2.2直线上的开集、闭集及完全集的构造

第n次 1 2 去掉的开区间
I (i1) I (i2 ) i 1 i 1,2
留下的闭区间
I i(1) I i( 2 ) i 1,2 i 1,2, 2 2

n
I (in )

i 1, 2, 2n 1
I i( n )

i 1,2, 2 n



⑵Cantor集的性质
a .分割点一定在Cantor集中
( ) ( )( ) ( ) (
注： n(n>1)维欧氏空间中的开集一般不能表示成至多可数个 互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交 的半开半闭区间之并.
二 直线上的闭集构造 • 定理：直线上的闭集或是全直线，或是从直线上 挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.
注： 直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开 区间的公共端点； 但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。 ( ) ( )( ) ( ) (
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依次类推ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
1 可知 n , xn A, yn B, 使得 1 d ( A, B) d ( xn , yn ) d ( A, B) n
由于A有界，故 { x n }的子列{ x n }，使 lim x n x , i
i i
A B
又A为闭集，从而x∈A ，并可得{yn }有界
i
d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 证明：对任意x ∈ P ， 只要证： 0, 有 O( x , ) ( P { x})
1 由Cantor集的作法知 n , n , 及某个 i，使 O( x , ) I i( n ) 3
) 而 I i( n 的两个端点定在P中，
Koch曲线
Koch曲线的形成
Koch曲线
从Koch曲线到Koch雪花
Koch雪花的形成
Koch曲线的边长
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
从而O( x , ) ( P { x })
从而x为P的聚点，当然不为孤立点。
第n次等分留下的区间 1 (n) | I i | n ) 3 x+δ
( x-δ x
怪物
康托三分集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)构 造了一个奇异集合——康托三分集 ： 将数轴上的闭区间E0 = [0,1]三等分， 删去中间的开区间(1/3,2/3)，剩下两个闭区 间[0,1/3]，[2/3,1]记为E1 ；再将这两个闭 区间分别三等分，各去掉中间的开区间 (1/9,2/9)，(7/9,8/9)，剩下更短的四个闭 区间记为E2 ，……，这样的操作一直继续下 去，直至无穷。
i
又Ａ为闭集，故y∈A,对
1 d ( x, A) d ( x, yni ) d ( x, A) ni
两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)
定理：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)
证明：由 d ( A, B) inf{d ( x, y ) : x A, y B}
注：a.若x∈ B,则d(x,B)=0;反之则不一定成 立，如x=0,B=(0,1) b.d(x,B)=0当且仅当
x B
c.若 A B ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，
如A=（-1，0）,B=（0，1）
定理 设E为Rn中非空点集 ，则 d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数
0 ,当
1 3n
时 ， 有 I i( n ) O（ x , ）
但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 O ）内至少有一点不属于P， （x, 所以x不可能是P的内点。
第n次等分留下的区间 ( x-ε x ) x+ε 第 n+1次等分去掉的区间
因为当ni充分大时，
d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）
从而{ yni }的子列{ yni }，使 lim yni y
j
j
j
又B为闭集，故y∈B,
d ( A, B) d ( xni , yni ) d ( A, B) n1i 另外对
§2.2 直线上的开集、闭集及 完备集的构造
引例
G = (-1, 2 ) (1,3) (3,5) 是直线上的开集，
它可以表为互不相交的开区间的并：G = (-1,3 ) (3,5).
在引例中 G 的第一种表法中,只有一个构成区间，而 在第二种表法中，两个区间都是构成区间。
一 直线上的开集构造 • 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成 有限个或可数个互不相交的开区间的并。
j j
j
两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)
定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集， 则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0≤ f(x)≤ 1， x∈ Rn （2） f(x)=0， x∈ F1; f(x)=1, x∈ F2
推论： 直线上完备集就是没有相邻接的余区间的闭集.
Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集



