奥运会临时超市的设计(张俊姝)

奥运会临时超市网点设计
摘要
本文要解决的问题是在满足奥运会期间的购物需求，分布基本均衡和商业上的盈利的前提下在场馆周围设置合适MS网。

首先利用Access软件统计得出出行，用餐和购物所占总体人数的比例。

从数值角度反映出三者的规律。

接着从奥运场馆简化图入手分析出顾客在进出场馆时的最短路径，再通过矩阵的方法反映出每个商区流量规律，通过数学软件Matlab计算出20个商区的分别的人流量总量。

为设计出20个商区MS网点的方案，我们进行了购物心理的分析，顾客在进出场馆经过不同商区时的购买欲望的比例符合正态分布曲线的情形，从而利用概率的知识，求出人群在经过的商区数不同的时候，经过不同商区的购买欲望比例。

然后利用加权的方式建立一个矩阵运算，求出各商区销售量的总额，根据题目要求设定销售量最小的商区内全部为小MS，销售量最大的商区内全为大MS，对于在销售量在两者之间的商区按照某种方法确定大小MS各自的个数。

最后回归图形，考虑分类的合理性。

鉴于实际情况，我们又增加了一些现实因素，考虑了人流峰值对MS的安排问题，将商亭考虑成等高且底面是正方形的，四周都是卖货窗口高效经营的商亭，分析出商亭的底面积与日销售量有关，底面周长与瞬时销售量有关，并考虑到了店员的工资，商亭造价等，列出了日盈利的方程，求出日盈利最大的表达式，对于大小MS的大小确定时求出盈利最大时大小MS的个数，并对奥运会商亭的大小有一些看法。

为了验证考虑合理性，实际性，抽样出一个商区，并利用前一个模型及前两个问题的一些相关数据对其大小MS个数的进行分析和确定。

其它的商区分析情况同理。

问题重述
2008年北京奥运会的举行，即将是我国历史上的一大盛典。

在奥运期间，为了满足观众﹑游客﹑工作人员等的购物需求，有必要在比赛主场馆周边地区设置一些MS(下简单为MS)，经营食品﹑奥运纪念品﹑文体用品和小日用品等。

现在要求在比赛主场馆周边的20个商区设计MS网点。

其中国家体育场（鸟巢）周边10商区，国家体育馆周边6个商区，国家游泳中心（水立方）周边为4个商区。

已经给出，在一个已经设计好的某运动场通过预演的运动会的问卷调查数据，可以通过对数据的分析了解观众的出行和用餐的需求方式及购物欲望。

要求：
1．对所给数据的分析，找出观众在出行﹑用餐和购物等方面所反映的规律。

2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一为进出场馆，一为餐饮，且每次都采取最短路径。

有一个结论，推算出20个商区的人流量分布（用百分比表示）。

3．如果用两中大小不同的规模的MS类型供选择，给出20个商区内MS网点的设计方案，也即每个商区内不同类型MS的个数，以满足奥运会期间的购物需求﹑MS的分布基本均衡和商业上赢利。

4．阐明所选方案的科学性，并说明所给结果贴近实际。

模型假设
1.忽略因年龄、性别的不同而引起的人们出行和餐饮方式的差异；
2.同种规模的MS在价格、商品数量、种类和服务上不存在差异；
3.观众在每一次的出入消费量不变；
4.在存在一条以上的最短路径的情况下，观众选择每条路径的概率是均等的；
5.观众在穿越马路的时候遵守交通规则，即必须走人行横道；
6.观众在出行的时候应该尽量避免向相反方向走；
7.观众中男女﹑年龄的比例分布在运动会举行期间不因为比赛项目的不同出现差异；
8.个人消费量取决于个人的消费层次，不会因经过商区的多少而改变。

符号说明
――观众选择某种出行方式或者餐饮方式的人占总人数的比例；
j
ij A ――矩阵变量，其中元素ij a 表示在第i A 个商区，ij A 为商区中其他商区选择第j 中方
式需经过i A 商区的商区权
ij ij C B ,和ij A 中的一样，不同的只是所表现的区域。

