则可得： 若设以上比例式比值为 ，则可得：
z
D D D A = − , B = − ,C = − a b c
又 abc ≠ 0,∴ D ≠ 0 ， (a,0,0 ) x y z ∴ + + = 1 为所求方程 a b c
x
(0,0, c )
(0, b,0 )
O
y
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
返回
三.直线
1.直线的一般方程
设 二 相 交 平 面 Τ1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ， Τ2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 的交线为 L
第三节 平面与直线
一、点的轨迹方程及概念 二、平面 三、直线 四、平面直线间的夹角 五、点到平面的距离
一、点的轨迹方程的概念
如果曲面 Σ( S ) 上所有的点都满足方程
F ( x, y , z ) = 0 ，且不在曲面 Σ( S )
上的任何点都不满足方程 F ( x , y , z ) = 0. 则称方程
由上述公式，得其夹角 θ 有：
cos θ =
1 × 2 + ( −1) × 1 + 2 × 1 1 + ( −1) + 22 ⋅ 22 + 12 + 12
2 2
故θ =
π
3
1 = 2
可见，夹角与 D 无关
两直线的位置关系 夹角： 两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角。 两直线的夹角。 两直线的夹角 ▲注意
A. L1 ⊥ L2 ⇔ m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0 结论：
x = x0 + mt y = y0 + nt L (3) z = z + pt 0
称之为直线的参数式方程． 称之为直线的参数式方程． 参数式方程
例5 解
求过点 A (1, 0,1)和 B ( − 2,1,1) 的直线方程。 的直线方程。
uuu r 向量 AB = ( − 3,1, 0) 是所求直线的一个方向
参数方程为
x = 9t y = 1 + 7t z = 4 + 10t
方法二
从所给方程组分别消去
z
和 y ，得
7x − 9y + 9 = 0 和 10x − 9z + 36 = 0,
上式可变形得
x = 9 y − 1 z − 4 = . 7 10
并由此可写出参数方程。 并由此可写出参数方程。
向量， 向量，因此所求直线方程为
x −1 1 z −1 = = , −3 y 0
即
z = 1, x + 3 y − 1 = 0.
例6
把直线 l 的一般方程
2 x − 4 y + z = 0, 3 x − y − 2 z + 9 = 0
化为点向式方程和参数方程. 化为点向式方程和参数方程. 解 方法一 先在直线 l 上找一点 ( x 0 , y 0 , z 0 ).
直的平面方程. 直的平面方程. 解 根据平面得法向量的概念，向量a=（-1,3,-2） 根据平面得法向量的概念，向量a=（ 1,3,a= 是所求平面的一个法向量，所以由式（ 是所求平面的一个法向量，所以由式（3）得所求平 面的方程为
−( x − 1) + 3( y + 2) − 2( z − 0) = 0,
D = 0, (2) A = 0, D ≠ 0,
平面通过 x轴； 平面平行于 x 轴；
的情形. 类似地可讨论 B=0,C=0 的情形 坐标面； (3) A = B = 0, 平面平行于xoy 坐标面； 情形. 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形
求过x 的平面方程. 例3 求过x轴和点 M (2, − 4,1) 的平面方程. 解 方法一 因为平面过x轴，故原点0在平面上， 因为平面过x 故原点0在平面上， 于是可设平面的方程为 By + Cz = 0. 在平面， 又因为点 M (2, − 4,1) 在平面，于是有
= j + 4k, 根据点法式向量方程，得所求平面方程为 根据点法式向量方程，
y + 4 z = 0.
例4 求 过 点 P ( a , 0, 0), Q (0, b, 0), R (0, 0, c )
( abc ≠ 0)
的平面方程．
解 设所求方程为 A x + B y + C z + D = 0
代入以上三点得：
z
L
T1
T2
x
O
y
则 L 应满足方程组：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
L (1)
反过来， 不在 L 上的点 M ，又不可能是以上二方程的解．
因此， 直线 L 可由(1)表示， 称(1)为空间直线 L 的 一般式方程． 一般式方程
▲注意
由于过空间同一直线的平面有无限多个，故可 以也只须任取其中两个，将其联立起来得到的方程 组即可表示．
2.空间直线的对称式方程和参数方程 2.空间直线的对称式方程和参数方程 方向向量： 方向向量
任一平行于直线的非零向量称为直线的方向向量 方向向量． 方向向量
直线上的任一向量平行于直线的方向向量， 可视为 方向向量．
过直线外一点有且仅 有一条 直线 与已 知直 线平 行，即：当已知直线上的一 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 和它的方向 r 向量 s = {m, n, p} 时， 直线 L 便完全确定了。
z
r s
M
O
L
M0
x
y
uuuuuu r r 设 M ( x, y , z )为直线上任一点, 则 M 0 M // s uuuuuu r r 反之若M 0 M // s ，则 M 一定位于直线上． uuuuuu r r 又由 M 0 M // s ，得：
由点积与余弦关系得：
cos θ =
A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A + B + C ⋅ A2 + B2 + C2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
r r 特别地，若 n1 ⊥ n2 , 则A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
例7 求 x − y + 2 z − 6 = 0, 2 x + y + z − 5 = 0 的夹角． 解
平面的点法式方程
r 其中法向量 n = { A, B, C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足上方程， 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点 都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平 面称为方程的图形． 面称为方程的图形．
例1
求过点（1,-2,0）且与向量a=（-1,3,-2）垂 求过点（1,-2,0）且与向量a=（ 1,3,a=
四.平面、直线间的夹角
θ
T2
T1
θ
定义：称两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 两平面的夹角
（通常指锐角）．
设有二平面： Τ1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, Τ2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
r r 则其法向量分别为：n1 = { A1 , B1 , C1 }, n2 = { A2 , B2 , C2 }
即
x − 3 y + 2 z = 0.
例2 解
求过三点 M1 (1, −1, −2), M 2 (−1, 2, 0), M 3 (1,3,1)
uuuuuur uuuuuur 由于点 M 1 , M 2 , M 3 在平面上，故向量 M1M2 , M1M3 在平面上，
的平面方程
均在平面上，根据向量积的概念及立体几何的知识，向 均在平面上，根据向量积的概念及立体几何的知识， uuuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuuur 都垂直， 量积 M1M2 × M1M3 与向量 M1M2 及M1M3 都垂直，且与所 求的平面也垂直，因此它是平面的一个法向量， 求的平面也垂直，因此它是平面的一个法向量，而
夹角为 0 ≤ Φ ≤
π
2 r r 设 s1 = {m1 , n1 , p1 }, s2 = {m2 , n2 , p2 } 为直线 L1 、L2
， 且包含两直线相交与异面的情形．
的方向向量，
则 L1 , L2的夹角Φ 可由向量的点积得：
cos Φ =
m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 m12 + n12 + p12 ⋅ m2 2 + n2 2 + p2 2
i
j 3 4
k 2 3 3 k 4
2 -2 j + 3 0
= i + 6 j − 8k,
所以，所求的平面方程为 所以，
( x − 1) + 6( y + 1) − 8( z + 2) = 0,
即
x + 6 y − 8z − 11 = 0.
2.平面的一般方程 平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况： 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； (1) D = 0, 平面通过坐标原点；
o x
M0
y
已知
r n = { A, B, C},
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x, y , z ) 必有
M r M ⊥ n 0
r ⇒ M M ⋅n = 0 0
Q M 0 M = {x − x0 , y − y0 , z − z0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0