1.Cantor集
G I (in ) ⑴定义：令 n ,i
称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为 Pn ( ) P1 n 1,2, 3 面积为 n 2 1 n 1 An An1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 n 1 1 2 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
证明：利用d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) 可得d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E)， 同理d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E), 故有|d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y)
所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。
z∈ E
定理：设A为非空闭集 ， x∈Rn ， 则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)
二直线上的闭集构造cantor集对01区间三等分去掉中间一个开区间然后对留下的两个闭区间三等分各自去掉中间一个开区间此过程一直进行下去最后留下的点即为cantorcantor集集???1cantor集第n次去掉的开区间ii留下的闭区间12n11?i21?1iii22ii221??i21?2iii1n122inii???nniii221????????ininig??定义
Weierstrass函数 W(x)的缺陷是： 其图象难以绘出，因此不够直观。 但是，由于该函数处处连续却无 处可微，从而人们认识到其图象是处 处连续却处处无切线的曲线，这引起 了当时数学界的极大震惊。
Koch雪花曲线
• 1904年瑞典数学家科赫 (H.von Koch 1870-1924) • 给出一种描述雪花的方法: • 先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的 三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条 边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每 个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小 六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形 状。
证明：由 d ( x, A) inf{d ( x, y ) : y A} 可得
1 , yn A, 使得d ( x, A) d ( x, yn ) d ( x, A) 1 n n
由于{ y n }为有界点列，故 { y n }的子列{ y ni }，使 lim y ni y
不 要 心 急
仔 细 看 我
怪物4
谢尔宾斯基垫片
将类似的操作施以正方形区域（与前面 不同的是这里将正方形九等分）所得图 形F称为谢尔宾斯基“地毯”。
分形时装
装 修
房 间
分 形 笔 筒
分形装饰画
分形方巾图案
2.3. 点集间的距离与隔离性定理
d ( x, B) inf{d ( x, y ) : y B} d ( A, B) inf{d ( x, y ) : x A, y B}
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
n 2, 3,
于是有
1 3 ) A (1 3 ) 2 3 . lim An A1 (1 1 n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
lim Pn
n
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
Koch雪花曲线
怪物4
谢尔宾斯基垫片
设E0 是边长为1的等边三角形区域，将 它均分成四个小等边三角形，去掉中间 一个得E1 ，对E1 的每个小等边三角形进 行相同的操作得E2 ，……，这样的操作 不断继续下去直到无穷，所得图形F称 为谢尔宾斯基“垫片” ，它被用作超导现 象和非晶态物质的模型。
G I (in )
n ,i



Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集
b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和
1 1 n 1 2 3 2 1 3n 1 3 n 1
注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间
c. P没有内点
证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中 I i( n )
n n n
怪物
这说明，
康托三分集
康托三分集无法用欧几里得几何的整数 维尺度去度量。
“病态”的“数学怪物”
19世纪后半叶起，数学家们在研究 函数的连续性时构造出一系列不符合人 们传统观念的集合。 德 国 数 学 家 维 尔 斯 特 拉 斯 （ K. Weierstrass）1872年构造的以他的名 字命名的函数 W（x）是这类集合的第 一例
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
怪物
康托三分集
在这样的操作下，有些点是永远删不去 的，比如，1/3，2/3，以及所有被删去 的开区间的端点。最后剩下的是一个离 散的无穷点集F，称为康托三分集.
怪物
康托三分集
如果用0维的（点的个数）尺度去测 量它，其度量值显然是无穷； 如果用一维的长度尺度去测量它， 注意其第n步过后的生成元 En 由长 度为(1/3)n 的2n个区间段构成，其长 度为2n(1/3)n ，因此，康托三分集的 长度为 1 l lim 2 0 3
怪物
Weierstrass函数
Weierstrass函数
W ( x)
n 0 ( s 2) n
sin( x)
n
其中 1<s<2 且>1 ，W(x) 是处处连续、但 处处不可微的函数。 对应参数 s =1.4, =2， W(x)的图象是
怪物
Weierstrass函数
怪物
Weierstrass函数