ij D ――在第i 个商区总人流量 ij M ――欲望度矩阵 j p ―－选择j 的人的人均消费总值 j F －－看台中选择j 的总消费额
模型分析
问题一:
为了找出题目所给数据反映的规律，利用Access 中的统计功能将每次问卷调查中各种出行方式、用餐方式及消费水准的人数和所占的百分比统计如下表及条形图：
图1
问题二：
在对问卷调查的统计整理中,可以轻易的找出在用餐和购物2方面各具体的选择项所占总人数的比例.
然后可以建立矩阵,用元素ij a 来表示在用餐和购物2方面中j 选项在执行时,由别的所有商区经过i 商区的人数的加权数,若i 商区为其中某个商区的人选择j 选项时的必经之路,则权为1;如果从某个商区可以由n 条路径到达目的地,则在每一个路径上经过
的商区的加权为n
1
.当然由图像的观测可以知道,n 只有一种选择,即2.
考虑到目的地的差异,对于各区的加权总值也是不同的,不过总的来说,有3种类.型. 以图形中的上下出口分类:从上出口去目的地,从下出口去目的地, ,上下出口同时去目的地.分类依据是到达目的地的最短路径.
若几个目的地所选择的出商区的方式一样,可以考虑到该几个目的地的人所占的比例叠加起来(求标量和).从而简化数据计算量.
如果一个大的区域(指C B A ,,中的某一个)到达某目的地,需要从上下2个出口,介于图形的比例不完全符合实际,我们认可如果图形宣示路径差不多路程长,则从2个出口处
到达目的地的路程相等,这一步是为了简化需要考虑的理想情形.为了进一步减少计算的复杂性,我们提出一下法则.
法则一：当一个大区出口的两个小区到达某一个目的地的路径路程相等的，显然我们可以将该区对称划分
比如B 区域,在同时从上下两个出口趋向目的地时,有前提,我们知道,图形的对称性令1B 和4B 各有一半从上或者从下出口出入,在初始的看台进去商区的一万人中,每个商区去相同目的地的比例是相等的,因此这种情形下,如果我们将432,,B B B 看成全部从上面出口出入,下面3个商区只从下面出口进出,结果2种方式对各个商区的影响是相同的.
法则二：观众在出行的时候应该尽量避免向与目的地相反的方向行走。

该法则为生活经验,是显然正确的.如果我们反方向行走,为了到达目的地还需要再将反向的路程走一次,2次多余使路径拉长,所以这是尽量应该避免的选择.
通过图形的观察,综合以上规则,法则,简化途径, 归纳出不同的出入方式的组合如下表:
表3 在不同的区域不同目的地的不同出入方式表 径的原则,就有必要经过A 区中的商区.
1．先单独考虑C B A ,,三个区域中观众在出行的时候,此时默认为各个区域不相交叉.
ij
H ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ij ij ij C B A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=921ηηηη j 其中ij ij ij C B A ,,为C B A ,,区域除本商区外各个商区对
本商区的加权数之和，则从别的商区流经本商区的人流量数j ij i H D η=
i D 为从别的商区路经i 商区的人数，为有20个元素的列向量.
2．考虑交叉的情形
观察图2，从C 区中，去地铁东和公交（南北）的人，在经过A 区的路径上是最短的，则在要求路径最短的前提下，应该选择通过A 区来抵达站台。

因为从C 区经A 的人为整个C 区的人，所以可以考虑将整个C 作为一个整体对象考虑.
经过A 区时，图形的对称性，给予了C 区经过者2种等价的选择，有假设知，每种选择占比例为5.0，则整个A 商区，除了1A 和6A 为C 区的人全部经过，其余商区都只有一半的人数经过。

因此，需要对在不相互交叉的情形下的数据进行修正。

同时，以上只是讨论了由别的区到达本区的人数，而没有考虑及直接从看台进入看台对面商区的本位人数。

也即还需在修正后的人数上加上各自的直接从看台进入的人数1万，才最终获得在商区i 的天人流量。

ij H 和j 的数值参看附录，
i D 的最终结果为（9.7019 4.2368 4.1206 4.4416 5.1964 12.5810 5.1964
4.4416 4.1216 4.2368 2.4439 2.1186 3.1212 1.5989 2.4439 7.3462 1.0107 1.1755 1.0107
5.0689
拿各个数据除以所有数据之和，则20个商区的人流量分布用比率表示为 （0.1133 0.0495 0.0481 0.0519 0.0607 0.1469 0.0607 0.0519 0.0481 0.0495 0.0285 0.0247 0.0365 0.0187 0.0285 0.0858 0.0118 0.0137 0.0118 0.0592)
模型的建立与求解
1. 模型一
这个问题要求巧妙的设定每个商区的不同类型的MS 个数以满足奥运期间的购物需求，分布基本均衡和商业上的赢利,而商店数量在类型之间的分布与商店商圈内的日均人流量及各人在此商店商圈内购物欲望度的高低有关.至于商业上的赢利，从影响商场选址的2个主要因素：商圈的人流量和购物欲望。

我们知道如果没有赢利，商家是不会考虑开展业务的。

所以我们只要尽量将每个商区的MS 总数控制在很小的范围里，就可以看着满足商业上的赢利要求。

购物欲望的估量，我们将出行和就餐中各种具体选项分别作为一个小团体,求出特定每个具体项平均个人的消费额档次来替代（此时为了精确,用实数代替自然数），作为每个小团体的人均购物欲望的总值。

对于特定的某个团体,比如去吃中餐的人群里,由统计得出的规律显示,消费额各档次的比例在三次分别的调查中,虑及调查的离散性和统计的随机性,可以认为是固定的.在将该类人群当成一个整体讨论的时候,可以通过各个档次所占的比例,适当组合得出一个人群平均数
我们以各档次所占的比例乘以档次数,用该结果来表示该人群的人均购物欲望总值。

关于购物这一环节,一般认为,经过若干商区的时候,开始的商区对于这类人群有较大的吸引力,而对于后面的商区则吸引力较小.即为不增函数.可以设想在路经起初的几个商区时,吸引力下降比较缓慢,到了中间的商区,则购买欲望急剧下降,到最后又趋向平缓，可用下图表示：
图2
观测图形,很似标准正态分布曲线的一半,因此可以用
⎰-=
x
t dt e
y 0
2
1222π
来近似表示
有正态分布的特点,在σ3>x 时,曲线与坐标轴所围的面积近似为0 即当σ3=x 时,1=y .
若某人群需要经过n 个商区,则将x 坐标轴在]3,0[σ之间平均划分为n 个线段,第i 个线段向上到曲线之间的面积的2倍,规定为该群人经过的第i 个商区时的购买欲望占总购物欲望值的比值。

下表列出了人群经过的商区数不同时对不同商区的购买欲望比值。

表中n 表示总共经过的商区数，i 表示的经过的第几个商区数
如若把购物欲望比度作为权，考虑每批进入商区的人群的购物欲望总值，建立一个矩阵
以3B 为例说明，去就中餐的情形，因为只是为了说明，我们仅考虑B 区域其他商区对它的影响。

此时每个商区的去中餐的人都从上方的出口出入，
则6B 进入3B 的人数为1η(以万为单位)，人均单位消费量为10242.0P ⨯
1B 和5B 经过3B 的人数也都是1η，人均单位消费量是10456.0P ⨯
其余的依次，最后求出所有的去中餐的人群在3B 商区的总消费量。

这同时考虑了人流量和购物欲望的影响，暗合题目的提示。

在矩阵中，列向量表示目的地相同的时候,各区在以该目的地为目标的人群中对该区单位的消费量的和，如果a 商区只有b 商区一半去该目的地的人经过，则在b 对a 商区单位贡献消费量前加权0.5。

所作只是为了将各个区经过该区域的人数视为j η，以方便计算。

将以各种目的地的人群对吸引力的贡献进行行列式运算,使结果能够表示各商区的商品总需求量，也就商品总消费量。

.
目标函数 j ij i F kC D ⨯= 其中k 为比例常数
为了考虑的方便,可以设1=k ,因为他们为比例关系,而我们也只是考虑一个比值关系.
通过计算可以得出j D 的值
（5.8299 5.3083 5.4129 5.5453 5.6786 5.8908 5.6786 5.5453 5.4129 5.3083 5.7973 4.8681 4.2425 4.8681 5.7973 6.4579 4.7581 3.5542 4.7581 5.0133 ）
生活中，我们知道只考虑规模与销售的关系时，规模与销售的商品量是成正向关系，因为MS 的规模一般在250~20m ，比较小，所以可以视为2者成比例关系
一般情形下，就像报亭，在一个相对可以较小的区域，不可以设定的太多，如果太多利益的平均下，单个的MS 就可能不能赢利，也不能太少，如何太少的话，就有可能不能满足需求.所以需要求出适当的MS 的数量。

对j D 进行升序排列
3.5542 18.0000
4.2425 13.0000
4.7581 17.0000
4.7581 19.0000 4.8681 12.0000
4.8681 14.0000
5.0133 20.0000
5.3083 2.0000
5.3083 10.0000
5.4129 3.0000
5.4129 9.0000
5.5453 4.0000
5.5453 8.0000
5.6786 5.0000
5.6786 7.0000
5.7973 11.0000
5.7973 15.0000
5.8299 1.0000
5.8908
6.0000
6.4579 16.0000
对上述数据进行分类，相较小的可以看作是一种可能的MS分布，则20个商区，分成（18）（13）（17，19，12，14）（20，2，10，3，9）（4，8，5，7，11，15，1，6）（16）这6类。

由MS只有2种规模的类型，如设定数量为4的时候，只要5种可能何况其中9与20虽然分在一个类区间，但是相差已经很大，所以可以再细分一下，4和6商区也是这样。

为了避免出现不能满足消费和不能赢利的现象，设定MS数量一般为6的情形下，是可能的，在适当情形下，可以调度一下为7和5。

我们设定大的MS可以满足1.1的需求，规模小的MS可以满足0.75的需求则对各个段分配MS的规模类型为
而具体分配，只要尽量的将数据划分的比较接近，就可以越好地求出划分好的结果。

现实中，在一个有限的空间里，就在体育馆设施附近，区域不可能很大，所以在一般的MS数量在6，7，8的时候，比较符合最佳的利益。

2.模型二
在现实生活中，模型受到很多因素的影响，所以再对模型换个角度进行分析，这一次，我们多考虑了瞬时销售峰值对大小MS个数的影响，建立日盈利的方程。

并由此得到了不同的大小MS个数或MS大小尺寸对盈利的影响。

模型新增假设
1.大小MS高度相等
2.该商亭形状是正方形的。

3.每个商亭所买的商品种类一样。

4.顾客购买商品时都在MS外购买。

5.MS周围都是购买窗口
6.设每个MS只需一个
参数设定：
1.T--------大MS边长；
2. x -------某个商区有大MS 个数；
3. y -------某个商区小MS 个数；
4. S --------大MS 面积；
5. L --------大MS 周长；
6. t ----------小MS 边长；
7. s ----------小MS 面积；
8. l -----------小MS 周长；
9. A --------超市单位体积库存量为； 10. a ---------单位造价； 11. MON -------区日盈利； 12. M ----------区日消费总量； 13. p ----------售货员日工资；
关系分析，模型建立和求解：
为了MS 分布基本均衡，某商区商亭的经营总面积（由于各商亭高度一致，那么总面积就反映了总商品量）和人流量成正比。

某个商区的瞬间销售量峰值由该商区各个MS 的周长之和决定（成正比，考虑顾客在购买时围着商亭），奥运会开16天 总周长()t y T x t y x l y L x L i ⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=44T 4 总面积22t y T x s y S x S i ⨯+⨯=⨯+⨯= 解得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=
-÷-=t Tx
L y Tt T tL S x i i i 44)
()25.0(2 日盈利
)(16/)(y x p a S M MON i +⨯-⨯-=，
可见总面积在某个商区里面是个定值，只要满足顾客的要求，日销售量也是一定
的，所以日盈利决定于商亭的总个数。

2
2)
25.0(425.0t Tt tL S t L Tt T tL S y x W i i i i i ---
+--=
+= 求出min W ，使得max MON ，显然最终决定因素是T 和t 值。

某个商区的人流量为i D
i i D S ∝ 假设比值为i
i
S D d =
该商区的瞬间销售峰值为i C
i i L C ∝ 假设比值为i
i L C c = 22)25.0(425.0t
Tt tL S t L Tt T tL S y x W i i i i i ---+--=+= ),(),(i i i i C D g S L f W ==
模型验证：
由于涉及的数据计算很庞大，我们只针对某一个区来验证
我们对1B 做相关分析，其它类推。

可知1B 的销售峰值为=1C 5.7973说明：考虑到人员流入和流出，这个数是个相对值，单位不是钱的单位，值在前面已给出。

1B 区的1D =2.4439
)
(449325.1)(4439.247973.5)(449325.14439.2222t tT c t tT d tc y Tt T dc t
x -+--=--= 结论分析
在现实生活中c d 和的值是个定值，对于T 和t 可以变化，取决于选取哪两种规模的商亭。

而且商亭的大小还对人流有阻碍作用，作用大小与垂直于人流的长度成正比，从以上表达式可以看出能找到一对合适T 和t 使得日利润最高和使得商亭对人流的阻力较小。

模型优缺点分析
本文巧妙的用正态分布来描述顾客的购买欲望，将观众抽象的购物心理进行了合理的量化，使得计算更加简便；另外对各个商区的的人流量进行了加权分析，以及最短路径路径的合理假设和较准确描述，在解决第三，四个问题时建立的第一个模型在求解大小MS 个数时做到了整体把握，简单直观，第二模型进行多因素考虑，建得模型新颖而又合理。

而本文的不足在于未找到MS 的相关参数，没有给出较为确切的结果，但是我们已经得到以MS 参数为未知数的表达式，只要给出具体参数，就能给出切实可行的方案，即模型的灵活性和可移植性较好。

附录：参考文献
[1] 周晓阳数学实验与matlab 武汉华中科技大学出版社2002
[2] 姜启源数学模型（第二版）北京高等教育出版社1993
[3] 谭浩强Access数据库应用技术北京中国铁道出版社2003
[4] 浙江大学概率论与数理统计北京高等教育出版社1989。